Zjawiska fizyczne i opisujące je prawa przyjęto dzielić na klasyczne i współczesne. Fizyka współczesna opiera się o falową naturę materii i zawiera nową fundamentalną stałą odkrytą przez Plancka w 1900 r. Przekonanie wśród fizyków o falowej naturze materii ugruntowało się w latach dwudziestych XX w.
Zgodnie z takim określeniem fizyki współczesnej, to wszystko o czym dotychczas mówiliśmy jest fizyką klasyczną. W tym rozdziale pokażemy, że wszystkie cząstki elementarne charakteryzują się właściwościami falowymi, które wpływają na ich zachowanie szczególnie w niedużych odległościach. Nie wyjaśniając uprzednio falowych właściwości materii, niemożliwe byłoby zrozumienie budowy atomów i molekuł, właściwości cząstek elementarnych oraz takich działów fizyki jak: fizyka ciała stałego, fizyka jądrowa, czy też astrofizyka. Wynikające z falowej natury materii podstawowe założenia i formalizm matematyczny stanowią przedmiot badań mechaniki kwantowej.
Zdumiewający przewrót w naszych poglądach na czas i przestrzeń spowodował Einstein.
Jednakże zobaczymy, że falowa natura materii, dualizm korpuskularno-falowy i ich konsekwencje, okażą się bardziej zdumiewające i przeczące zdrowemu rozsądkowi niż einsteinowski postulat o stałości prędkości światła we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. Falowa natura materii jakościowo przejawia się w tym, że każdą cząstkę cechują właściwości falowe i odwrotnie, dowolna fala charakteryzuje się właściwościami cząstek. Jako pierwszy przykład demonstrujący tę właściwość fal, rozważymy promieniowanie termiczne.
10.1. Promieniowanie termiczne
Jednym z podstawowych zjawisk fizycznych, którego nie można wyjaśnić na gruncie fizyki klasycznej, jest promieniowanie termiczne ciał (zwane też promieniowaniem cieplnym lub temperaturowym). Usunięcie sprzeczności między wynikami doświadczalnymi a teorią dało początek teorii kwantów.
Promieniowaniem termicznym nazywamy promieniowanie wysyłane przez ciała ogrzane do pewnej temperatury. Emitowane fale mają długości fal z szerokiego zakresu widma, ale zwykle główna część przypada na podczerwień. Promieniowanie termiczne jest wynikiem przyśpieszeń jakich doznają ładunki elektryczne atomów i cząstek. Zatem promieniowanie to powstaje
Promieniowanie termiczne charakteryzujemy wprowadzając pojęcie zdolności emisyjnej ciała e(ν,T) zdefiniowanej tak, że e(ν,T)dν jest energią promieniowania wysyłanego w jednostce czasu z jednostki powierzchni o temperaturze T, w postaci fal elektromagnetycznych o częstościach zawartych w przedziale od ν do ν + dν.
Widmo promieniowania termicznego wysyłanego przez ciało zależy w pewnym stopniu od składu tego ciała. Wprowadzono pojęcie ciała emitującego promieniowanie o widmie mającym charakter uniwersalny. Ciało takie nazywamy ciałem doskonale czarnym, ponieważ całkowicie absorbuje promieniowanie termiczne nań padające. Przykładem ciała, które ma właściwości zbliżone do ciała doskonale czarnego, jest sadza. Bardzo dobrym modelem ciała doskonale czarnego jest nieprzezroczyste ciało zawierające wnękę z bardzo małym otworem wejściowym (rys. 10.1). Ponadto zakładamy, że ścianka wnęki w dużym stopniu absorbuje padające promieniowanie. Powierzchnia otworu zachowuje się tak, jak powierzchnia ciała doskonale czarnego.
Promień świetlny
Powierzchnia o dużej zdolności absorpcyjnej
Rys. 10.1. Model ciała doskonale czarnego.
Wprowadzimy jeszcze pojęcie zdolności absorpcyjnej, a , i zdolności odbicia, r, powierzchni charakteryzujące ciała promieniujące. Wielkość a wskazującą jaki ułamek energii padającej na powierzchnię zostanie pochłonięty, nazywa się zdolnością absorpcyjną powierzchni, a liczbę r wskazującą jaki ułamek energii padającej zostanie odbity, nazywa się zdolnością odbicia.
