Prawa Kirchhoffa

W bardziej złożonych obwodach rezystory mogą być tak połączone, że nie uda się ich sprowadzić do połączenia równoległego i szeregowego. Przykład takiego obwodu pokazany jest na rys. 5.3a. Obwody mogą również zawierać kilka źródeł prądu (rys. 5.3b). Istnieje ogólny sposób obliczania obwodów stosując prawa Kirchhoffa.

E

E₁ E₂

R₃ R₁

R1

R₂

I2

I₁

I₃ R₂

R_x Rg

A

B C

D

F E (a) (b)

-+

+

Rys. 5.3. (a) Schemat mostka Wheatstone'a stosowanego do pomiaru R_x, (b) Stabilizator napięcia.

Prawo dla konturu: Suma algebraiczna spadków napięć liczonych wzdłuż zamkniętego konturu jest równa zeru.

Prawo dla węzła: Suma algebraiczna wszystkich prądów węzła (wchodzących i wychodzących) jest równa zeru.

Prawo dla konturu jest wynikiem prawa zachowania energii, natomiast prawo dla węzła - wynikiem prawa zachowania ładunku elektrycznego.

Każdej części obwodu przypisujemy wartość i kierunek prądu. Stosując pierwsze prawo przyjęto, że spadek napięcia jest dodatni, jeżeli kierunek obejścia zamkniętego konturu jest zgodny z kierunkiem prądu; natomiast jest ujemny, jeżeli kierunek obejścia jest przeciwny do kierunku prądu. SEM będziemy traktować jako dodatnią przechodząc od ”+” do ”–”. Jeżeli po rozwiązaniu zadania wartość prądu okaże się ujemna, to oznacza że faktyczny kierunek prądu jest przeciwny do obranego.

Jako przykład znajdziemy prądy płynące w obwodzie z rys. 5.3b. Zastosujemy prawo dla konturu ABCDEA:

1 0

3 2 2

2 −I R −I R = E

i dla konturu EFDE:

1 0

3 1−I R =

E .

Uwzględniając drugie równanie w pierwszym mamy

2 0

2 1

2 −E −I R =

E , czyli

2 1 2

2 R

E I = E − .

Prąd I1 możemy określić stosując prawo dla węzła w punkcie D

3 0

2

1+I −I =

I ,

czyli

2 pobierany. Układ w którym I1≈ 0 ma ważne znaczenie w praktyce. Załóżmy, że na rezystorze R1

należy uzyskać spadek napięcia równy dokładnie E1, chociaż przez R1 płynie duży prąd I3. Układ przedstawiony na rys. 5.3b działa w tym przypadku jak stabilizator napięcia. Nieduża zmiana napięcia źródła mocy E2 nie wpływa na napięcie E1 przyłożone do R1. E1 może być źródłem o małej mocy, chociaż przez R1 płynie duży prąd (prąd ten w zasadzie pobierany jest od źródła E2, a napięcie określane jest źródłem E1). Jeżeli zastosować tylko jedną baterię E1 to ulegnie szybko wyczerpaniu.

Schemat obwodu pokazany na rys. 5.3a stosowany jest w praktyce do pomiaru nieznanej rezystancji Rx z dużą dokładnością. Jeżeli w tym schemacie Rg oznacza rezystancję galwanometru (bardzo czułego przyrządu do pomiaru prądu) to otrzymujemy schemat zwany mostkiem Wheatstone'a. Przy nieznanej rezystancji Rx dobiera się taką rezystancję R3 aby prąd płynący przez Rg był zerowy. Wówczas R2/R1 = Rx/R3 oraz Rx = R3(R2/R1).

5.5. Siła magnetyczna

W życiu codziennym często spotykamy się z siłą magnetyczną. Oto przykłady: magnesy trwałe, cewki indukcyjne, elektromagnesy, przekaźniki elektryczne, układy odchylania kineskopów telewizyjnych, itp. Wszystkie te przejawy siły magnetycznej mogą być wytłumaczone w oparciu o fundamentalne oddziaływania pomiędzy poruszającymi się ładunkami, czyli prądami. W rozdziale 6 wykażemy, że z punktu widzenia budowy atomowej w magnesach istnieją stałe prądy wirowe i że siła działająca na magnes uwarunkowana jest fundamentalnym oddziaływaniem poruszających się ładunków.

Niezależnie od tego czy ładunek porusza się, czy jest w spoczynku, działa na niego siła niektórych popularnonaukowych książkach ta dodatkowa siła (nazywana magnetyczną) wprowadzona jest jako wynik obserwacji eksperymentalnych i traktowana jako nowa fundamentalna siła przyrody. W następnym punkcie wykażemy, że istnienie tej ”dodatkowej”

siły proporcjonalnej do qv wynika z zasady względności. Siła magnetyczna jest prostym, relatywistycznym wynikiem prawa Coulomba. Wobec tego, jeżeli F

r

oznacza relatywistyczną siłę elektromagnetyczną (siłę Lorentza) działającą na ładunek q, to możemy napisać

Fmag

jest proporcjonalna do qv, można określić taką wielkość wektorową B r

, aby

B v q F_mag

r r

r = × . (5.14)

W następnym punkcie udowodnimy, że wyrażenie to stosowane jest do określenia pola magnetycznego B

r

i nauczymy się obliczać wielkość B r

poprzez prądy, które ją powodują.

