FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
9.9. Optyka geometryczna
Z ogólnego punktu widzenia przez badanie zjawisk falowych rozumie się również badanie tego, co nazywamy optyką fizyczną. Właśnie dotychczas zajmowaliśmy się tym działem fizyki.
Obecnie w dużym skrócie przedstawimy główne zagadnienia optyki geometrycznej.
Długość fali świetlnej jest na tyle mała w porównaniu z rozmiarami większości przyrządów optycznych, że efekty interferencyjne nie ujawniają się. Fale świetlne rozprzestrzeniają się wzdłuż linii prostych prostopadłych do czoła fali. Dowolna taka prosta wzdłuż kierunku propagacji fal świetlnych nazywana jest promieniem świetlnym. Wykażemy, że promienie świetlne podlegają prawu odbicia (od zwierciadeł) i załamania (w przezroczystych ośrodkach np. soczewkach). Stosując te dwa prawa i zwykłe zasady geometrii euklidesowej można zbudować opis matematyczny lub obraz geometryczny propagacji promieni świetlnych. Taki opis matematyczny promieni świetlnych stanowi oddzielny dział fizyki i nosi nazwę optyki geometrycznej. Ponieważ w danym przypadku nowymi zasadami fizycznymi są jedynie prawo odbicia i załamania światła, więc rozpatrzymy je szczegółowo. Pozostałe problemy omówimy w skrócie.
9.9.1. Prawo odbicia
Zgodnie z prawem odbicia, kąt pod którym promień świetlny pada na odbijającą powierzchnię jest równy kątowi odbicia. Kąt padania określony jest jako kąt pomiędzy wiązką padającą i prostopadłą do odbijającej powierzchni. Wobec tego kąt pomiędzy czołem fali i powierzchnią odbijającą także jest równy katowi padania θpad.
Jak widać z rys. 9.35a, padające pole elektryczne indukuje prąd powierzchniowy J(y,t) który zmienia się z y według prawa sinusoidalnego. W przypadku przewodnika, prąd powierzchniowy okazuje się być takim, że pole wewnątrz przewodnika zawsze jest równe zeru. Oznacza to, że promieniowane przez prąd pole na prawą stronę dokładnie kompensuje Epad. Tak więc, jak widać z rys. 9.35b E'R =−Epad i θ'R =θpad.
Epad (a)
(b)
Strumień padający
Strumień promieniujący Strumień
promieniujący
Przewodnik θpad
'
EL ER'
λ λ
'
θL θ'R J
Rys. 9.35. (a) Trzy kolejne położenia czoła fali padającej pod kątem padania θpad; w przewodniku indukuje się prąd powierzchniowy J(y), którego maksima odpowiadają przecięciu czoła fali z powierzchnią przewodnika. (b) Pole promieniowania spowodowane jedynie prądem J(y).
Warunki symetrii wymagają aby E'L =E'R i
' R '
L θ
θ = [obraz fizyczny nie zmieni się, jeżeli na rys. 9.35b zamienić miejscami prawą stronę na lewą]. Udowodniliśmy więc, że w przypadku powierzchni przewodzącej amplituda fali odbitej zachowuje się lecz jej składowa wzdłuż powierzchni zmienia swój kierunek na przeciwny.
Jako przykład zastosowania prawa odbicia pokażemy w jaki sposób zwierciadło wklęsłe spełnia funkcję soczewki skupiającej.
Wiadomo dobrze, że soczewka prosta lub szkła powiększające skupiają równoległą wiązkę promieni słonecznych w punkcie nazywanym ogniskiem. W podobny sposób zachowuje się zwierciadło wklęsłe. Jak widać z rys. 9.36, ogniskowa zwierciadła wklęsłego równa jest połowie jego promienia krzywizny.
Na tym rysunku z wiązki promieni równoległych wybrano promień AP.
P C
A
Zwierciadło wklęsłe Ognisko
Strumień światła
Środek krzywizny
F θ
θ θ
Rys. 9.36. Równoległa wiązka światła padająca na zwierciadło wklęsłe o promieniu CP.
Niech θ oznacza kąt pomiędzy tym promieniem a normalną do zwierciadła CP. Zauważymy, że odcinek CP jest promieniem krzywizny zwierciadła. Zgodnie z prawem odbicia kąt APC jest równy kątowi FPC; wówczas trójkąt FPC jest równoramienny. Tak więc boki CF i FP są sobie równe i długość dowolnego z nich równa jest w przybliżeniu połowie odległości pomiędzy punktami C i P, czyli równa promieniowi krzywizny. Na rys. 9.37 pokazano jak można graficznie zbudować obraz przedmiotu (w danym przypadku strzałki) jeżeli znane jest położenie ogniska F. Przeprowadzamy z końca strzałki promień 1 równolegle do osi zwierciadła, a
promień 2 do środka zwierciadła. Obraz końca strzałki położony jest w punkcie przecięcia tych promieni. Wszystkie pozostałe promienie wychodzące z końca strzałki także przejdą przez ten sam punkt obrazu lub w jego pobliżu.
