Efekt Halla

Zjawisko Halla polega na powstaniu w metalu lub półprzewodniku, pola elektrycznego skierowanego prostopadle do wektora magnetycznego B

r

i wektora gęstości prądu j r

płynącego w próbce. Zjawisko to zostało odkryte przez amerykańskiego fizyka Halla w 1879 r.

Rozważmy płytkę metalu (lub półprzewodnika) umieszczoną w polu magnetycznym, w którym płynie prąd o gęstości j

r

(rys. 6.9). Przy danym kierunku j r

prędkość elektronów skierowana jest w lewo, a pod wpływem siły Lorentza elektrony odchylane są do góry. Wobec tego na górnej powierzchni płytki metalu pojawia się zwiększona koncentracja elektronów (powierzchnia ładuje się ujemnie), natomiast na dolnej – niedobór elektronów (dolna powierzchnia ładuje się dodatnio). Na skutek tego, pomiędzy tymi dwoma powierzchniami powstaje dodatkowe, poprzeczne pole elektryczne skierowane z dołu do góry. Kiedy natężenie

EB

r

tego poprzecznego pola elektrycznego osiągnie wielkość równoważącą działanie siły Lorentza, to ustali się stacjonarny rozkład ładunków w kierunku poprzecznym. Wówczas:

a evB e V eE_B = ∆ =

,

a v

B

F

j

Rys. 6.9. Efekt Halla

czyli

vBa V =

∆ ^,

gdzie a jest szerokością płytki, a ∆^{V –} poprzeczną hallowską różnicą potencjałów.

Uwzględniając, że natężenie prądu I = jS = nevS, otrzymujemy

d

RIB d IB Ba en

nead

V = I = 1 =

∆ . (6.18)

Widzimy, że napięcie Halla (halowska poprzeczna różnica potencjałów) jest wprost proporcjonalne do indukcji magnetycznej B, natężenia prądu I i odwrotnie proporcjonalne do grubości płytki d. We wzorze (6.18) R = 1/en nazwane jest stałą Halla. Z pomiarów eksperymentalnych można określić koncentrację nośników prądu w przewodniku, określić typ przewodnictwa półprzewodnika (znak stałej Halla jest zgodny ze znakiem ładunku e nośników prądu). Z tego powodu pomiar efektu Halla jest efektywną metodą badania typu i koncentracji nośników w metalach i półprzewodnikach.

6.7. Magnetyzm

Namagnesowany pręt (magnes stały) w jednorodnym polu magnetycznym dąży do położenia wzdłuż linii sił pola magnetycznego (rys. 6.10). Kompas magnetyczny również stanowi nieduży namagnesowany pręcik, orientujący się wzdłuż linii pola magnetycznego. Zachowanie magnesu można opisać zakładając, że na jednym końcu znajduje się ładunek magnetyczny q_m, a na drugim końcu – ładunek magnetyczny –q_m. Gdyby istniał ładunek magnetyczny, to w polu magnetycznym działałaby na niego siła F q_m B

r

r = ⋅ analogiczna do siły działającej na ładunek elektryczny w polu elektrycznym.

Chociaż w przyrodzie ładunki magnetyczne nie istnieją, pojęcie to wprowadza się ze względu na wygodny matematyczny sposób opisania właściwości magnesów.

Moment sił działających na magnes (rys. 6.10) wynosi α sin Fl

T = ,

czyli

α sin Bl q

T = _m . (6.19)

Iloczyn q_ml = µ określa się jako moment magnetyczny. Wobec tego α

µ^Bsin

T = ,

a w zapisie wektorowym

B T

r r

r =µ× ^{. (6.20)}

l α B

F

F +q

_m

-q

_m

Rys. 6.10. Namagnesowana próbka o długości l położona pod kątem α do linii sił zewnętrznego

pola magnetycznego B r .

F

F B

Rys. 6.11. Prostokątna ramka o powierzchni l1l2w jednorodnym polu magnetycznym.

