Paczka falowa. Prędkość grupowa

JeŜeli ośrodek, w którym propagują się fale jest liniowy, tzn. właściwości ośrodka nie zmieniają się pod wpływem zaburzeń spowodowanych przez fale, to spełniona jest zasada superpozycji (nakładania) fal: wypadkowe wzbudzenie w dowolnym punkcie ośrodka liniowego przy jednoczesnej propagacji kilku fal jest równe sumie wzbudzeń wywołanych przez kaŜdą z tych fal z osobna.

Obwiednia (a)

(b)

Acosω2t

Acosω1t

A(cosω1t + cosω2t)

Rys. 8.17. (a) Dwie fale monochromatyczne o nieznacznie róŜniących się częstościach, będących w fazie w początku układu współrzędnych. (b) Suma dwóch fal monochromatycznych.

W niniejszym punkcie zajmiemy się dodawaniem fal monochromatycznych o róŜnych lecz zbliŜonych częstościach. W tym przypadku z upływem czasu fale będą ”rozbiegać się” fazowo jedna względem drugiej. Rozpatrzymy uproszczony przypadek złoŜenia dwóch jednakowych fal monochromatycznych, z których jedna ma częstość ω₁, a druga – ω₂ (rys. 8.17). Przyjmijmy oznaczenia

2 2

1 2 2

1 ω ∆ω ω ω

ω =ω + , = ⁻ .

Wówczas suma

( )

^{t Acos}

( )

^{t Acos}

( )

^t

S = ω +∆ω + ω −∆ω ^.

WyraŜenie to moŜemy przekształcić stosując znane z trygonometrii reguły dodawania cosinusów

( )

[

²

] [ ( )

²

]

2 α β α β

β

α +cos = cos + cos −

cos . Wówczas

( )

^{t Acos}

[ ( )

^t

]

^{cos t A}

( )

^{t cos t}

S =2 ∆ω ω = ω , (8.85)

gdzie ^A

( )

^t =^2Acos

( )

∆ω ^t jest obwiednią, czyli funkcją modulującą (rys. 8.17). W naszym przykładzie obwiednię stanowi fala monochromatyczna o mniejszej częstości.

Dodając większą liczbę fal monochromatycznych o nieznacznie róŜniących się częstościach, moŜna otrzymać funkcję modulacji o dowolnej formie. Jako przykład rozpatrzymy pojedynczy impuls, który odgrywa waŜną rolę w procesach falowych. Taki impuls ma kształt podobny do środkowego przebiegu na rys. 8.17 (dudnienia) i nazywa się paczką falową. Zobaczymy jak poprzez dobór fal monochromatycznych o zbliŜonych częstościach moŜna zbudować paczkę falową. Wykorzystując obraz przedstawiony na rys. 8.17b moŜna stłumić boczne dudnienia dodając trzecią falę monochromatyczną o częstości ω i amplitudzie równej wysokości dudnienia (zauwaŜmy, Ŝe A(t) zmienia znak przy kolejnych dudnieniach). Taka fala monochromatyczna dodaje się do centralnego dudnienia i okazuje się przesunięta w fazie o 180°

w obszarze sąsiednich dudnień (rys. 8.18). Funkcja ^G

( )

ω charakteryzuje względne intensywności trzech sumowanych fal monochromatycznych.

ω G( )ω

∆ω (a)

(b)

ω

t

Rys. 8.18. (a) Suma trzech fal monochromatycznych. (b) Względny rozkład amplitud.

Po to aby stłumić kolejne boczne dudnienia naleŜy dodać dwie fale monochromatyczne

(

^/

)

cosω −∆ω 2 ^{i cos}

(

ω +∆ω ^/2

)

^(8.86)

z odpowiednimi amplitudami, jak pokazano na rys. 8.19. Dodanie jeszcze dwóch fal monochromatycznych nie ma wpływu na środkowe dudnienie, lecz ich suma będzie przesunięta w fazie o 180° względem kolejnych dudnień.

W rzeczywistości w celu uformowania pojedynczej paczki falowej dokonuje się sumowania nieskończenie wielu fal monochromatycznych o zbliŜonych częstościach. Odpowiadająca temu sytuacja zilustrowana jest na rys. 8.20. Na tym rysunku funkcja ^G

( )

ω charakteryzuje względne amplitudy pojedynczych składowych monochromatycznych. Taka funkcja ^G

( )

ω nazwana jest funkcją gaussowską i jest opisana wzorem

( ) ( )

( )

^







− −

= 2

2

2∆ω ω ω ^exp ω

G , (8.87)

gdzie ∆ω jest odchyleniem średniokwadratowym (lub standardowym) wielkości względem ω ^. Wielkość ∆ω będziemy nazywali rozrzutem częstości.

Aby znaleźć sumę nieskończonej liczby fal monochromatycznych, naleŜy obliczyć całkę

( )

ω ^cosω^tdω

∫

G ^{. (8.88)}

Całkę tę moŜna obliczyć korzystając z tablic całek

G( )ω

∆ω

ω (a)

(b)

t

ω

Rys. 8.19. (a) Suma pięciu fal mono-chromatycznych. (b) Względny rozkład amplitud.

