Rozdziaª 1 Wymagania statyczne

Rozdziaª 1

Wymagania statyczne

Autorzy:

Alicja Golnik

1.1 Dokªadno±¢ statyczna

Zadaniem ukªadu regulacji jest takie oddziaªywanie na obiekt , aby warto±¢ sygnaªu na jego wyj±ciu byªa równa lub przybli»ona do warto±ci zadanej. Podstawowym wymogiem stawianym ukªadom regulacji jest ich stabilno±¢. Dodatkowo ukªad powinien speªnia¢ za- ªo»one wymagania statyczne i dynamiczne. Jednym ze wska¹ników dotycz¡cych oceny algorytmu regulacji jest dokªadno±¢ statyczna, która informuje o warto±ci odchyªki regu- lacji w stanie ustalonym - e_st (odchyªka statyczna).

e_st= lim

t→∞e (t) (1.1)

Na warto±¢ odchyªki statycznej maj¡ wpªyw zarówno zakªócenia na wej±ciu obiektu jak i zmiany warto±ci zadanej na wej±ciu regulatora. Dokªadno±¢ statyczna mo»e by¢ okre±lona poprzez podanie dopuszczalnych warto±ci odchyªek osobno dla zakªóce« na wej±ciu obiektu e_{z st} i osobno dla zmian warto±ci zadanej e_{w st} lub ogólnie, jako poziom dopuszczalnej odchyªki est.

est= ezst+ ewst (1.2)

1.1.1 Obliczanie warto±ci odchyªki statycznej

Je»eli znamy transmitancj¦ wszystkich elementów ukªadu, to mo»emy wyznaczy¢ warto±ci odchyªek statycznych w sposób pokazany w przykªadach 1.1 i 1.2 .

Przykªad 1.1

Je»eli w=const to z punktu widzenia odchyªki, ukªad regulacji upraszcza si¦ do postaci przedstawionej na rysunku 1.1 .

Rysunek 1.1  Schemat ukªadu regulacji, w=const

ezst = lim

t→∞ez(t) = lim

s→0s · ez(s) = lim

s→0s · e (s)

z (s)z (s) (1.3)

ezst = lim

t→∞s · z (s) G_O(s)

1 + G_O(s) · G_R(s) (1.4)

Przykªad 1.2

Je»eli z=const to z punktu widzenia odchyªki, ukªad regulacji upraszcza si¦ do postaci przedstawionej na rysunku 1.3 .

Rysunek 1.2  Schemat ukªadu regulacji, z=const

a odchyªka regulacji wyra»a si¦ zale»no±ci¡:

ewst = lim

t→∞ew(t) = lim

s→0s · ew(s) = lim

s→0s · e (s)

w (s)w (s) (1.5)

ewst = lim

t→∞s · w (s) 1

1 + G_O(s) · G_R(s) (1.6)

W wi¦kszo±ci przypadków badamy warto±¢ odchyªki statycznej dla skokowej zmiany wiel- ko±ci wej±ciowej. Wzory 1.4 i 1.5 sprowadzaj¡ si¦ wówczas do postaci:

e_zst = lim

t→∞

G_O(s)

1 + GO(s) · GR(s)z_st (1.7) e_wst = lim

t→∞

1

1 + GO(s) · GR(s)w_st (1.8) poniewa» dla skokowej zmiany sygnaªu:

z (s) = 1

sz_st (1.9)

w (s) = 1

swst (1.10)

1.2 Przykªady zada«

Przykªad 1.3

Dla schematu blokowego ukªadu przedstawionego na rysunku 1.3 wyznaczy¢ warto±ci wzmocnienia k_p regulatora P zapewniaj¡ce speªnienie nast¦puj¡cych wymaga« dokªadno-

±ci statycznej: est ¬ 10%zst, je»eli zmiana zakªócenia miaªa charakter skokowy a warto±¢

zadana na wej±ciu regulatora jest staªa (w=const).

