Zadania ze statystyki matematycznej (Statystyka B) Rok akad. 2009/2010, lista nr 4
1. Udowodni´c, ˙ze je´sli istnieje warto´s´c oczekiwana E(X), to dla ka˙zdej pary (r, s), 1 ≤ r < s ≤ n, istnieje kowariancja Cov(Xr:n, Xs:n).
2. Wyznaczy´c E(Xk:nr ), r ∈ N, 1 ≤ k ≤ n, oraz Cov(Xk:n, Xl:n), 1 ≤ k < l ≤ n, z pr´oby z rozk ladu jednostajnego U(0, 1).
3. Wyznaczy´c E(Xk:n), 1 ≤ k ≤ n, oraz Cov(Xk:n, Xl:n), 1 ≤ k < l ≤ n, z pr´oby z rozk ladu wyk ladniczego Ex(1).
4. Niech X = (X1, X2, . . . , Xn)0 be
‘dzie pr´oba
‘z rozk ladu Poissona π(λ), λ > 0. Wyz- naczy´c warunkowy rozk lad pr´oby pod warunkiem, ˙ze T = t, gdzie T = X1+X2+. . .+Xn. Udowodni´c, ˙ze T jest statystyka
‘dostateczna
‘. 5. Niech T be
‘dzie statystyka
‘ dostateczna
‘ dla rodziny rozk lad´ow P, dominowanej przez σ−sko´nczona
‘miare
‘ µ. Udowodni´c, ˙ze:
a) je˙zeli U jest statystyka
‘ i istnieje funkcja h taka, ˙ze T = h(U), to U jest r´ownie˙z statystyka
‘dostateczna
‘dla P;
b) je´sli T jest statystyka
‘ przyjmuja
‘ca
‘ warto´sci w Rn, a h : Rn → Rn jest funkcja wzajemnie jednoznaczna ‘
‘, maja
‘ca
‘ cia
‘g le pochodne cza
‘stkowe pierwszego rze
‘du, to V = h(T ) jest r´ownie˙z statystyka
‘dostateczna
‘dla P;
c) poda´c przyk lad, ˙ze twierdzenie z b) nie jest prawdziwe, je´sli funkcja h nie jest wzajemnie jednoznaczna.
Uwaga: twierdzenie z punktu b) jest prawdziwe w og´olno´sci, gdy tylko funkcja h jest wzajemnie jednoznaczna.
6. Niech X = (X1, X2, . . . , Xn)0 be
‘dzie pr´oba
‘ z rozk ladu P ∈ P. Korzystaja
‘c z kryterium faktoryzacji wyznaczy´c statystyki dostateczne i zbada´c, czy sa
‘one minimalne dostateczne, gdy P jest rodzina
‘rozk lad´ow:
a) dwumianowych b(r, p), r znane, p ∈ (0, 1);
b) ujemnych dwumianowych nb(r, p), r znane, p ∈ (0, 1);
c) gamma G(λ, β), λ > 0, β > 0;
d) jednostajnych U(α, β), α ∈ R, β ∈ R, α < β;
e) jednostajnych U(θ − 1//2, θ + 1//2), θ ∈ R;
f) beta B(α, β), α > 0, β > 0;
g) logarytmiczno-normalnych LN(m, σ2), m ∈ R, σ > 0;
h) normalnych N(θ, θ), θ ∈ R;
i) normalnych N(θ, θ2), θ ∈ R;
j) Weibulla o ge
‘sto´sciach
f (x; α, β) = αβxβ−1exp(−αxβ)1(0,∞), α > 0, β > 0.
W ka˙zdym z zada´n, gdy rodzina rozk lad´ow jest dwuparametrowa, rozpatrzy´c przy- padki, gdy nieznane sa
‘oba parametry, a tak˙ze gdy jeden z nich jest znany.
7. Udowodni´c, ˙ze je˙zeli (X1, X2, . . . , Xn)0 jest pr´oba
‘ z k−wymiarowego rozk ladu normalnego N(m, Σ)), to statystyki X = n1 Pn
i=1Xi i S2 = 1nPn
i=1(Xi− X)(X − X)0 sa‘dostateczne dla m i Σ.
(Wskaz´owka: rozpatrzy´c najpierw przypadek, gdy Σ jest macierza
‘nieosobliwa
‘.) 8. Zbada´c zupe lno´s´c:
a) rodzin rozk lad´ow wymienionych w zadaniach 5 i 6;
b) statystyk dostatecznych wyznaczonych w tych zadaniach.