Należy zauważyć, że w analogiczny sposób zachowuje się pętla z prądem (rys. 6.11).

Obliczmy iloczyn wektorowy l B r

r× dla każdego z czterech boków ramki. Siły magnetyczne przyłożone do dwóch przeciwległych boków o długości l1 tworzą moment obrotowy

α sin Fl

T = ₂ ^.

Ponieważ siła działająca ze strony pola magnetycznego na przewodnik z prądem wynosi B

Il

F = ₁ ^{, stąd}

( )(

^{Il B l sin}α

)

^{Ill Bsin}α ^ISBsinα

T = 1 2 = 12 = . (6.21)

Siły przyłożone do dwóch stron ramki o długości l2 działają w przeciwnych kierunkach wzdłuż jednej osi i dlatego wzajemnie kompensują się.

Wynika z tego, że pętla z prądem wytwarza pole magnetyczne identycznie jak magnes.

Przyrównując prawe strony wyrażeń (6.19) i (6.21) znajdziemy moment magnetyczny pętli z prądem

=IS

µ ^{. (6.22)}

(a)

(b)

+qm

+qm

+qm

+qm

-qm

-qm -qm -qm

Rys. 6.12. (a) Magnes. (b) Magnes podzielony na trzy części.

Do chwili odkrycia elektronu i prądu elektronowego w metalach zachowanie magnesów w polach magnetycznych wyjaśniano na podstawie hipotezy o ładunkach magnetycznych. Gdyby tak było, można byłoby wydzielić wyizolowany biegun magnetyczny dodatni, bądź ujemny (tak jak w przypadku ładunków elektrycznych). Wydawałoby się, że można to zrobić łamiąc jeden z końców magnesu. Jednak przy tym na drugim końcu pojawia się nowy, przeciwny biegun (rys.

6.12). Do chwili obecnej nie udało się odkryć w przyrodzie izolowanego bieguna magnetycznego. Fizycy są zgodni, że właściwości magnesów można wyjaśnić zamkniętymi, wewnątrzatomowymi prądami. Hipotezę tę wysunął Amper’e. Obecnie wiemy, że te mikroprądy są spowodowane orbitalnym i spinowym ruchem elektronów. Wewnątrz magnesu, prądy w sąsiadujących ze sobą częściach obwodów elementarnych, mają kierunki przeciwne więc znoszą się (rys. 6.13b). Nie znoszą się natomiast prądy płynące w częściach zewnętrznych elementarnych obwodów położonych na obwodzie przekroju, dając jakby wypadkowy prąd opływający zewnętrzny obwód przekroju.

(a) (b)

-q_m +q_m

S

Rys. 6.13. (a) Magnes po którego powierzchni cyrkulują prądy Ampere’a. (b) Widok magnesu w przekroju – pokazano prądy atomowe, wypadkowy prąd zaznaczono grubą linią.

Tak więc dowolny magnes stanowi jak gdyby solenoid, po powierzchni którego cyrkuluje prąd Ampere’a. Obliczmy wielkość tego prądu dla magnesu o ładunku magnetycznym q_m. Na każdy zwój solenoidu działa moment sił ^T1= ^ISBsinα . Na solenoid zawierający N zwojów będzie działał moment sił T = NISB sinα. Porównując to wyrażenie z (6.19) mamy

α α ^NISBsin sin

Bl

q_m = ,

czyli

IS n l IS

q_m = N = _l , (6.23)

gdzie n_lI ma sens fizyczny prądu powierzchniowego. Wzór (6.23) potwierdza fakt, że solenoid o prądzie powierzchniowym n_lI zachowuje się podobnie jak magnes o ładunku q_m = n_lIS.

