Drganie harmoniczne

JeŜeli układ, na który nie działają zmienne siły zewnętrzne, zostaje wprawiony w drgania na skutek jakiegokolwiek początkowego odchylenia od połoŜenia równowagi, to takie drgania nazywamy swobodnymi. W drgającym układzie zachowawczym nie występuje rozproszenie energii; drgania swobodne w tym przypadku nazywamy drganiami niegasnącymi.

Ruch drgający nazywamy okresowym (periodycznym), jeŜeli wartości wielkości fizycznych zmieniające się podczas drgań, powtarzają się w pewnych odstępach czasu. Najprostszym rodzajem drgań okresowych są tzw. drgania harmoniczne, dla których zaleŜność drgań wielkości fizycznej od czasu t opisujemy równaniem typu

(

ω +ϕ

)

= Acos t

s _o , (8.1)

gdzie A - maksymalna wartość drgającej wielkości nazywana amplitudą, ω_o – częstość kątowa, ϕ – faza początkowa drgań w chwili czasu t = 0,

(

ω t+ϕ

)

– faza drgań w chwili czasu t.

Określone stany układu wykonującego drgania harmoniczne powtarzają się w odstępie czasu T nazywanego okresem drgań, w którym faza drgań wzrasta o 2π, t.j.

( )

ϕ

(

ω ϕ

)

π

Wielkość odwrotna do okresu drgań

T

= 1

ν ^{, (8.3)}

równa liczbie okresów drgań (liczbie drgań) wykonywanych w jednostce czasu, nazywamy częstotliwością drgań. Porównując (8.2) i (8.3) otrzymujemy

ν π

ωo =2 . (8.4)

Jednostką częstotliwości jest hertz (1Hz) – jest to częstotliwość periodycznych drgań w których jeden cykl wykonywany jest w 1s.

Obliczmy pierwszą i drugą pochodną po czasie wielkości s wykonującej drgania harmoniczne (obliczymy więc prędkość i przyśpieszenie w przypadku drgań harmonicznych)

( )

^ róŜni cię od fazy wielkości (8.1) o π/2, a faza przyśpieszenia o π. Tak więc w chwili czasu gdy s

= 0, ds/dt przyjmuje największą wartość; podczas gdy s przyjmuje maksymalną ujemną wartość, to d²s/dt² przyjmuje największą dodatnią wartość (rys. 8.1). Ze związku (8.6) wynika równanie róŜniczkowe drgań harmonicznych

2 0

Rozwiązaniem tego równania jest wyraŜenie (8.1).

Drgania harmoniczne moŜna przedstawić graficznie za pomocą obracającego się wektora amplitudy. Jest to metoda wektorowa. W tym celu z dowolnego punktu 0 osi x pod kątem ϕ równym fazie początkowej drgań wykreślamy wektor A

r

, którego moduł jest równy amplitudzie A rozwaŜanego drgania (rys. 8.2). JeŜeli wektor wprawimy w obrót z prędkością kątową ω_o^{, to}

rzut końca wektora będzie się przemieszczać wzdłuŜ osi x i przyjmować wartości od +A do –A, a drgająca wielkość będzie zmieniać się w czasie według wzoru s= Acos

(

ω_ot+ϕ

)

. A zatem obracający się wektor amplitudy w zupełności charakteryzuje drganie harmoniczne.

+A

+Aωo

+Aωo

+Aωo

-Aωo

-A s

ds/dt

ds /dt^{2 2}

t

t

t

2

2

Rys. 8.1. ZaleŜność s, ds/dt i ds²/dt² od czasu dla drgań harmonicznych o okresie T = 2π/ωo.

ϕ

ωo

0

s x

Rys. 8.2. Rzut obracającego się wektora A r

na oś x charakteryzuje drganie harmoniczne.

Przedstawienie drgań harmonicznych za pomocą obracających się wektorów ma szerokie zastosowanie przy analizie złoŜonych drgań.

W fizyce często stosowana jest druga metoda opisu drgań harmonicznych. W metodzie tej drgającą wielkość opisuje się liczbą zespoloną (patrz pkt. 1.2.3)

(ω +ϕ)

= Ae^{i ot}

s . (8.8)

Część rzeczywista tego wyraŜenia

(

^t

)

^s

cos A s

Re = ω_o +ϕ = ^,

przedstawia drganie harmoniczne. W teorii drgań przyjmuje się, Ŝe drgająca wielkość s równa jest części rzeczywistej wyraŜenia zespolonego (8.8), czyli

(ω +ϕ)

=ReAe^{i ot}

s . (8.9)

8.1.1. Mechaniczne drgania harmoniczne

Oscylatorem harmonicznym nazywamy układ opisywany równaniem typu (8.7). Drgania oscylatora harmonicznego stanowią waŜny przykład ruchu periodycznego i słuŜą jako ścisły lub

harmonicznego są wahadła spręŜynowe, fizyczne, matematyczne, czy teŜ drgające obwody elektryczne.

Wahadłem spręŜynowym nazywamy cięŜar o masie m zawieszony na niewaŜkiej spręŜynie, wykonujący drgania harmoniczne pod wpływem siły spręŜystości F = –kx, gdzie k nazywamy współczynnikiem spręŜystości. Równanie ruchu dla wahadła

kx

Porównując to wyraŜenie do równania (8.7) wynika, Ŝe wahadło spręŜynowe wykonuje drgania harmoniczne ^x=^Acos

(

^ωo^t+^φ

)

z częstością kołową masa spręŜyny jest mała w porównaniu z masą ciała.

Siła ^{F =m}

(

^d2x/dt2

)

działająca na masę m wynosi

(

^t

)

^{m x}

cos mA

F=− ω_o² ω_o +ϕ =− ω_o²

i faktycznie jest proporcjonalna do przesunięcia x cięŜarka z połoŜenia równowagi i skierowana w przeciwną stronę.

