Zadania domowe, seria II. Termin oddania, 25.1.2018
Proszę wybrać dokładnie 3 zadania, które mam ocenić. Rozwiązania proszę starannie zredagować w zeszycie zadań domowych. Punktacja według reguł Klubu 44 Delty. Oceniam każde z wybranych zadań w skali od 0 do 1, a następnie ocenę mnożę przez współczynnik trudności danego zadania: WT = 4 − 3S/N, gdzie S oznacza sumę ocen za rozwiązania tego zadania, a N liczbę osób, które oddały rozwiązanie choćby jednego zadania.
Zadanie 1. Podać przykład dyfeomorfizmu
F : {(x, y) : 1 < xy < 2, 3 < xy3/2 < 4, x > 0} → {(x, y) : 1 < x2+ y2< 4, y > 0}.
Znalezione przekształcenie można przedstawić jako złożenie kilku dyfeomorfizmów (np. F = F1◦ F2◦ F3), przy czym każdy z nich należy wyrazić jawnym wzorem.
Zadanie 2. Niech F : Ω → Rn+m będzie odwzorowaniem klasy C1, przy czym Ω ⊂ Rn jest podzbiorem otwartym.
Niech M = F (Ω). Zakładamy ponadto, że DF (x) jest monomorfizmem i obraz F (U ) jest podzbiorem otwartym przestrzeni topologicznej M (z topologią podzbioru Rn+m). Wykazać, że M jest rozmaitością.
Zadanie 3. Wyznaczyć najmniejszą liczbę M , że dla dowolnych a, b, c ∈ R zachodzi nierówność ab(a2− b2) + bc(b2− c2) + ca(c2− a2) ¬ M(a2+ b2+ c2)2.
Zadanie 4. Niech F1(x, y, z, t) = x + y + z − t2x3z, F2(x, y, z, t) = z − x − t + x2yz3. Wykazać, że istnieją funkcje g1, g2 klasy C1określone na pewnym otoczeniu U punktu (0, 0) ∈ R2takie, że
Fj(g1(y, t), y, g2(y, t), t) = 0, j = 1, 2,
dla każdego (y, t) ∈ U. Znaleźć pochodne cząstkowe funkcji g1, g2w punkcie (0, 0).
Zadanie 5. Czy zbiór
M = {(x, y, z) : x2+ y2+ 3z3= xy + 6√3
z, z 6= 0} ∪ {(0, 0, 0)}
jest rozmaitością (dokładniej, zanurzoną rozmaitością klasy C1 (patrz Definicja 3.23))?
Zadanie 6. Definiujemy F : R2→ R4, (0 < a < r)
F (α, β) = ((a + r cos β) cos α, (a + r cos β) sin α, r sin β cos α/2, r sin β sin α/2).
Wykazać, że
(a) F (α + k4π, β + l2π) = F (α, β) dla całkowitych k, l.
(b) F (α + 2π, −β) = F (α, β), a co więcej F (α′, β′) = F (α, β) jedynie, jeśli (4π|α′ − α, 2π|β′− β) lub (4π|α′− α − 2π i 2π|β′+ β). (Stosuję tutaj oznaczenie: a|b, jeśli b/a jest liczbą całkowitą.)
(c) Wykazać, że K := F (R × R) jest dwuwymiarową rozmaitością homeomorficzną z butelką Kleina.
Zadanie 7. Obliczyć całkę R
Cxdλ1(x), gdzie C oznacza ”gruby” zbiór Cantora, z ai = 1/4i (długość każdego z usuniętych przedziałów w i-tym kroku).
Zadanie 8. Obliczyć (z dokładnym uzasadnieniem)
n→inf tylim Z
H
2x + y + n n
n
dλ2(x, y)
gdzie H = {(x, y) : max{−2x, x − 1} < y < min{1 − 2x, x + 1}}.
Zadanie 9. Wykazać, że wykres funkcji f : R → R, mierzalnej i ograniczonej, jest miary zero.
1
