INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA
7.6. Równania Maxwella
+
=
r o r
o
E B
w ε ε 2 µ µ2
2
1 . (7.14)
7.6. Równania Maxwella
Z poprzednich rozważań wiemy, że zmiana pola magnetycznego powoduje powstawanie pola elektrycznego (prawo Faradaya)
∫
⋅ =−C
B
dt s d
d
Er r Φ
.
Z kolei z prawa Ampere’a (wzór (6.3)) wynika, że
∫
∫
B⋅ds = j⋅dSC
o
r r r r
µ ,
przy czym j r
oznacza gęstość prądu przewodzenia. W następnym punkcie wykazujemy, że w przypadku zmieniającego się pola elektrycznego, do prawej strony ostatniego równania należy dodać człon (1/c2 )dΦE / dt, a więc człon analogiczny do dΦB /dt występujący w prawie Faradaya.
7.6.1. Prąd przesunięcia
Rozważymy przykład zilustrowany na rys. 7.9. Kondensator z płytkami o kształcie kołowym ładowany jest prądem I, który przenosi ładunki z lewej płytki na prawą. Pole magnetyczne w punkcie P możemy obliczyć prowadząc przez ten punkt okrąg o promieniu r i stosując prawo Ampere’a. Na rys. 7.9a przez płaszczyznę ograniczoną tym okręgiem płynie prąd I. Zgodnie z prawem Ampere’a
I S d j s
d
B o
gu okrę po
o
∫
∫
r⋅ r=µ r⋅ r =µ ,czyli B2πr=µoI, a stąd
r B o I
π µ
= 2 . (7.15)
r r kondensatora, prąd I przecina powierzchnię S ograniczoną przerywaną linią. (b) Wygięta powierzchnia S' napięta na tej linii nie przecinana prądem I.
Jednakże prawo Ampere’a powinno być spełnione dla dowolnej powierzchni rozpiętej na tym okręgu, w szczególności na powierzchni S' na rys. 7.9b. Jednakże w tym przypadku mamy
∫
⋅ = wyrażenie na prawo Ampere’a przytoczone w rozdziale 6 (pkt. 6.1) jest niesłuszne w przypadku zmiennego pola elektrycznego. Jednocześnie Maxwell odkrył, że niepoprawność zapisu można usunąć dodając do prawej strony równania (6.3) wyrażenie( )
1 c2(
∂Er ∂t)
⋅dSr. W poprawionej formie prawo Ampere’a zapisujemy następującoS pomiędzy płytkami kondensatora pole elektryczne E=Q/εoAc (patrz wzór 4.18). Wobec tego różniczkując to wyrażenie względem t mamy
A I
Całkowanie po powierzchni S’ daje
' o
co dalej prowadzi do związku
o
I c r
B2π = 12 ε .
Ponieważ 1/c2 = µoεo, więc
r B o I
π µ
= 2 .
Otrzymaliśmy więc wynik identyczny jak przy całkowaniu po powierzchni S.
Pierwszy człon po prawej stronie wzoru (7.16) przedstawia realny prąd płynący przez powierzchnię rozpiętą na zamkniętym konturze. Drugi człon można interpretować jako prąd związany ze zmianą natężenia pola elektrycznego. Maxwell nazwał go prądem przesunięcia.
Prąd ten jest przedłużeniem prądu przewodzenia wpływającego do kondensatora i jest mu równy. Prąd przesunięcia zapewnia więc ciągłość obwodów zawierających kondensatory.
Odcinki bezprzewodowe obwodów elektrycznych mogą być wypełnione dielektrykiem, wtedy w miejsce pola elektrycznego E
r
wprowadzamy wektor indukcji elektrycznej D r
i równanie (7.16) przyjmuje postać.
S t d j D s
d H
S C
r r r r
r
∫
∫
⋅ = +∂∂ ⋅ , (7.17)a więc gęstość prądu przesunięcia ma ogólną postać
t jp D
∂∂
= r r
. (7.18)
Ponieważ zgodnie ze wzorem (4.51) D oE Pe r r
r =ε + , więc
t P t ε E
jp o e
∂ + ∂
∂∂
= r r r
. (7.19)
Składnik ∂Pre/∂t
wyraża część gęstości prądu w dielektryku (przesunięcie ładunków lub obrót dipoli) i nosi nazwę gęstości prądu polaryzacyjnego. Zatem jp
r
stanowi sumę gęstości prądu przesunięcia w próżni εo∂Er/∂t
i prądu polaryzacyjnego.
7.6.2. Równania Maxwella w postaci całkowej
Dotychczas zapoznaliśmy się z poszczególnymi fragmentami równań Maxwella. Po wprowadzeniu prądu przesunięcia możemy je przedstawić w najbardziej ogólnej formie zwanej równaniami Maxwella.
