Amplituda i faza drgań wymuszonych. Rezonans

R C / L tg tg

tg ω ω

α α π

ϕ ^{1 1}

2

= −

−

=



 



 −

= . (8.56)

Z wyraŜenia (8.56) wynika, Ŝe prąd opóźniony jest w fazie względem napięcia (ϕ > 0) gdy )

C /(

L ω

ω >¹ i wyprzedza napięcie (ϕ < 0) gdy ωL<¹/(ωC).

8.6. Amplituda i faza drgań wymuszonych. Rezonans

RozwaŜmy zaleŜność amplitudy A drgań wymuszonych od częstości traktując w sposób ogólny drgającą wielkość – bądź przesunięcie (x) drgającego ciała z połoŜenia równowagi lub ładunku (Q) kondensatora.

Z wyraŜenia (8.49) wynika, Ŝe amplituda moŜe przyjąć pewną maksymalną wartość. AŜeby określić częstość rezonansową ωrez to jest częstość, przy której amplituda A osiąga maksimum, naleŜy znaleźć maksimum funkcji (8.49), czyli minimum wyraŜenia pod pierwiastkiem mianownika. RóŜniczkując to wyraŜenie względem ω i przyrównując do zera, określimy ωrez

( )

^{8 0}

4 ² − ² + ² =

− ω_o ω ω δ ω ^.

Równość ta jest spełniona dla ω ^{= 0 i} ω =± ω_o² −²δ² . Sens fizyczny mają jedynie wartości dodatnie. Tak więc, częstotliwość rezonansowa

2 2 2δ ω

ω_rez = _o − . (8.57)

Zjawisko silnego wzrastania amplitudy drgań wymuszonych przy zbliŜaniu się częstości siły wymuszającej do częstości ω_rez nazywamy rezonansem. W przypadku kiedy δ² <<ω_o² wartość ωrez praktycznie pokrywa się z częstością drgań własnych ω_o układu drgającego. Podstawiając (8.57) do (8.49), otrzymujemy

2

2δ ω2 −δ

=

o o rez

A x . (8.58)

Na rys. 8.9 pokazano zaleŜność amplitudy drgań wymuszonych od częstości dla róŜnych wartości δ. Z wyraŜeń (8.57) i (8.58) wynika, Ŝe im mniejsze δ tym wyŜej i bardziej na prawo leŜy maksimum danej krzywej. JeŜeli ω→0, to wszystkie krzywe przyjmują jedną wartość, róŜną od zera, x_o /ω_o², nazywaną odchyleniem statycznym. JeŜeli ω →∞ to wszystkie krzywe asymptotycznie dąŜą do zera. Przytoczony zbiór krzywych nazywamy krzywymi rezonansowymi.

2 o

xo ω A

ωrez ω_o ω

δ <δ <δ <δ1 2 3 4

δ=0

Rys. 8.9. Krzywe rezonansu dla róŜnych wartości współczynnika tłumienia.

Zjawisko rezonansu moŜe być zjawiskiem poŜytecznym jak i szkodliwym. I tak, rezonans jest wykorzystywany w akustyce przy stosowaniu pudeł rezonansowych w rozmaitych instrumentach. Działanie odbiorników radiowych i telewizyjnych jest moŜliwe dzięki zastosowaniu rezonansu elektrycznego. Z drugiej strony np., jeŜeli wirujące części urządzenia nie są dokładnie wywaŜone, wymuszają drgania innych części urządzenia i jeŜeli jest spełniony przy tym warunek rezonansu, to amplituda drgań wymuszonych moŜe być tak duŜa, Ŝe doprowadzi do zniszczenia drgających części a więc i urządzenia.

8.7. Prąd zmienny

RozwaŜymy wymuszone drganie elektromagnetyczne zachodzące w obwodzie prądu elektrycznego zawierającego rezystor, cewkę indukcyjną i kondensator. Prąd zmienny moŜna traktować jako kwasistacjonarny, co oznacza, Ŝe chwilowe wartości natęŜenia prądu we wszystkich przekrojach obwodu są praktycznie jednakowe (zmiana prądu zachodzi dostatecznie wolno, a zaburzenia elektromagnetyczne w obwodzie rozprzestrzeniają się z prędkością światła).