F

F

F

F

(a) (b) Akumulator

Rys. 5.4. Położone w odległości kilku centymetrów od siebie dwa nie naładowane przewodniki przyciągają się (a) lub odpychają się (b) w zależności od kierunków płynących w nich prądów.

Znany jest fakt eksperymentalny, że dwa przewodniki równolegle położone względem siebie, przyciągają się gdy kierunki prądów w nich płynące są jednakowe; lub odpychają się, gdy kierunki tych prądów są przeciwne (rys. 5.4). Jeżeli prąd w niżej położonym przewodniku zamienić poruszającym się ładunkiem q, to ładunek będzie przyciągany do przewodnika co pokazano na rys. 5.5.

v F

I

y

q +

Rys. 5.5. Ładunek punktowy q poruszając się z prędkością vr

równolegle do przewodnika z prądem I, przyciągany jest przez przewodnik.

Rozpatrzymy bardziej wnikliwie sytuację zilustrowaną na rys. 5.5. Prąd I uwarunkowany jest elektronami przewodnictwa poruszającymi się w lewo z prędkością dryfu vd. Aby przewodnik był elektrycznie obojętny, powinien istnieć ”łańcuszek” dodatnio naładowanych jonów przenoszących ładunek równy co do wartości lecz przeciwny co do znaku (rys. 5.6). Niech λ₋ oznacza liniową gęstość ładunku elektronów przewodnictwa, a λ+ – liniową gęstość dodatnich

jonów, przy czym λ₊ =λ₋. Chcemy obliczyć siłę działającą na ładunek q, jeżeli taka siła

Rys. 5.6. Powiększony przewodnik z rys. 5.5.

I’

5.5, widziany przez obserwatora poruszającego się z ładunkiem q.

Najpierw udowodnimy, że w układzie odniesienia związanym z poruszającym się ładunkiem q, obojętny przewodnik, jak pokazano na rys. 5.5, będzie miał ładunek o gęstości liniowej

( )

^{c I}

widziany przez obserwatora poruszającego się razem z ładunkiem q.

Niech z poruszającym się ładunkiem związany jest ”kreskowany” układ odniesienia Ox'y'. Z rys. 5.7 widzimy, że w tym układzie odniesienia dodatnie jony poruszają się w lewo z prędkością v i w tym samym kierunku lecz z większą prędkością v₋^, poruszają się elektrony przewodnictwa.

Gęstość ładunku w przewodniku

' ' ' =λ+ +λ−

λ ^{. (5.15)}

Ze względu na lorentzowskie skrócenie

( ) ( )

_o

gdzie (λ₋)_o jest gęstością ładunku elektronów przewodnictwa pozostających w spoczynku, przy czym na wskutek skrócenia lorentzowskiego mamy

( ) ( )

o Podstawiając ostatnie wyrażenie do (5.17) otrzymujemy

( )

Ażeby wyłączyć β’ wykorzystamy relatywistyczne prawo dodawania prędkości (3.22)

β

Podstawiając (5.16) i (5.18) do (5.15) otrzymujemy

−

Faktycznie wykazaliśmy, że w układzie odniesienia związanym z poruszającym się ładunkiem, obserwator widzi ładunek obojętnego przewodnika o gęstości liniowej określonej powyższym wzorem. Uzyskany rezultat jest konsekwencją skrócenia lorentzowskiego obserwowanego przez obserwatora związanego z poruszającym się ładunkiem. Ponieważ elektrony poruszają się szybciej od dodatnich jonów, odległość między nimi ulega większemu skróceniu niż między jonami. Wobec tego z punktu widzenia poruszającego się obserwatora moduł λ₋ okazuje się większy od modułu λ₊ i wypadkowa gęstość ładunku będzie ujemna, a nie równa zeru jak w układzie związanym z przewodnikiem. W związku z tym ujemnie naładowany przewodnik przyciąga ładunek q z siłą [zobacz wzór (4.19)]











= 

=qE q y

F

o ' '

'

πε λ

2 .

Podstawiając teraz wyrażenie na λ^'₋ z (5.19) znajdujemy siłę jaką rejestruje poruszający się obserwator

( )

^{c y}

I c

v F qv

o '

2 2 2

1₋ πε

= . (5.20)

Udowodniliśmy więc, że z punktu widzenia teorii względności na poruszający się ładunek q działa siła. Jeżeli siłę tę rejestruje poruszający się obserwator, to powinien ją również rejestrować każdy obserwator poruszający się bez przyśpieszenia. Zgodnie z teorią względności, spoczywający obserwator zmierzy siłę ^{F =}

(

^{1−v2 c2}

)

^{1/ 2F'}. Wobec tego, spoczywający obserwator zmierzy siłę

yqv I c F

o

2 2

1

= πε . (5.21)

Na zakończenie możemy stwierdzić, że stosując prawo Coulomba i wyniki teorii względności, otrzymaliśmy wyrażenie (5.21) określające siłę działającą na ładunek poruszający się w odległości y od przewodnika z prądem (rys. 5.5). Siła ta jest wprost proporcjonalna do wielkości ładunku, jego prędkości i natężenia prądu w przewodniku; zaś odwrotnie proporcjonalna do odległości ładunku od przewodnika. Wartość tej siły zgodna jest z wynikami eksperymentalnymi

yqv

F =2×10⁻⁷ I . (5.22)

Współczynnik proporcjonalności wynosi 2×10^–7 jeżeli wszystkie wielkości wyrażone są w jednostkach układu SI.

W dokumencie PODSTAWY FIZYKI DLA ELEKTRONIKÓW (Stron 80-86)