Tabela 7.1. Równania Maxwella 1. Uogólnione prawo Faradaya (7.3)
S
2. Uogólnione prawo Ampere’a (7.17) S
3. Prawo Gaussa dla pola elektrycznego (4.45)
∫
⋅ =∫
4. Prawo Gaussa dla pola magnetycznego (6.5)
∫
⋅ =zmienne pole magnetyczne wytwarza wirowe pole elektryczne, które może wywoływać prąd elektryczny
prąd elektryczny lub zmienne pole elektryczne wytwarzają wirowe pole magnetyczne
ładunek elektryczny wytwarza pole elektryczne
nie istnieje w przyrodzie ładunek magnetyczny, pole magnetyczne jest bezźródłowe
Dla uzyskania pełnego układu równań Maxwella należy dołączyć jeszcze podstawowe związki (4.43) i (6.28) między wektorami elektrycznymi i magnetycznymi
E
Równania Maxwella stanowią fundamentalną podstawę teorii zjawisk elektromagnetycznych, podobnie jak zasady dynamiki Newtona są podstawą mechaniki. Przy pomocy tych równań można znaleźć pola E
r i B
r
w dowolnym punkcie przestrzeni i w dowolnej chwili czasu, jeżeli znane są współrzędne i prędkości ładunków wytwarzających pola. Równania Maxwella są niesymetryczne względem pól elektrycznego i magnetycznego. Związane jest to z istnieniem ładunków elektrycznych i brakiem ładunków magnetycznych.
Dla pól stacjonarnych (niezależnych od czasu) równania Maxwella przyjmują postać
∫ ∫
W danym przypadku pola elektryczne i magnetyczne są niezależne od siebie, co pozwala badać niezależnie stałe pole elektryczne i magnetyczne.
Teoria Maxwella jest teorią makroskopową. Nie jest w stanie wyjaśnić tych zjawisk, w których przejawia się wewnętrzna budowa ciała.
7.6.3. Równania Maxwella w postaci różniczkowej
W pkt. 1.2.5 przedstawiono dwa twierdzenia analizy wektorowej: twierdzenie Stokesa (wzór (1.49)) i twierdzenie Gaussa-Ostrogradzkiego [wzór (1.50)]
∫
⋅ =∫
⋅C S
S d a rot s
d a
r r r
r ,
∫
⋅ =∫
⋅S V
V d a div S
d a
r r r r
.
Stosując te twierdzenia i uwzględniając związki podane w tabeli 7.1 otrzymujemy pełny układ równań Maxwella w postaci różniczkowej:
t E B
rot =−∂∂ r r
, (7.20)
t j D H
rot = +∂∂ r r r
, (7.21)
ρ
= D div
r
, (7.22)
=0 B div
r
. (7.23)
Jeżeli ładunek i prądy w danym ośrodku rozmieszczone są w sposób ciągły, to obydwie formy równań Maxwella (całkowa i różniczkowa) są ekwiwalentne. Jeżeli jednak istnieją powierzchnie, na których zachodzi skokowa zmiana tych wielkości, to całkowa forma równań jest bardziej ogólna.
ROZDZIAŁ 8
DRGANIA I FALE
Ruch w przyrodzie jest zjawiskiem powszechnym. Formami ruchu są drgania i fale. Ruchem drgającym, lub wprost drganiami, nazywamy kaŜdy ruch lub zmianę stanu, które charakteryzuje powtarzalność w czasie wartości wielkości fizycznych, określających ten ruch lub stan. Z drganiami spotykamy się przy badaniu róŜnych zjawisk fizycznych: dźwięku, światła, prądów zmiennych, fal radiowych, wahań wahadeł, itp. Okazuje się, Ŝe zarówno prawa rządzące tymi zjawiskami jak i metody ich badania są ogólne. Łatwo zauwaŜymy analogię między drganiami mechanicznymi i elektrycznymi. Stąd wynika konieczność jednakowego podejścia do drgań o odmiennej naturze fizycznej.
Proces rozchodzenia się zaburzeń (drgań) w ośrodku jest przykładem ruchu falowego. Falami nazywamy równieŜ róŜnego rodzaju zaburzenia stanu materii lub pola rozchodzące się w przestrzeni. Większość informacji jakie mamy o świecie dociera do naszej świadomości poprzez organa zmysłowe słuchu i wzroku za pośrednictwem fal. Informacje te przychodzą do nas z pewnym opóźnieniem, gdyŜ do przebycia drogi między źródłem fal a obserwatorem jest potrzebny pewien okres czasu. Wspólną cechą wszystkich zjawisk falowych jest zdolność przenoszenia energii, przy czym w procesie tym występuje w sposób ciągły okresowa zmiana jednego rodzaju energii w drugi, np. kinetycznej w potencjalną, energii pola elektrycznego w energię pola magnetycznego i na odwrót.