Ogólnie biorąc dla dowolnego ciała a i r zależą od częstości padającego promieniowania i temperatury powierzchni, tak że a = a(ν,T) i r = r(ν,T). Między wielkościami a i r zachodzi związek
( ) ( )
,T +r ,T =1aν ν . (10.1)
Dla ciała doskonale czarnego, niezależnie od częstotliwości promieniowania i temperatury powierzchni a = 1 i r = 0.
Podstawowym prawem odnoszącym się do promieniowania termicznego ciał jest prawo Kirchhoffa, które mówi, że stosunek zdolności emisyjnej do zdolności absorpcyjnej jest dla wszystkich powierzchni jednakowy
( ) ( ) ( )
,T ,Ta T ,
e εν
ν ν =
. (10.2)
Funkcja ε(ν,T) jest pewną funkcją uniwersalną. Jej sens fizyczny jest natychmiast jasny, gdy przyjąć a(ν,T) = 1. Wówczas ε(ν,T) = e(ν,T), tzn., że funkcja ε(ν,T) jest zdolnością emisyjną ciała doskonale czarnego.
Aby uzasadnić prawo Kirchhoffa wyobraźmy sobie zbiornik (ciało z wnęką) pozostający w temperaturze T. Jeżeli wyciąć w tym zbiorniku otwór o jednostkowej powierzchni, to w ciągu jednostki czasu otworem zbiornika wypromieniuje ilość energii równa ε(ν,T)dν. Jeżeli otwór nie jest wycięty, to pada na jednostkową powierzchnię w czasie jednostki czasu taka sama ilość energii. Część tej energii zostanie zaabsorbowana a(ν,T)ε(ν,T)dν. W stanie równowagi taką samą ilość energii ścianka musi wypromieniować. Zatem e(ν,T) = a(ν,T)ε(ν,T), co jest właśnie prawem Kirchhoffa.
νmax1νmax2 ν T1
T >T2 1
ε
Rys. 10.2. Zależność zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego od częstotliwości dla dwóch temperatur T1 i T2.
Z powyższego widać jednoznacznie, że zdolność emisyjną dowolnej powierzchni uzyskujemy mnożąc jej zdolność absorpcyjną a(ν,T) przez zdolność emisyjną ciała doskonale czarnego ε(ν,T). Ponieważ zawsze
≤1
a , więc i e(ν,T) ≤ ε(ν,T), tzn. zdolność emisyjna każdej powierzchni nie jest większa od zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego.
Pomiary zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego doprowadziły do wyników zaprezentowanych na rys. 10.2, gdzie przedstawiono ε(ν,T) jako funkcję częstotliwości dla dwóch różnych temperatur T1 i T2 (T2>T1).
Całkowita energia E wypromieniowana przez jednostkową powierzchnię w czasie jednostki czasu jest równa polu powierzchni ograniczonej każdą z krzywych. Energia ta rośnie z temperaturą według prawa
T4
E=σ . (10.3)
Wzór powyższy nazywa się prawem Stefana-Boltzmanna, gdyż był po raz pierwszy wyznaczony przez Stefana, a teoretycznie wyprowadzony przez Boltzmanna. Stała σ jest stałą Stefana-Boltzmanna a jej wartość wynosi 5,67×10–8 Wm–2K–4.
Funkcja ε(ν,T) ma maksimum, które zależy od temperatury. Im wyższa temperatura, tym maksimum przypada dla wyższej częstotliwości. Między νmax a T zachodzi prosta zależność
T const
max = ×
ν . (10.4)
Prawo to nazywa się prawem Wiena.
Pod koniec XIX w. przeprowadzono bardzo staranne pomiary promieniowania termicznego ciała doskonale czarnego. Okazało się jednak, że próby wyprowadzenia prawa opisującego to widmo oparte na zasadach fizyki klasycznej, prowadzą do absurdalnych wyników. Np. Rayleigh i Jeans stosując prawa klasycznej elektrodynamiki dla promieniowania zrównoważonego (w którym promieniowanie emitowane przez drgające elektrony atomowe stanowiące oscylatory, jest pochłaniane przez inne atomy) otrzymali wzór
( )
kT staje się nieskończona. Jest to oczywiście sprzeczne z eksperymentem. Jedynie w zakresie niskich częstotliwości zgodność jest dobra.Próbując usunąć rozbieżności między teorią a doświadczeniem, M. Planck w 1900 r. wysunął hipotezę, że elektryczny oscylator harmoniczny stanowiący model elementarnego źródła promieniowania, w procesie emisji promieniowania może tracić energię tylko porcjami, czyli kwantami ∆E, o wartości proporcjonalnej do częstości ν jego drgań własnych. Czyli
ν
∆E=h , (10.6)
gdzie współczynnik proporcjonalności h nosi nazwę stałej Plancka i wynosi 6,626×10–34 Js.