Dla chwilowych kwasistacjonarnych prądów spełnione jest prawo Ohma i prawa Kirchhoffa.

Rozpatrzymy w kolejności procesy zachodzące w obwodzie zawierającym rezystor, cewkę indukcyjną i kondensator po przyłoŜeniu do nich napięcia zmiennego

t cos V

V = _o ω . (8.59)

8.7.1. Obwód zawierający rezystancję

Prąd płynący przez rezystor określony jest prawem Ohma t cos I t R cos V R

I =V = ^o ω = _o ω ,

gdzie amplituda natęŜenia prądu

(a)

(b) Io

V =RIo o

R

V

Rys. 8.10. Obwód zawierający rezystancję:

(a) schemat obwodu, (b) wykres fazowy.

R I_o =V^o .

Dla poglądowego przedstawienia związków pomiędzy prądami zmiennymi i napięciami wygodniej jest posługiwać się metodą wektorową. Na rys. 8.10b pokazano wektory amplitud prądu i napięcia na rezystorze.

Przesunięcie fazowe pomiędzy I i _o V jest _o zerowe.

8.7.2. Obwód zawierający indukcyjność

JeŜeli do obwodu zawierającego cewkę przyłoŜymy napięcie zmienne [wzór (8.59)], to płynie prąd zmienny w wyniku czego powstanie SEM samoindukcji

dt LdI E_s =− . Wówczas prawo Ohma dla rozwaŜanego obwodu ma postać

V L

V = LIL ω o

Io

(a)

(b)

π/2

Rys. 8.11. Obwód zawierający indukcyjność: (a) schemat obwodu, (b) wykres fazowy.

=0

− dt LdI t cos

V_o ω ^,

stąd

t cos dt V

LdI = _o ω . (8.60)

Tak więc spadek napięcia na cewce indukcyjnej

dt LdI

V_L = . (8.61)

Z równania (8.60) wynika, Ŝe tdt L cos

dI =V^o ω ^.

lub po scałkowaniu, uwzględniając, Ŝe stała całkowania jest równa zeru (nie istnieje składowa stała prądu), otrzymujemy



 

 −

=



 

 −

=

= 2 2

ω π ω π

ω ω

ω ^{Lcos t I cos t}

t V Lsin

I V^{o o} _o , (8.62)

gdzie

L I_o V^o

=ω . Wielkość

L

R_L =ω ^(8.63)

nazywamy reaktancją indukcyjną. Podstawiając V_o =ωLI_o w wyraŜenie (8.60) i uwzględniając (8.61), otrzymujemy spadek napięcia na cewce indukcyjnej

t cos LI

V_L =ω _o ω . (8.64)

Porównanie wyraŜeń (8.62) i (8.64) sprowadza się do wniosku, Ŝe spadek napięcia V_L wyprzedza w fazie prąd I płynący przez cewkę o kąt π/2, co pokazano na wykresie fazowym (rys. 8.11b).

8.7.3. Obwód zawierający pojemność

JeŜeli napięcie zmienne (8.59) przyłoŜymy do kondensatora to z upływem czasu kondensator będzie przeładowywał się a w obwodzie popłynie prąd zmienny. JeŜeli rezystancję przewodów moŜna zaniedbać, to

t cos V C V

Q

o

c = ω

= .

NatęŜenie prądu



 

 +

=

=

= 2

ω π ω

ω^{CV sin t I cos t} dt

I dQ _{o o} , (8.65)

V C

I_o (a)

(b) π/2

o

C I

C V 1

=ω

Rys. 8.12. Obwód zawierający kondensator: (a) schemat obwodu, (b) wykres fazowy.

gdzie

( )

^VC

CV

I_{o o} ^o

ω ω

=1

= .

