1. Ciągi liczbowe
Zadanie 1. Zbadać monotoniczność ciągów a
n=
2n+1n2, a
n= √
4n
2+ n − 2n, a
n=
(n!)(2n)!2, a
n=
nn(n+1)2+n+1, a
n= 1 −
3n, a
n=
121−n1, a
n= sin 1
n , a
n=
n2+6n+2n. Zadanie 2. Pokazać z definicji, że
n→∞
lim
2n+3
3n+2
=
23, lim
n→∞
n2
n+1
= ∞, lim
n→∞
√
nn! = ∞, lim
n→∞
2n+1
3n2+2
= 0.
Zadanie 3. Obliczyć
n→∞
lim
2n2+3n+1
3n2+2n+1
, lim
n→∞
3n+1
2n2+2n+1
, lim
n→∞
2n2+3n+1 3n+1
,
n→∞
lim
3n2+3n
n3+1
, lim
n→∞
2n4+5n
n3+7
, lim
n→∞
5n3+3n2−4
2n3+n−1
, lim
n→∞
(2n2+3n)5(3n3+1)2 (6n4+1)4
,
n→∞
lim ( √
4n
2+ 5n − 2n), lim
n→∞
( √
327n
3+ 12n
2− 3n),
n→∞
lim ( √
n + 1 − √
n − 1), lim
n→∞
n3·(3n+2)!
(n+1)6·(3n−1)!
, lim
n→∞
(2n−3)!·(3n2+1)3 (2n+3)!
. Zadanie 4. Obliczyć
n−→∞
lim
(6n5+8)5·(2n4+7)5
(6n5+4)4·(2n5+3)5
, lim
n−→∞
(6n+5)!
(2n2+4)4·(6n−3)!
, lim
n−→∞
36n−2+32n−11 (22n−3+n8)·(32n−1−5)
,
n−→∞
lim
√
n12 · 5
3n+3+ 63 · 10
2n+1, lim
n−→∞
√
n4
n−6n
4+ 2
n−7n
9,
n−→∞
lim
6n
2+ 23n 3n
2− 5
n
9+ 4n n
8+ 3n
, lim
n−→∞
5n2−5n 5n2−3 6n−4,
n−→∞
lim
45n−3+19n+19 (32n+1+518)·(5n−2+2)
.
Zadanie 5. Dla jakich wartości parametru a równanie
∞
P
n=1
cos x 2
n=
a
2− 2 ma rozwi azanie?
,Zadanie 6. Rozwi azać nierówność
,∞
P
n=0
(tg x)
n≤ 3 + √ 3
2 w zbiorze h0, 2πi.
Zadanie 7. Obliczyć
n−→∞
lim
2n+(−1)nn
3n
, lim
n−→∞
6n+n·cos nπ
n+1
, lim
n−→∞
(3+(−1)
n)
n, lim
n−→∞
3n2 2n−n2cosnπ6
. Zadanie 8. Obliczyć
n−→∞
lim
(n!)2
(2n)!
, lim
n−→∞
n2n
(n!)2
, lim
n−→∞
n!n2 nn
.
Zadanie 9. Obliczyć granicę ciągu określonego rekurencyjnie a
1= √
2, a
n+1= √
2 + a
n.
Zadanie 10. Wykazać, że ciąg a
n= (1 +
1n)
n+1jest malejący i ogra- niczony. Pokazać, że jego granicą jest liczba e.
Zadanie 11. Obliczyć granicę ciągu określonego rekurencyjnie a
1= x,
a
n+1=
12(a
n+
axn
), gdzie x > 0.
Zadanie 12. Niech ϕ : N
?−→ N
?będzie bijekcją i niech istnieje
n→∞
lim a
nwówczas istnieje lim
n→∞
a
ϕ(n)i lim
n→∞
a
ϕ(n)= lim
n→∞