Rysunek 1.3

Rozwi¡zanie:

W celu obliczenia odchyªki statycznej musimy wyznaczy¢ transmitancj¦ zast¦pcz¡ ukªadu, która da nam informacj¦ o wpªywie dziaªania zakªócenia (bo w=const) na warto±¢ sy- gnaªu odchyªki. Transmitancja zast¦pcza b¦dzie wi¦c stosunkiem transformaty Laplace'a

sygnaªu wyj±ciowego e do transformaty Laplace'a sygnaªu wej±ciowego z. Pami¦taj¡c, »e transmitancja regulatora P wynosiGr(s) = kp mo»emy napisa¢:

G_z(s) = e (s) z (s) =

10(s+1) (5s+1)²

1 + k_p· _2s+1⁴ · ^10(s+1)

(5s+1)²

= 10 (s + 1)

(5s + 1)²+ 4 · kp· 10 (s + 1) (1.11) Z powy»szego równania mo»emy obliczy¢ odchyªk¦ statyczn¡ zgodnie ze wzorem:

ezst = lim

s→0s · z (s) Gz(s) (1.12)

Poniewa» sygnaª wej±ciowy z(s) jest sygnaªem skokowym, to korzystaj¡c z przeksztaªcenia Laplace'a:

L {1 (t) } = 1

s (1.13)

otrzymujemy:

z (s) = 1

szst (1.14)

st¡d:

e_zst = lim

s→0G_z(s) · z_st (1.15)

i otrzymujemy:

e_zst = lim

s→0

10 (s + 1)

(5s + 1)²+ 4 · k_p · 10 (s + 1)· z_st = 10

1 + 40k_pz_st (1.16) Czyli zgodnie z warunkiem oest¬ 10%zst otrzymujemy zale»no±¢:

10

1 + 40k_pzst ¬ 0.1zst (1.17)

i wynikaj¡cy z niej warunek na wzmocnienie k_p:

10 ¬ 0.1 (1 + 40k_p) (1.18)

4k_p ­ 9.9 (1.19)

kp ­ 2.475 (1.20)

Wymagana dokªadno±¢ statyczna b¦dzie zachowana, gdy kp ­ 2.475. Przykªad 1.4

Dla schematu blokowego ukªadu przedstawionego na rysunku 1.3 wyznaczy¢ warto±ci wzmocnienia kp regulatora P zapewniaj¡ce speªnienie nast¦puj¡cych wymaga« dokªadno-

±ci statycznej: est ¬ 10%zst, je»eli zmiana zakªócenia ma charakter liniowo narastaj¡cy a warto±¢ zadana na wej±ciu regulatora jest staªa (w=const).

Rozwi¡zanie:

Transmitancja zast¦pcza ukªadu wynosi, tak samo jak w przykªadzie 1.3 :

G_z(s) = e (s)

z (s) = 10 (s + 1)

(5s + 1)²+ 4 · kp· 10 (s + 1) (1.21) Odchyªk¦ statyczn¡ obliczamy zgodnie ze wzorem :

e_zst = lim

s→0s · z (s) G_z(s) (1.22)

Poniewa» sygnaª wej±ciowy z(s) jest sygnaªem liniowo narastaj¡cym, to korzystaj¡c z przeksztaªcenia Laplace'a:

L {t } = 1

s² (1.23)

otrzymujemy:

z (s) = 1

s²z_st (1.24)

st¡d:

e_zst = lim

s→0

1

sG_z(s) z_st (1.25)

e_st = lim

s→0

10 (s + 1)

(5s + 1)²+ 4 · k_p· 10 (s + 1) 1

sz_st (1.26)

Ostatecznie otrzymujemy wi¦c:

e_st → ∞ (1.27)

Odchyªka d¡»y do niesko«czono±ci bez wzgl¦du na warto±¢ wzmocnienia.

Przykªad 1.5

Dla schematu blokowego ukªadu przedstawionego na rysunku 1.3 wyznaczy¢ warto±ci wzmocnienia kp regulatora PI, Ti=10s, zapewniaj¡ce speªnienie nast¦puj¡cych wymaga«

dokªadno±ci statycznej: est ¬ 5%wst, je»eli zmiana sygnaªu wej±ciowego miaªa charakter skokowy a zakªócenia na wej±ciu obiektu s¡ staªe (z=const).

