www.zadania.info – NAJWI ˛EKSZY INTERNETOWY ZBIÓRZADA ´N Z MATEMATYKI ZADANIE 1
Trzy pocz ˛atkowe wyrazy malej ˛acego ci ˛agu arytmetycznego s ˛a pierwiastkami wielomianu W(x) = x3−3√2x2+5x−√2, a jednym z nich jest√2.
a) Znajd´z pierwszy wyraz tego ci ˛agu. b) Oblicz sum˛e a50+a51+a52+ · · · +a100.
ZADANIE 2
Ile liczb trzeba wstawi´c mi˛edzy liczby 62 i 440, aby otrzyma´c ci ˛ag arytmetyczny, którego suma jest równa 2008? Wyznacz ró ˙znic˛e tego ci ˛agu.
ZADANIE 3
Suma drugiego, czwartego i szóstego wyrazu ci ˛agu arytmetycznego jest równa 42, za´s su-ma kwadratów wyrazów drugiego i trzeciego jest równa 185. Wyznacz pierwszy wyraz i ró ˙znic˛e tego ci ˛agu.
ZADANIE 4
Suma n pocz ˛atkowych wyrazów ci ˛agu arytmetycznego(an)wyra ˙za si˛e wzorem Sn =2n2+n dla n > 1.
a) Oblicz sum˛e 50 pocz ˛atkowych wyrazów tego ci ˛agu o numerach parzystych: a2+a4+a6+. . .+a100. b) Oblicz lim n→∞ Sn 3n2−2 ZADANIE 5
Trzy liczby, których suma jest równa 93, tworz ˛a ci ˛ag geometryczny. Te same liczby stanowi ˛a pierwszy, drugi oraz siódmy wyraz ci ˛agu arytmetycznego. Wyznacz te liczby.
ZADANIE 6
Ci ˛ag (15, x, 5+y) jest arytmetyczny, natomiast ci ˛ag (x, y, 20) jest geometryczny. Oblicz x oraz y i podaj ten ci ˛ag geometryczny.
ZADANIE 7
Pierwszy wyraz niesko ´nczonego ci ˛agu geometrycznego (an) jest równy −1. Wyraz drugi, trzeci i czwarty spełniaj ˛a warunek a3−2a4 =8a2+4.
a) Oblicz iloraz ci ˛agu(an).
b) Okre´sl, czy ci ˛ag(an)jest rosn ˛acy, czy malej ˛acy.
ZADANIE 8
Cztery liczby tworz ˛a ci ˛ag geometryczny. Wyznacz te liczby wiedz ˛ac, ˙ze suma pierwszej i czwartej wynosi 36, a suma drugiej i trzeciej liczby wynosi 24.
www.zadania.info – NAJWI ˛EKSZY INTERNETOWY ZBIÓRZADA ´N Z MATEMATYKI ZADANIE 9
Liczby x1i x2s ˛a ró ˙znymi miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f(x) = x2− (a+1)x+ a2. Dla jakich a ∈R ci ˛ag(x1+x2;√2; x1x2)jest geometryczny?
ZADANIE 10
Oblicz granic˛e ci ˛agu lim n→+∞
3n2−5n+2
(8n+7)(n+4). ZADANIE 11
Oblicz granic˛e lim n→+∞
√
n+1−√n n .
ZADANIE 12
Oblicz granic˛e lim n→+∞ n+ √ 4n2−2−n2 n+3 . ZADANIE 13
Oblicz granic˛e lim n→+∞
1+3+···+(2n−1)
2+4+···+2n .
ZADANIE 14
Oblicz granic˛e lim n→+∞
(n20+2)3 (n3+1)20.
ZADANIE 15
W trójk ˛at równoboczny o boku długo´sci a wpisano koło, w które nast˛epnie wpisano trójk ˛at równoboczny, a w ten trójk ˛at znów koło i tak dalej. Oblicz sum˛e pól wszystkich wpisanych kół.
ZADANIE 16
Suma trzech pocz ˛atkowych wyrazów niesko ´nczonego ci ˛agu geometrycznego (an) wynosi 6, a suma S wszystkich wyrazów tego ci ˛agu jest równa 163. Oblicz iloraz ci ˛agu(an).
ZADANIE 17
Wyznacz te warto´sci x, dla których istnieje suma niesko ´nczonego ci ˛agu geometrycznego 8, 4x, 2x2, . . .
ZADANIE 18
Dany jest ci ˛ag an = 3n−2100.
a) Oblicz pi˛etnasty wyraz tego ci ˛agu.
b) Którym wyrazem tego ci ˛agu jest liczba 10. c) Ile wyrazów ujemnych ma ten ci ˛ag?
Rozwi ˛azania zada ´n znajdziesz na stronie
HTTP