G( )ω

∆ω ω ω

t (a)

(b)

Rys. 8.20. (a) Suma nieskończonej liczby fal monochromatycznych. (b) Względny rozkład amplitud. G(ω) – funkcja gaussowska ze średnią wartością ω i odchyleniem średniokwadratowym

ω

∆ ^.

( )

( )

^{cos td exp t}

( )

^{cos t}

exp ω ω π ∆ω ω

ω

∆ ϖ ω























−

 =









− −

∫

²² 2 2^{2 2}

2

, (8.89)

Widzimy, Ŝe po prawej stronie tej równości napisana jest fala monochromatyczna ^cosωt zmodulowana gaussowską obwiednią ^exp

[

⁻

( )

^{t2 2}

^{( )}

^{∆ω 2}

]

. Odchylenie średniokwadratowe dla tej funkcji jest równe

ω

∆t= ∆¹ (8.90)

i nazywane jest szerokością paczki falowej Wobec tego, rozrzut częstości składowych monochromatycznych równy jest odwrotności szerokości paczki falowej. Funkcja ^G

( )

ω nazywana jest transformatą (obrazem) Fouriera paczki falowej.

Po zsumowaniu fal o róŜnych częstościach moŜna otrzymać interesujący wynik – prędkość rozchodzenia się obwiedni moŜe znacznie róŜnić się od prędkości fazowej, z którą rozchodzą się składowe monochromatyczne. Na skutek tego prędkość rozchodzenia się paczki falowej jako całości, moŜe istotnie róŜnić się od prędkości rozchodzenia się fal monochromatycznych wchodzących w jej skład. Prędkość paczki falowej, czyli prędkość obwiedni, nazwana jest prędkością grupową.

Na rys. 8.21 pokazano na przykładzie dwóch fal monochromatycznych o zbliŜonych częstościach i długościach fal, dlaczego obwiednia moŜe propagować się z inną prędkością.

Superpozycję takich dwóch fal biegnących moŜemy zapisać w postaci

( )

^{x,t Acos}

[ ( )

^t

(

^{k k}

)

^x

]

^Acos

[ ^{( )}

^t

(

^{k k}

)

^x

]

y = ω +∆ω − +∆ + ω −∆ω − −∆ ,

gdzie ^k =²π ^/λ jest średnią liczbą falową. W przypadku z rys. 8.21, obwiednia przemieszcza się w prawo dwukrotnie szybciej od kaŜdej składowej monochromatycznej.

Stosując dla ^cosα +^cosβ trygonometryczną formę dodawania, otrzymujemy

( )

^{x,t Acos}

[ ( ) ( )

^{t k x}

]

^cos

(

^{t kx}

)

y =² ∆ω − ∆ ω − ^.

Widzimy, Ŝe obwiednie moŜemy opisać w postaci ^A

( )

^x,t =2^Acos

[ ( ) ( )

∆ω ^t− ∆^{k x}

]

. Maksimum funkcji jest przyjmowane gdy

( ) ( )

∆ω t− ∆k x=^0, to jest przy

k t x

∆ω

= ∆ .

Wielkość ta określa prędkość przemieszczania się grzbietu obwiedni. W ten sposób określona jest prędkość grupowa.

y₁

t₁

t₂

t₃

t₄ (y +y )_{1 2}

y₂

Rys. 8.21. Dwie fale monochromatyczne y1 i y2 poruszają się w prawo z nieznacznie róŜniącymi się prędkościami. W tym przypadku obwiednia sumy y1 i y2 przemieszcza się w prawo z podwójną prędkością. Przytoczono cztery kolejne połoŜenia odpowiadające chwilom czasu t1, ...., t4. Strzałkami zaznaczono połoŜenie grzbietów w róŜnych chwilach czasu.

JeŜeli mamy zbiór fal monochromatycznych o zbliŜonych częstościach, przy czym ω ^stanowi funkcję zaleŜną od k, tak Ŝe ω =ω

( )

^k , to prędkość grupowa określona jest w następujący sposób

dk v_{g =}dω

. (8.91)

Znajdziemy związek między prędkością fazową a prędkością grupową. Uwzględniając, Ŝe λ ^{= 2}π^{/k, mamy}

( )

λ

λ λ

λ ^d

du k k

dk u d d k du dk u

kdu dk u

uk

v_g d 



 



− +

=



 

 + 

= +

=

= ,

czyli

λ λ d u du

v_g = − . (8.92)

Ze związku (8.92) wynika, Ŝe v_g moŜe być mniejsze jak i większe od u w zaleŜności od znaku ^du/dλ. W ośrodkach niedyspersyjnych ^du/dλ=0 i prędkość grupowa jest równa prędkości fazowej. W teorii względności udowadnia się, Ŝe prędkość grupowa v_g ≤c, podczas gdy dla prędkości fazowej nie ma ograniczenia.

Najbardziej charakterystyczny przykład rozchodzenia się fali z prędkością grupową to przechodzenie światła przez dielektryk (patrz pkt. 9.3.5). Drugie bardzo waŜne zastosowanie pojęcia prędkości grupowej związane jest z mechaniką kwantową, w której cząstkom przypisuje się paczki falowe. Prędkość cząstki jest zgodna z prędkością grupową paczki falowej, a nie z prędkościami oddzielnych składowych, które zwykle róŜnią się od siebie.

W dokumencie PODSTAWY FIZYKI DLA ELEKTRONIKÓW (Stron 143-147)