Rozwi¡zanie:

W celu obliczenia odchyªki statycznej musimy wyznaczamy transmitancj¦ zast¦pcz¡ ukªadu, która da nam informacj¦ o wpªywie zmiany wielko±ci zadanej (bo z=const) na warto±¢

sygnaªu odchyªki. W tym przypadku, transmitancja zast¦pcza b¦dzie stosunkiem trans- formaty Laplace'a sygnaªu wyj±ciowego e do transformaty Laplace'a sygnaªu wej±ciowego w. Pami¦taj¡c, »e transmitancja regulatora PI wynosi: Gr(s) = k_p^1 + _T¹

is

piszemy, »e:

G_z(s) = e (s)

w (s) = 1

1 + _2s+1⁴ · _(5s+1)^s+12 · 10 · k_p^1 + _10s^{1 } = 1

1 + _2s+1⁴ · _(5s+1)^s+12 · 10 · k_p^10s+1_10s ^ (1.28) a po przeksztaªceniu:

e (s)

w (s) = 10s (2s + 1) (5s + 1)²

10s (2s + 1) (5s + 1)² + 4 (s + 1) 10kp(10s + 1) (1.29) Obliczamy odchyªk¦ statyczn¡ zgodnie ze wzorem:

ewst = lim

s→0Gz(s) · wst (1.30)

otrzymuj¡c:

e_wst = 0 (1.31)

Wymagana dokªadno±¢ statyczna b¦dzie zachowana dla ka»dej warto±ci kp. Przykªad 1.6

Dla schematu blokowego ukªadu przedstawionego na rysunku 1.3 wyznaczy¢ warto±ci wzmocnienia k_p regulatora PI, T_i=10s, zapewniaj¡ce speªnienie nast¦puj¡cych wymaga«

dokªadno±ci statycznej: est ¬ 5%wst, je»eli zmiana sygnaªu wej±ciowego ma charakter liniowo narastaj¡cy a zakªócenia na wej±ciu obiektu s¡ staªe (z=const).

Rozwi¡zanie:

Transmitancja zast¦pcza ukªadu wynosi, tak samo jak w przykªadzie 1.5 :

G_z(s) = e (s)

w (s) = 1

1 + _2s+1⁴ · ^s+1

(5s+1)² · 10 · k_p^10s+1_10s ^ (1.32) Odchyªk¦ statyczn¡ obliczamy zgodnie ze wzorem :

ezst = lim

s→0s · w (s) Gz(s) (1.33)

Poniewa» sygnaª wej±ciowy w(s) jest sygnaªem liniowo narastaj¡cym, to korzystaj¡c z przeksztaªcenia Laplace'a otrzymujemy:

w (s) = 1

s²wst (1.34)

st¡d:

e_wst = lim

s→0

1

sG_z(s) w_st (1.35)

e_wst = lim

s→0

1 s

1

1 + _2s+1⁴ · _(5s+1)^s+12 · 10 · k_p^10s+1_10s ^w_st (1.36)

e_wst = lim

s→0

1

s +_2s+1⁴ ·_(5s+1)^s+12 · 10 · kp

10s+1 10

w_st (1.37)

e_st = 1

4k_pw_st (1.38)

W tym przypadku, akcja caªkuj¡ca nie zapewni zerowej odchyªki statycznej, ale pewn¡

staª¡ jej warto±¢. Wymagana dokªadno±¢ statyczna b¦dzie zachowana dla warto±ci k_p speª- niaj¡cej warunek:

1

4k_p ¬ 0.05 (1.39)

czyli:

k_p ­ 5 (1.40)

Przykªad 1.7

Dla schematu blokowego ukªadu przedstawionego na rysunku 1.3 wyznaczy¢ warto±ci wzmocnienia kp regulatora idealnego PD o staªej czasowej Td=20s, zapewniaj¡ce speªnie- nie nast¦puj¡cych wymaga« dokªadno±ci statycznej: est ¬ 5%wst, je»eli zmiana sygnaªu wej±ciowego miaªa charakter skokowy a zakªócenia na wej±ciu obiektu s¡ staªe (z=const).

Rozwi¡zanie:

G_z(s) = e (s)

w (s) = −1

1 + _2s+1⁴ · ^s+1

(5s+1)² · 10 · k_p(1 + 20s) (1.41) Gz(s) = e (s)

w (s) = −(5s + 1)²(2s + 1)

(5s + 1)²(2s + 1) + 40kp(s + 1) (1 + 20s) (1.42) ewst = lim

s→0s1

swstGz(s) = lim

s→0Gz(s) wst (1.43)

ewst = −1

1 + 40k_pw_st (1.44)

Dla celów obliczenia k_p zapewniaj¡cego zadany warunek dokªadno±ci statycznej istotna jest jedynie warto±¢ a nie znak odchyªki. Dlatego do dalszych oblicze« bierzemy warto±¢

bezwzgl¦dn¡ z odchyªki:

−1

1 + 40k_p w_st ¬ 0.05w_st (1.45)