1 Przedmiot 2
Obraz
C F
Rys. 9.37. Tworzenie obrazu przez zwierciadło wklęsłe. Za pomocą promieni 1 i 2 określa się graficzne położenie obrazu.
Zwierciadło wklęsłe można stosować do otrzymania obrazu oddalonego przedmiotu. Obraz można powiększyć za pomocą krótkoogniskowej soczewki. Takie urządzenie nazwane jest teleskopem, a jego powiększenie równe jest stosunkowi ogniskowych. W teleskopach astronomicznych błony fotoczułe umieszczone są bezpośrednio w ognisku dużego zwierciadła wklęsłego. Ten szeroko rozpowszechniony typ teleskopu był odkryty przez Newtona i nazywany jest teleskopem odbiciowym.
9.9.2. Prawo załamania
Prawo załamania potwierdza, że przy przejściu z jednego ośrodka przezroczystego do drugiego, promień świetlny zmienia swój kierunek. Na przykład, jeżeli promień świetlny pada z powietrza na wodę lub szkło, to odchyla się w stronę normalnej do powierzchni rozdzielającej ośrodki. Rozważmy rys. 9.38. Pokażemy, że na granicy zmienia się kierunek propagacji fali. Na rysunku pokazano dwa kolejne położenia czoła falowego AB i A'B'. Niech λ1 oznacza długość fali świetlnej w ośrodku 1, a λ2 – w ośrodku 2; wówczas
f u1
1=
λ ;
f u2
2 = λ .
Z trójkąta prostokątnego ABB' znajdujemy
' sinθ1= ABλ1 , a z trójkąta prostokątnego A'AB
' sinθ2 = ABλ2 .
θ1
Rys. 9.38. Dwa kolejne położenia czoła falowego, kiedy fala przechodzi przez powierzchnię rozdziału szkło – powietrze.
Podzielimy pierwszy związek przez drugi
1 współczynnik załamania ośrodka. Stąd
1
Za pomocą prawa Snelliusa można obliczać właściwości optyczne soczewek. Podobnie jak zwierciadło wklęsłe, soczewka skupiająca odchyla wiązkę promieni równoległych i skupia je w odległości F od soczewki. Odległość F nazywamy ogniskową soczewki.
Położenie obrazu można określić graficznie w sposób pokazany na rys. 9.39. Prowadzimy promień 1 równolegle do poziomej osi. Soczewka odchyla go w ten sposób, że przechodzi przez ognisko F. Przez środek soczewki prowadzimy promień 2. Przecięcie tych dwóch promieni daje punkt, w którym położony jest obraz.
Za pomocą rys. 9.39 można otrzymać ilościowy związek pomiędzy odległością przedmiotu s i odległością obrazu s'. Zauważmy, że trójkąt ABO jest podobny do trójkąta A'B'O. Z podobieństwa trójkątów mamy
s
Oprócz tego trójkąt POF podobny jest do trójkąta A'B'F, tak że
f sobą prawe strony, otrzymujemy
'
Związek ten między odległościami od przedmiotu i obrazu nazywany jest wzorem cienkiej soczewki.
O P
B’
A’ A
B
s s’
2
2 1
1
F f
Rys. 9.39. Przedmiot AB położony jest w odległości s od soczewki o ogniskowej f. Obraz A'B' położony jest w odległości s' od soczewki.
Koniecznym jest ustalić w jakich przypadkach należy traktować wielkość s, s' i f jako dodatnie, a w jakich jako ujemne. Zwykle przy rozwiązywaniu jakichkolwiek zagadnień, elementy optyczne umieszcza się w taki sposób ażeby światło biegło przez soczewkę z lewa na prawo. Wówczas wielkość s' traktuje się jako dodatnią, jeżeli obraz położony jest na prawo od soczewki i ujemną – jeżeli obraz położony jest na lewo od niej. W przypadku soczewki rozpraszającej wielkość f jest ujemna. Wielkość s będzie ujemna, jeżeli promienie wychodzące z soczewki schodzą się w urojony przedmiot (może to być urojony obraz wytworzony na lewo od soczewki).