Korzystaj¸ ac z twierdzenia o ci¸ agu monotonicznym i ograniczonym, prosz¸e uzasadnić zbieżność ci¸ agu

Analiza Matematyczna Kolokwium 1 Zestaw A

Zadanie 1

Korzystaj¸ ac z twierdzenia o ci¸ agu monotonicznym i ograniczonym, prosz¸e uzasadnić zbieżność ci¸ agu

a _n =

 1 − 1

3



·

 1 − 1

5



· ... ·



1 − 1 2n + 1



Rozwi¸ azanie

Przypomnijmy twiedzenie o ci¸ agu monotonicznym i ograniczonym.

”Każdy ci¸ ag monotoniczny i ograniczony ma granic¸e ” Zauważmy, że ^a

_a

n

= 1 − _2n+3 ¹ < 1 - ci¸ ag jest malej¸ acy.

Korzystaj¸ ac dodatkowo z twierdzenia

”Jeżeli lim n→∞ a

a

= q i q < 1, to lim n→∞ a n = 0.”

Stwierdzamy, że jest on ograniczony z dołu przez liczb¸e 0, czyli jest ci¸ agiem zbieżnym.

Zadanie 2 Prosz¸e obliczyć:

x→2 lim

4 · 3 ^x − 9 · 2 ^x 3 ^x − 9 Rozwi¸ azanie

Zauważmy, że licznik i mianownik ułamka d¸ aż¸ a do 0. Możemy zastosować reguł¸e markiza de l’Hospitala

x→2 lim

4 · 3 ^x − 9 · 2 ^x

3 ^x − 9 = lim

x→2

4 · 3 ^x ln3 − 9 · 2 ^x ln2

3 ^x ln3 = lim

x→2

4 · 9ln3 − 9 · 4ln2

9ln3 = 4 · ln ³ ₂ ln3

Zadanie 3

Prosz¸e dobrać stał¸ a s, (s > 0 tak, aby wykresy funkcji o równaniach w 1 (x) = e ^x , w ₂ (x) = e ^−sx przecinały si¸e pod k¸ atem prostym.

Rozwi¸ azanie

Ze szkoły średniej wiemy, a jeżeli zapomnieliśmy to przypominamy, że wykresy krzywych przecinaj¸ a si¸e pod k¸ atem prostym, gdy styczne do tych wykresów tworz¸ a jeden z wierz- chołkowych k¸ atów prostych w punkcie ich przeci¸ecia.

To zachodzi wówczas, gdy mi¸edzy współczynnikami kierunkowymi tych stycznych speł- niona jest równość m ₁ · m ₂ = −1 Co wynika z prostopadłości wektorów kierunkowych

1

prostych y − m ₁ x − b ₁ = 0, y − m ₂ x − b ₂ = 0 - ich iloczyn skalarny jest równy zero ([−m ₁ , 1] ◦ [−m ₂ , 1] = 0).

Pami¸etaj¸ ac, że m ₁ = tan α = w ₁ ⁰ (x) i m ₂ = tan β = w ⁰ ₂ (x) mamy 2 · e ^2x · (−s)e ^−sx = −1, −2s · e ^(2−s)x = −1, s = ¹ ₂ .

Dla s = ¹ ₂ wykresy funkcji w 1 (x), w ₂ (x) przecinaj¸ a si¸e pod k¸ atem prostym.

Zadanie 4

Prosz¸e wyznaczyć przedział , na którym funkcja f = 4x + _x ¹ jest ściśle rosn¸ aca i ściśle wypukła

Rozwi¸ azanie

Zauważmy, że dziedzin¸ a funkcji f jest zbiór R\{0}.

Funkcja f jest ściśle rosn¸ aca i ściśle wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy f ⁰ (x) > 0 i f ⁰⁰ (x) > 0. Obliczaj¸ ac pochodne rz¸edu pierwszego i drugiego funkcji, otrzymujemy f ⁰ (x) = 4 − _x ¹

i f ⁰⁰ (x) = _x ²

. St¸ ad 4 − _x ¹

> 0 i _x ²

> 0. Rozwi¸ azuj¸ ac powyższy układ nierówności mamy (2x + 1)(2x − 1) > 0 i x > 0 → x > ¹ ₂ .

Maksymalnym przedziałem, na którym funkcja jest ściśle rosn¸ aca i ściśle wypukła jest przedział ¹ ₂ , ∞
.

2