1 ¬ 0.05 (1 + 40k_p) (1.46)

0.95 ¬ 2kp (1.47)

k_p ­ 0.475 (1.48)

Przykªad 1.8

Rysunek 1.4

Dla schematu ukªadu (1.4 ), gdzie transmitancje obiektu, przetwornika pomiarowego i regulatora wynosz¡ odpowiednio:

G_O(s) = 1

s (2s + 1)G_PP(s) = 4

s + 1G_R(s) = k_p (1.49) wyznaczy¢:

1. jakie warto±ci wzmocnienia k_p zapewni¡ est ¬ 10%zst dla w=const,

2. czy i jakie warto±ci wzmocnienia kp zapewni¡ jednocze±nie stabilno±¢ ukªadu, 3. charakterystyki statyczne dla obu wej±¢.

Rozwi¡zanie:

W tym przypadku (w=const) e_st= e_{z st}. Zaczynamy od obliczenia transmitancji zast¦pczej ukªadu dla wej±cia z i wyj±cia e:

Gz(s) = e (s) z (s) =

4 s(2s+1)(s+1)

1 + (2s+1)(s+1)^4kp

= 4

s (2s + 1) (s + 1) + 4k_p (1.50) i zgodnie ze wzorem:

e_zst = lim

s→0G_z(s) z_st (1.51)

odchyªka statyczna wynosi:

est = 1

k_pzst (1.52)

Zadane warunki dokªadno±ci statycznej b¦d¡ speªnione je»eli:

1

k_pz_st¬ 0.1z_st (1.53)

st¡d:

k_p ­ 10 (1.54)

Stabilno±¢ ukªadu mo»na zbada¢ korzystaj¡c z twierdzenia Hurwitza. Równanie charak- terystyczne ukªadu (mianownika transmitancji zast¦pczej) ma posta¢:

N (s) = s (2s + 1) (s + 1) + 4k_p = 2s³+ 3s²+ s + 4 (1.55) Rozwa»my teraz warunki stabilno±ci:

k_p > 0 (1.56)

3 2

4k_p 1

+

0 3 − 8k_p > 0 k_p < 0.375

(1.57)

Z równania1.54 i warunku1.57wynika, »e nie istnieje taka warto±¢ k_p, która speªniaªaby postawiony warunek dokªadno±ci statycznej przy jednoczesnym zachowaniu stabilno±ci ukªadu.

Charakterystyki statyczne wyznaczamy osobno dla wej±cia z i wej±cia w. Dla wej±cia z otrzymujemy:

y (s) z (s) =

1 s(2s+1)

1 + (2s+1)(s+1)^4kp

= (s + 1)

s (2s + 1) (s + 1) + 4kp (1.58)

y_st= 1

4k_pz_st (1.59)

a dla wej±cia w:

y (s) w (s) =

kp

s(2s+1)

1 + (2s+1)(s+1)^4kp

= kp(s + 1)

s (2s + 1) (s + 1) + 4k_p (1.60)

y_st= 1

4w_st (1.61)

1.3 Zadania do samodzielnego rozwi¡zania

Rysunek 1.5  Schemat A

Rysunek 1.6  Schemat B

Przykªad 1.9

Dla schematu blokowego ukªadu przedstawionego na rysunku 1.5 , gdzie:

G_O(s) = 5

s (s + 3)G_PP(s) = 1

s + 1G_T (s) = 1

3 (1.62)

wyznaczy¢ warto±ci wzmocnienia k_p regulatora, zapewniaj¡ce speªnienie nast¦puj¡cych wymaga« dokªadno±ci statycznej:

1. regulator P, est¬ 10%zst, w=const.

2. regulator PI, T_i= 5s, est¬ 5%wst, z=const.

3. regulator PID, Ti= 5s, Td= 10s,est¬ 10%wst, z=const.

Przykªad 1.10

Dla ukªadu przedstawionego na rysunku 1.6 , gdzie transmitancje obiektu, przetwornika pomiarowego i regulatora wynosz¡ odpowiednio:

GO(s) = 1

s²+ 3sGPP(s) = 2

5s + 10GR(s) = kp (1.63) wyznaczy¢:

1. jakie warto±ci wzmocnienia k_p zapewni¡ est ¬ 5%zst dla w=const,

2. czy i jakie warto±ci wzmocnienia kp zapewni¡ jednocze±nie stabilno±¢ ukªadu, 3. charakterystyki statyczne dla obu wej±¢.