Wymiarem h jest działanie = (energia)×(czas) = (długość)×(pęd) = (moment pędu). W związku z tym stałą Plancka nazywa się też elementarnym kwantem działania. Uogólniając swoje rozważania Planck zapostulował, że energia oscylatora może przyjmować wartości
ν nh
En = , n = 0, 1, 2... (10.7)
gdzie n jest liczbą kwantową. Jeżeli teraz przyjąć, że rozkład oscylatorów po możliwych dyskretnych stanach energii jest określony rozkładem Boltzmanna (patrz pkt. 15.4) to prawdopodobieństwo znajdowania się oscylatorów w stanie o energii nhν w temperaturze T jest równe pn =cexp
(
−nhν / kT)
, gdzie c jest stałym współczynnikiem określonym z warunku unormowania∑
=1n
pn . Wówczas średnia energia oscylatora wynosi
( )
Zauważmy, że
Uwzględniając, że w stanie równowagi termicznej wydatek energii promieniowania oscylatorów jest całkowicie kompensowany przez pochłanianie padającego na nie promieniowania, Planck pokazał, że
Wzór ten określa rozkład widmowy promieniowania ciała, który jest w bardzo dobrej zgodności z doświadczeniem.
Znając ε
( )
ν,T możemy wyliczyć całkowitą energię emitowaną w jednostce czasu z jednostkowej powierzchni ciała doskonale czarnego poprzez scałkowanie wyrażenia ε( )
ν,T . Otrzymujemy w ten sposób całkowitą zdolność emisyjną E ciała doskonale czarnego( ) ∫ ( )
Wprowadzając pomocniczą zmienną x=hν /kT dostajemy
∫
∞Występująca tu całka wynosi π4/15. Ostatecznie więc mamy
4 4
3 2
4 5
15
2 T T
h c
E= π k =σ
.
Uzyskaliśmy teoretycznie wzór Stefana-Botzmanna, przy czym stała Stefana-Botzmanna jest równa
3 2
4 5
15 2
h c π k σ = .
Interesujące jest jeszcze zachowanie się funkcji ε
( )
ν,T dla małych częstotliwości.Występującą w mianowniku funkcję wykładniczą można rozwinąć w szereg, zostawiając dwa pierwsze wyrazy. Dostajemy wówczas
(
h /kT)
h /kT h /kTexp ν −1≈1+ ν −1= ν .
Wzór (10.9) dla niskich częstotliwości promieniowania przybiera więc postać
( )
ν 2π2 ν2ε kT
c T
, = .
Jest to właśnie wzór Reyleigha-Jeansa.
Oznaczając podobnie jak poprzednio x=hν /kT i narzucając warunek istnienia maksimum (dε/dx = 0), mamy
x e−x =3−
3 .
Pierwiastek tego równania wynosi około 2,822, stąd wynika 1010
877 5 822
2 = ×
=
= T ,
h , k h T
k xmax
νmax s–1K–1T.
Otrzymaliśmy zatem prawo przesunięć Wiena. Również to prawo uzyskane z prawa Plancka jest w bardzo dobrej zgodności z doświadczeniem. Widzimy więc, że postulat Plancka o tym, że energia nie może być wypromieniowana w sposób ciągły, doprowadził do teoretycznego wyjaśnienia promieniowania ciała doskonale czarnego.
Porcje energii promienistej emitowanej przez ciało wynoszą hν. Porcje te zostały nazwane kwantami lub fotonami. Hipoteza Plancka dała początek fizyce kwantowej, a stała h występuje obecnie we wielu równaniach fizyki atomowej, jądrowej i ciała stałego.
10.2. Fotoefekt
W końcu XIX w. odkryto elektron. Wkrótce potem zauważono, że elektrony uciekają z niektórych powierzchni metalicznych, kiedy na powierzchnię pada światło (rys. 10.3). Od czasu eksperymentów dyfrakcyjnych przeprowadzonych przez Younga na dwóch szczelinach nie było wątpliwości, że światło jest falą. Taki pogląd pozwalał wyjaśnić fotoefekt. Amplitudę drgań