II. Funkcje rzeczywiste wielu zmiennych. Granice
Definicja Funkcj f odwzorowuj c zbiór A⊂Rnw zbiór R nazywamy funkcj rzeczywist n zmiennych i oznaczamy przez f:A→R. Warto ci funkcji f w punkcie p=
(
x1,...,xn)
∈A oznaczamy przez f(p) lub f(
x ,...,1 xn)
.Definicja . Wykresem funkcji f dwóch zmiennych nazywamy zbiór
( )
{
x,y,z ∈R3:(x,y)∈Df ∧z= f(x,y)}
,gdzie Df oznacza dziedzin funkcji f.
Poziomic wykresu funkcji f odpowiadaj c poziomowi h
∈
R nazywamy zbiór( )
{
x,y ∈Df : f(x,y)=h}
Definicja.(Heinego) Niech f: A
→
R, A⊂
Rn oraz niech p0 b dzie punktem skupienia zbioru A.Liczb g nazywamy granic funkcji f w punkcie p0 gdy
{ }
[ (p p dla n N p p )
f p g]
g p
f n
n n n n
A p p
p = ⇔ n∀ ≠ ∈ ∧ = =
∞
→
∞
→
⊂
→ ( ) lim( ) lim ( )
lim 0 0
0
i zapisujemy f p g
p
p =
→ ( ) lim
0
. Granic g nazywamy tak e granic n-krotn .
Twierdzenie 2.1 (definicja Cauchy'ego) Niech f:A→R, A⊂Rn oraz niech p0 b dzie punktem skupienia zbioru A. Wówczas f p g
p
p =
→ ( ) lim
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
>0 ε∀ δ∃>0
p∈∀A
(
0<d(p,p0)<δ
f(p)−g <ε )
Uwaga : Je li g jest liczb sko czon , to mówimy, e g jest granic wła ciw funkcji f w punkcie p0. Granic niewła ciw w punkcie p0 definiuje si analogicznie jak dla funkcji jednej zmiennej.
Definicja Je li f: A→R, A⊂R2, p0=(x0,y0) jest punktem skupienia zbioru A oraz je li istniej liczby
= lim→ lim→ ( , )
0 0
1 f x y
g x x y y i =
→
→ lim ( , ) lim
0 0
2 f x y
g y y x x ,
to nazywamy je granicami iterowanymi funkcji f w punkcie p0.
Uwaga: Istnienie granicy funkcji w punkcie p0=(x0,y0) jest niezale ne od istnienia granic iterowanych g1 i g2. Granica podwójna funkcji f(x,y) mo e nie istnie , natomiast granice g1 i g2 mog istnie i na odwrót.
Ponadto, je eli granice iterowane g1 i g2 istniej , to mog by ró ne.Mo na te udowodni , e je eli istnieje granica podwójna funkcji f w punkcie p0 i co najmniej jedna z granic iterowanych g1 lub g2, to granica podwójna jest równa tej granicy iterowanej.
Twierdzenie 2.2 : Dla granicy n-krotnej funkcji zachodz twierdzenia o arytmetyce granic funkcji oraz o granicy funkcji zło onej podobnie jak dla funkcji jednej zmiennej.