Energia kinetyczna cięŜarka wykonującego drgania harmoniczne

(

ω ϕ

)

ω

[ (

ω ϕ

) ]

Energia potencjalna cięŜarka wykonującego drgania harmoniczne pod wpływem siły F jest równa

( )

[

ω φ

]

ω _{+ +}

=mA cos t

U ^o 1 2 _o

4

2 2

. (8.13)

Dodając stronami równania (8.12) i (8.13), otrzymujemy energię całkowitą

2

2 2

mA o

U K

W _{= + =} ω

. (8.14)

Z wyraŜeń (8.12) i (8.13) wynika, Ŝe U i K zmieniają się z częstością ²ω_o, tzn. z częstością dwa razy wyŜszą niŜ częstość drgań harmonicznych. PoniewaŜ wartości średnie ^sin2α ⁱ

α

cos2 są równe 1/2, więc z wyraŜeń (8.12), (8.13) i (8.14) wynika, Ŝe K = U =W 2^.

8.1.2. Elektryczne drgania harmoniczne

Wśród róŜnych zjawisk elektrycznych, szczególne miejsce zajmują drgania elektromagnetyczne, w których takie wielkości elektryczne jak ładunek, prąd, pole elektryczne i magnetyczne zmieniają się periodycznie.

-Q +Q -Q

+Q

t = 0 t = (1/4)T t = (1/2)T t = (3/4)T

(a) (b) (c) (d)

(

^12C

)

^Q2

W = W =

( )

12LI²o ^{W =}

(

^12C

)

^Q2 W =

( )

12LI²o

Rys. 8.3. Przebieg drgań elektrycznych w obwodzie LC.

RozwaŜymy bardziej szczegółowo obwód drgający LC przedstawiony na rys. 7.8. W chwili początkowej ładunek kondensatora ma wartość maksymalną (rys. 8.3a). RóŜnica potencjałów między jego okładkami jest wówczas największa, natomiast prąd równa się zeru. Następnie zaczyna się rozładowanie kondensatora. Dzięki zjawisku samoindukcji prąd w obwodzie stopniowo wzrasta, osiągając wartość maksymalną w chwili t = T/4, gdy q = 0 (rys. 8.3b). Z kolei dalej obserwuje się stopniowe zmniejszanie wartości prądu (przy zachowaniu kierunku), aŜ do zera osiąganego w chwili t = T/2 (rys. 8.3c). Ładunek kondensatora i róŜnica potencjałów między jego okładkami osiąga wtedy ponownie wartość maksymalną. Znaki ładunków okładek i kierunek pola elektrycznego między nimi są jednak teraz przeciwne względem tych, jakie występowały w chwili początkowej. W ten sposób w wyniku zjawiska samoindukcji następuje zmiana kierunku ładowania kondensatora. Dalej procesy przebiegają w odwrotnym kierunku (rys. 8.3d). W obwodzie występuje więc okresowe przenoszenie energii pola elektrycznego

kondensatora w energię pola magnetycznego prądu. W chwilach t = 0, T/2, T, itd. energia pola elektrycznego osiąga wartości maksymalne CV , jednocześnie energia pola magnetycznego _o² równa się zeru. Odwrotnie, w chwilach t = T/4, 3T/4, itd. energia pola magnetycznego jest maksymalna i równa LI_o² /2, natomiast energia pola elektrycznego równa się zeru.

RozwaŜmy teraz obwód elektryczny zawierający cewkę o indukcyjności L, kondensator o pojemności C i rezystor o rezystancji R. Zgodnie z prawem Kirchoffa

s

c E

V

IR+ = ,

gdzie IR oznacza napięcie na rezystorze, V_c =Q/C napięcie na kondensatorze, a dt

/ LdI

E_s =− SEM indukcji powstającą w cewce gdy płynie prąd zmienny. Tak więc

=0 +

+ C

IR Q dt

LdI .

Uwzględniając, Ŝe I = dQ/dt oraz dI /dt=d²Q/dt², otrzymamy równanie róŜniczkowe okresowych zmian ładunku Q w obwodzie

1 0

2

2 + + Q=

LC dt dQ L R dt

Q

d . (8.15)

W przypadku tego obwodu nie istnieją zewnętrzne SEM, w związku z tym rozwaŜane drgania stanowią drgania swobodne. JeŜeli R = 0, to drgania są harmonicznymi.

Z równania (8.15) otrzymamy równanie róŜniczkowe swobodnych drgań harmonicznych 1 0

2

2 + Q=

dt LC Q

d .

Podobnie jak w przypadku drgań mechanicznych, ładunek wykonuje drgania harmoniczne według prawa

(

ω +ϕ

)

=Q cos t

Q _{o o} , (8.16)

gdzie Q jest amplitudą drgań ładunku kondensatora z częstością _o ω_o nazywaną częstością drgań własnych obwodu

o LC

= 1

ω ^{, (8.17)}

a

LC

T =²π (8.18)

jest okresem drgań.

NatęŜenie prądu w obwodzie drgającym

( )

^

Napięcie na kondensatorze

(

ω +ϕ

)

=

(

ω +ϕ

)

Z wyraŜeń (8.16) i (8.19) wynika, Ŝe drgania prądu I wyprzedzają w fazie drgania ładunku Q o π/2, tj. kiedy prąd osiąga maksymalną wartość, ładunek (a takŜe napięcie – zob. (8.20)) przyjmuje zerową wartość i na odwrót.

W dokumencie PODSTAWY FIZYKI DLA ELEKTRONIKÓW (Stron 117-123)