Wprowadziliśmy uprzednio dwie wielkości charakteryzujące pole magnetyczne B ,H r r

i relację (6.7) wiążącą te wielkości. Zastanówmy się bliżej nad fizycznym sensem wprowadzania tych dwóch wektorów. Otóż pola magnetyczne wytworzone przez prądy płynące w przewodnikach określają natężenie pola magnetycznego H

r

. Tylko ta wielkość jest niezmiennicza przy otaczaniu przewodów z prądem kolejno różnymi ośrodkami. O natężeniu pola decydują tylko prądy – ich natężenie, kształt przewodnika oraz położenie punktu w którym się je wyznacza.

Jeżeli obszar w którym istnieje pole magnetyczne wypełnia jakaś substancja, to okazuje się, że wartość sił działających na przewodnik z prądem zależy od rodzaju substancji. Wynika stąd, że indukcja magnetyczna, decydująca o działaniu dynamicznym pola, zależy od rodzaju tej substancji. W celu wyjaśnienia tego faktu należy przyjąć, że ośrodek (substancja) ”magnesują się” w pewien sposób.

Podobnie jak w dielektrykach, tak w magnetykach istnieją, lub też powstają pod wpływem pola magnetycznego, momenty magnetyczne (dipole magnetyczne). Po przyłożeniu zewnętrznego pola magnetycznego dipole te porządkują się w pewien sposób i ciało jako całość stanowi pewien dipol magnetyczny. Ale dipol wytwarza pole własne, które może dodawać się lub odejmować od pola zewnętrznego. Dlatego wypadkowe pola w ośrodkach będą na ogół różne od pola w próżni.

Wielkością charakteryzującą pole magnetyczne związane jedynie z magnetycznymi właściwościami ośrodka jest magnetyzacja. Jest to wielkość wektorowa zdefiniowana jako moment magnetyczny jednostki objętości.

∑

= p_m

Jr V r

1 , (6.24)

a więc iloraz wypadkowego momentu magnetycznego dowolnej objętości ciała V przez tę objętość.

Wypadkową indukcję w ośrodku tworzą więc dwie składowe: indukcja B_o r

związana jedynie z prądem makroskopowym wytwarzającym pole magnetyczne o natężeniu H

r

(składowa niezależna od ośrodka) i indukcja B_J

r

związana jedynie z prądami magnesującymi, które na ogół (z wyjątkiem magnesów stałych) powstają pod wpływem zewnętrznego pola H

r

. Mamy więc

J

o B

B B

r r

r = + ^{, (6.25)}

a każda ze składowych wiąże się z wielkością bezpośrednio odpowiedzialną za jej powstanie H

B_{o o} r

r =µ ; B_{J o}J r

r =µ ^{. (6.26)}

Ponieważ magnetyzacja J r

zależy od natężenia pola magnetycznego H

J r

r =χ , (6.27)

gdzie χ jest wielkością bezwymiarową nazwaną podatnością magnetyczną. Ze wzorów powyższych otrzymujemy

H H

) 1 (

B _{o o r}

r r

r =µ +χ =µ µ ^{. (6.28)}

Względna przenikalność magnetyczna ośrodka µ_r określa ile razy pole magnetyczne makroprądów H

r

zwiększa się na skutek pola mikroprądów ośrodka. Indukcja magnetyczna B r w ośrodku może być co do modułu większa lub mniejsza niż indukcja w próżni, zależnie od tego czy natężenie pola magnetycznego H

r

i magnetyzacja J r

mają te same zwroty czy też przeciwne.

Z tego powodu wszystkie ciała można zaliczyć do jednej z trzech podstawowych grup: mogą być one diamagnetykami, paramagnetykami lub ferromagnetykami. Ponieważ właściwości magnetyczne ciał uwarunkowane są głównie orbitalnym i spinowym momentem magnetycznym elektronów, więc właściwości te omówione zostaną po wprowadzeniu elementów mechaniki kwantowej.

ROZDZIAŁ 7

W dokumencie PODSTAWY FIZYKI DLA ELEKTRONIKÓW (Stron 98-103)