5-6.1 Dla jakich warto´sci parametr´ow s, t ∈ R wektory [5, 7, s, 2]

(1)

GAL (I INF)

Zadania domowe 5-6 Uwaga: Ka˙zde zadanie warte jest tyle samo punkt´ow

5-6.1 Dla jakich warto´sci parametr´ow s, t ∈ R wektory [5, 7, s, 2]

^T

, [1, 3, 2, 1]

^T

, [2, 2, 4, t]

^T

tworz a uk lad liniowo niezale˙zny w R

_, ⁴_|R

?

5-6.2 Dla jakich warto´sci λ ∈ R wektor [λ, 8, 6]

^T

jest liniow a kombinacj

_,

a wektor´ow [3, 4, 5]

_, ^T

, [1, 4, 4]

^T

i [7, 4, 7]

^T

?

5-6.3 Niech p

k

∈ P

_|Rⁿ

b ed

_,

a dla 0

_,

≤ k ≤ n − 1 wielomianami stopnia dok ladnie k, tzn.

deg p

_k

= k. Wyka˙z, ˙ze uk lad (p

₀

, p

₁

, . . . , p

_n−1

) jest baz a

_,

P

_|Rⁿ

.

5-6.4 Niech A = (a

i,j

)

ⁿ_i,j=1

= [~a

1

, ~a

2

, . . . , ~a

n

] b edzie macierz

_,

a kwadratow

_,

a o wsp´o lczynnikach

_,

zespolonych. Wyka˙z, ˙ze je´sli dla wszystkich j mamy |a

^j,j

| > P

n

j6=i=1

|a

^i,j

| to wektory (~a

₁

, . . . , ~a

_n

) tworz a baz

_,

e C

_, ⁿ_|C

.

5-6.5 Dla ustalonych t

1

< t

2

< · · · < t

ⁿ

zdefiniujmy wielomiany l

i

(t) =

Y

n i6=j=1

t − t

j

t

i

− t

^j

, 1 ≤ i ≤ n.

Wyka˙z, ˙ze (l

1

, l

2

, . . . , l

n

) jest baz a

_,

P

_|Rⁿ

.

5-6.6 Niech Y i Z b ed

,

a podprzestrzeniami pewnej przestrzeni

_,

X . Wyka˙z, ˙ze Y ∪ Z := {x ∈ X : x ∈ Y lub x ∈ Z}

jest podprzestrzeni a

_,

X wtedy i tylko wtedy gdy Y ⊆ Z lub Z ⊆ Y.

5-6.7 Niech Y b edzie podprzestrzeni

_,

a przestrzeni

_,

P

_|Rⁿ

wielomian´ow p (o wsp´o lczynnikach rzeczywistych) spe lniaj acych p(0) = p(1) = 0. Wska˙z baz

_,

e

_,

Y, a nast epnie uzupe lnij

,

j a do bazy

_,

P

_|Rⁿ

.

5-6.8 Rozwa˙zmy nast epuj

_,

ace podzbiory przestrzeni R

_, ^m,n

:

X = n

A = (a

i,j

) : X

n

j=1

a

i,j

= 0, 1 ≤ i ≤ m o

Y = n

B = (b

i,j

) : X

m

i=1

b

i,j

= 0, 1 ≤ j ≤ n o .

Wyka˙z, ˙ze X i Y s a podprzestrzeniami R

_, ^m,n

. Wska˙z przyk lady baz. Czy R

^m,n

= X ⊕ Y ?

1