AMII, Seria zadań nr 1, termin 12.12.2017
Proszę wybrać dokładnie 3 zadania, które mam ocenić. Rozwiązania proszę starannie zredagować w zeszycie zadań domowych. Punktacja według reguł Klubu 44 Delty. Oceniam każde z wybranych zadań w skali od 0 do 1, a następnie ocenę mnożę przez współczynnik trudności danego zadania: WT = 4 − 3S/N , gdzie S oznacza sumę ocen za rozwiązania tego zadania, a N liczbę osób, które oddały rozwiązanie choćby jednego zadania.
Zadanie 1. Obliczyć kresy funkcji
f (x, y) = x − 2y 8 + x2+ 4y2 na zbiorze {(x, y) : y 0}?
Zadanie 2. Funkcja f : R2→ R spełnia następujące warunki:
(a) dla każdego c ∈ R funkcja y 7→ f (c, y) jest ciągła na R;
(b) dla każdego c ∈ R funkcja x 7→ f (x, c) jest zwężająca Wykazać, że funkcja f jest ciągła na R2.
Uwaga: Funkcja g : R → R nazywa się zwężająca, jeśli |g(x) − g(y)| ¬ |x − y| dla dowolnych x, y ∈ R.
Zadanie 3. Funkcja różniczkowalna f : Rn→ R spełnia
n
X
i=1
xi
∂f
∂xi
(x) 0
w dowolnym punkcie x ∈ Rn. Wykazać, że f jest ograniczona z dołu.
Zadanie 4. Znaleźć punkty zerowanie się gradientu funkcji f (x, y) = x4y2(7 − 4x − 2y) i wyjaśnić, w których z nich ma ona lokalne minima, maksima, a w których nie ma lokalnego ekstremum. Znaleźć sup f na zbiorze {(x, y) : 0 ¬ x, 0 ¬ y, x + y < 1}.
Zadanie 5. Niech A = {(x, y) : x 0, y 0}, A′ = R2\ {(x, y) : x > 0, y > 0}. Czy istnieje dyfeomorfizm f : Ω → Ω′ taki, że f (A) = A′, gdzie Ω, Ω′ są pewnymi otwartymi podzbiorami R2 takimi, że A ⊂ Ω, A′⊂ Ω′. Zadanie 6. Dowieść, ze funkcja
f (x, y, z) = ln(1 + x2+ y2+ z2) cos(xyz)e−(x2+y4+z6) przyjmuje swoje kresy.
Zadanie 7. Wyznaczyć maksymalną wartość funkcji y + z przy warunkach (x2+ y2+ z2¬ 1
x2+ y2¬ x.
Zadanie 8. Uzasadnić, ze w pewnym otoczeniu punktu (2, 1, −1) równanie xy = 2 + z ln y
wyznacza y jako funkcję pozostałych zmiennych y = y(x, z). Obliczyć ∂x∂y(2, −1) oraz ∂∂z2y2(2, −1). Równo- ważne sformułowanie: Istnieje ε > 0, δ > 0 i funkcja f : Uε→ R, gdzie Uε= (2 − ε, 2 + ε)× (−1 + ε, −1 + ε), taka że
{(x, y, z) : (x, z) ∈ Uε, y ∈ (1 − δ, 1 + δ), xy = 2 + z ln y} = {(x, f (x, z), z) : (x, z) ∈ Uε}.