Wielkość

R_C C ω

= 1

nazywamy reaktancją pojemnościową. Dla prądu stałego (ω ^{= 0)} R = ∞, co oznacza, Ŝe C

prąd stały nie płynie przez kondensator.

Spadek napięcia na kondensatorze t

cos C I

V_{c o} ω

ω

= 1 . (8.66)

Porównanie wyraŜeń (8.65) i (8.66) wskazuje, Ŝe spadek napięcia V opóźniony jest w fazie _c o π/2 w porównaniu z prądem I. Pokazano to na wykresie fazowym (rys. 8.12b).

8.7.4. Obwód RLC

Na rys. 8.13a pokazano obwód zawierający rezystor R, cewkę indukcyjną L, kondensator o pojemności C, do którego przyłoŜono napięcie zmienne. W obwodzie płynie prąd zmienny powodujący spadek napięcia na poszczególnych elementach obwodu VR, VL i VC. Na rys. 8.13b pokazano z kolei wykres fazowy amplitud spadku napięć na rezystorze (VR), cewce (VL) i kondensatorze (VC). Amplituda Vo przyłoŜonego napięcia powinna być równa sumie geometrycznej amplitud tych spadków napięć. Jak widać z rys. 8.13b, kąt ϕ określa róŜnicę faz pomiędzy napięciem i natęŜeniem prądu.

V

Rys. 8.13. Obwód RLC: (a) schemat obwodu, (b) wykres fazowy.

Z trójkąta prostokątnego otrzymujemy

( )

o ^{2 1} Io ² Vo²

stąd amplituda prądu ma wartość

2 1 2 zmienia się według prawa

t cos V

V = _o ω , to w obwodzie płynie prąd

(

ω −ϕ

)

nazywamy impedancją obwodu, a wielkość

L C

ZauwaŜmy, Ŝe impedancja obwodu RLC osiąga minimum, gdy

1 =0

− C

L ω

ω ^,

czyli gdy

o = LC1

ω ^{. (8.71)}

Częstość tę nazywamy rezonansową i oznaczamy przez ωo. 8.7.5. Moc wydzielana w obwodzie prądu zmiennego

Chwilowa wartość mocy rozpraszanej w obwodzie równa jest

( ) ( ) ( )

^{t V t I t}

P = ^,

gdzie V(t) = V_ocosωt, I(t) = I_ocos(ω^{t –} ϕ) (zobacz wyraŜenie (8.59) i (8.69)). Korzystając z wzoru trygonometrycznego dla cos(ω^{t –} ϕ), otrzymamy

( )

^{t I V cos}

(

^{ωt ϕ}

)

^{cosωt I V}

(

^{cos ωtcosϕ sinωtcosωtsinϕ}

)

P = _{o o} − = _{o o} ² + .

Praktyczne znaczenie ma nie chwilowa wartość mocy, ale jej średnia wartość za okres drgań.

Uwzględniając, Ŝe cos²ωt =12^, sinωtcosωt =⁰, otrzymamy ϕ

cos V I

P _{o o}

2

=1 . (8.72)

Z wykresu fazowego (rys. 8.13) wynika, Ŝe V_ocosϕ ^{= RI}o. Dlatego

2

2 1

RIo

P = .

Taką moc wydziela prąd stały I =I_o / 2 Wielkości

2 Io

I = ;

2 Vo

V =

nazywamy odpowiednio wartościami skutecznymi prądu i napięcia.

Uwzględniając skuteczne wartości prądu i napięcia, wyraŜenie dla średniej mocy (8.72) moŜna zapisać w postaci

ϕ cos IV

P = ^{, (8.73)}

gdzie czynnik cosϕ nazywamy ”współczynnikiem mocy”. WyraŜenie (8.73) pokazuje, Ŝe w ogólnym przypadku moc wydzielająca się w obwodzie prądu zmiennego zaleŜy nie tylko od natęŜenia prądu i napięcia, ale równieŜ od przesunięcia fazowego między nimi.

W dokumencie PODSTAWY FIZYKI DLA ELEKTRONIKÓW (Stron 132-138)