9. Niech X be
‘dzie zmienna
‘losowa
‘o rozk ladzie normalnym N(0, σ2), σ > 0. Udowodni´c,
˙ze X nie jest zupe lna‘statystyka‘dostateczna‘dla σ2, natomiast X2 jest zupe lna‘statystyka‘ dla σ2.
10. Niech dana be
‘dzie rodzina rozk lad´ow prawdopodobie´nstwa P = {PN, N = 1, 2, . . .} na prostej taka, ˙ze PN(X = x) = N11AN(x), gdzie AN = {1, 2, ..., N }.
a) Udowodni´c, ˙ze P jest zupe lna
‘rodzina
‘rozk lad´ow;
b) Udowodni´c, ˙ze rodzina rozk lad´ow P0 = P\{Pn}, gdzie n jest ustalona
‘liczba
‘naturalna
‘, nie jest zupe lna.
(Wskaz´owka: rozpatrzy´c funkcje
‘
φ(x) =
a, gdy x = n,
−a, gdy x = n + 1,
0 poza tym,
gdzie a jest dowolna
‘sta la
‘r´o˙zna
‘od zera.) 11. Niech Xn be
‘dzie pr´oba
‘ z rozk ladu normalnego N(m, σ2), a Yr be
‘dzie pr´oba z rozk ladu N(m, τ2), niezale˙zna ‘
‘ od Xn, m ∈ R, σ > 0, τ > 0. Znale´z´c minimalna statystyke ‘
‘dostateczna
‘dla rodziny la
‘cznych rozk lad´ow la
‘cznej pr´oby (Xn, Yr)0 i udowodni´c,
˙ze nie jest ona ograniczenie zupe lna.
12. Niech zmienna losowa X ma rozk lad prawdopodobie´nstwa postaci: P (X = −1) = p, P (X = x) = (1 − p)2px, gdy x = 0, 1, . . ., p ∈ [0, 1].
Udowodni´c, ˙ze rodzina rozk lad´ow statystyki X jest ograniczenie zupe lna, ale nie jest zupe lna.
13. Zbada´c, czy rodziny rozk lad´ow wymienione w zadaniu 6 sa
‘rodzinami wyk ladni- czymi. Okre´sli´c w ka˙zdym pozytywnym przypadku funkcje definiuja
‘ce rodzine
‘wyk ladnicza
‘. 14. Niech X be
‘dzie pr´oba
‘rozmiaru n z rozk ladu jednostajnego U(α, β), α, β ∈ R, α < β. Niech θ = (α + β)/2, Θ = R, Rozpatrzmy estymator parametru θ: X. Wykaza´c,
˙ze E(X|X1:n, Xn:n) = (X1:n+ Xn:n)/2 jest nieobcia
‘˙zonym estymatorem parametru θ o jednostajnie mniejszej wariancji ni˙z estymator X, a naste‘pnie obliczy´c obie wariancje.
15. Niech X = (X1, X2, . . . , Xn)0 be
‘dzie pr´oba
‘z rozk ladu zero-jedynkowego b(1, p), p ∈ (0, 1).
a) Udowodni´c, ˙ze dla funkcji parametrycznej γ(p) istnieje nieobcia‘˙zony estymator wtedy i tylko wtedy, gdy γ(p) jest wielomianem stopnia nie wie
‘kszego ni˙z n.
b) Znale´z´c estymator NJMW dla pr, gdzie r jest liczba
‘naturalna
‘nie wie
‘ksza
‘ni˙z n.
c) Znale´z´c estymator NJMW dla Var(X1) = p(1 − p) i por´owna´c jego ryzyko z ryzykiem nieobcia
‘˙zonej wariancji pr´obkowej.
16. Znale´z´c estymatory NJMW funkcji γk(λ) = λke−λ/k!, λ > 0, k = 0, 1, . . . , na podstawie pr´oby Xn z rozk ladu Poissona π(λ), λ > 0.
17. Niech Xn = (X1, X2, . . . , Xn)0 be
‘dzie pr´oba
‘ z rozk ladu normalnego N(m, σ2), m ∈ R, σ > 0 (oba parametry sa
‘nieznane). Znale´z´c estymatory NJMW dla: a) m2, b) m3, c) σr, r > 1 − n, d) m/σ.
St09-10-lista4.tex
1.12.2009 r. J. Bartoszewicz
