Wielkość wektorowa, w mechanice kwantowej możemy jednocześnie zmierzyć tylko jego kwadrat długości i jedną z jego składowych (rzut momentu pędu na wyróżnioną oś); np. dla orbitalnego momentu pędu możemy

Kwantowy moment pędu:

Wielkość wektorowa, w mechanice kwantowej możemy jednocześnie zmierzyć tylko jego kwadrat długości i jedną z jego składowych (rzut momentu pędu na wyróżnioną oś); np. dla orbitalnego momentu pędu możemy

jednocześnie zmierzyć wartości oczekiwane <L

i <L

>:

Wektor kwantowego momentu pędu opisywany więc jest przez podanie dwóch liczb kwantowych: l i m=-l,....l (2l+1 wartości)

L

z

L ( )

L m

= +

=

2

1

Liczba kwantowa określająca długość momentu pędu (np.

l) może przybierać wartości

•całkowite dla orbitalnych momentów pędu,

•całkowite lub połówkowe dla spinów (wewnętrznych momentów pędu cząstek),

•całkowite lub połówkowe dla całkowitego momentu pędu - sumy wektorowej momentu orbitalnego i spinowego.

Magnetyczna liczba kwantowa m przebiega wartości od –l do l co jeden. Liczba rzutów momentu pędu na

wyróżnioną oś jest równa (2l+1) i jest

•nieparzysta dla orbitalnych momentów pędu i całkowitych spinów m = -l,...,0,...l,

• parzysta dla połówkowych spinów i połówkowych całkowitych

Dodawanie kwantowych wektorów momentów pędu

Skoro kwantowe wektory określone są przez podanie pary liczb kwantowych |l

,m

>, i=1,2 suma wektorowa dwóch kwantowych wektorów też musi być jednoznacznie

określona przez parę liczb |L,M>.

Zachodzą związki:

( )

ć ś

może przebiega warto ci od do max

M m m

L , M

= +

+ -

1 2

2 2

Dodawanie kwantowych momentów pędów cd.

L=l₁+ l₂

l₁, m₁

l₂, m₂ L=m₂-m₁

Oś kwantyzacji

m₁

m₂

Dodawanie kwantowych momentów pędów cd.

Przykład -dodawania kwantowych momentów pędu:

Stan atomu wodoru o określonym orbitalnym momencie pędu L posiada całkowity moment pędu powstały z dodania orbitalnego i spinowego

momentu pędu: J=L+S.

Kwantowy wektor L opisywanu jest przez liczby l, m, wektor S przez liczby s=1/2, m_s=-1/2 lub +1/2, zaś wektor J przez j, m_J.

Jakie liczby kwantowe j, m_J są dozwolone?

j=l+1/2 lub j=l-1/2

Dla j=l+1/2 m_J=-(l+1/2), -(l-1/2), ....(l-1/2), l+1/2 razem 2j+1=2l+2 wartości.

Dla j=l-1/2 m_J=-(l-1/2), -(l-3/2), .... (l-3/2), l-1/2 razem 2j+1=2l wartości.

Moment magnetyczny w ruchu orbitalnym

Klasycznie: pętla o powierzchni A przez którą płynie prąd I posiada moment magnetyczny µ=AIn skierowany wzdłuż wersora normalnego do powierzchni pętli n.

W zewnętrznym polu magnetycznym B energia potencjalna pętli:

V=-B•µ=- Bµ cosα=B µ _B m

Moment magnetyczny elektronu na orbicie Bohra Skoro

( )

e

2

i L = m o r a z

= I r

q e

I r r

T

n e r n g e L

m

ω ω

π

µ π ω

= = - ¥ ¥

= - ² = -

2

1

2 2

B

e

e . Am

µ = m = 9 274 10◊ ^{-24 2} 2

Magneton Bohra

α µ

B

g_l=1

Precesja i orientacja momentu magnetycznego w polu magnetycznym

B

ω_p

ω

^dt

dL

L

e^- B

L

µ

ω

L_z=m

µ_z=-m _µB Częstość precesji

L L B

p L

B sin g

B B

L sin

µ α µ

ω ω γ

= = α = =

Kwantowanie przestrzenne:

tylko rzuty L i µ na kierunek

pola są bezpośrednio obserwowalne

α

L+dL

Spin elektronu i spinowy moment magnetyczny

Bezpośredni pomiar momentów magnetycznych atomów oraz

doświadczalne wykazanie kwantowania przestrzennego stało się możliwe po 1921, kiedy to zbadano po raz pierwszy

odchylanie wiązek atomowych w niejednorodnym polu magnetycznym.

Doświadczenie Sterna-Gerlacha Wiązka atomów srebra (stan ²S_1/2) odchyla się w niejednorodnym polu B.

Zaobserwowano 2 linie.

Klasycznie powinno się obserwować

ciągły rozkład. Kwantowanie przestrzenne całkowitego momentu orbitalnego

Odchylenie spowodowane jest przez składową siły w kierunku pionowym:

Pomiar odchyleń pozwalał stwierdzić, że:

Dla wszystkich badanych atomów o jednym elektronie w stanie s na ostatniej powłoce otrzymujemy takie same wyniki. Prowadzi to wniosków:

•Orbitalne momenty magnetyczne znoszą się. Mierzymy wyłącznie magnetyzm spinowy elektronu w stanie s (l=0).

• i spinowy czynnik Landego g_s=2 oraz możemy wprowadzić spinowe liczby kwantowe s i m_s odpowiednio równe ½ i ±1/2.

Dokładną teorię spinu elektronu podał Dirac (1928), który obliczył g_s=2 ze swojego relatywistycznego równania. Dokładniej g_s=2.0023 (poprawki QED).

( )

z z

B B

F grad B cos

z z

µ µ ∂ α µ ∂

= - - = =

∂ ∂

z B

µ = ∓ µ

s s

e

g e s

µ = - m 2