4. Identyfikacja uszkodzeń konstrukcji wsporczej w oparciu o redukcję
4.4. Analiza własności dynamicznych konstrukcji
4.4.2. Analiza wrażliwości parametrów modalnych na uszkodzenie
Identyfikacja uszkodzeń może być dokonywana na podstawie obserwacji zmiany parametrów modalnych (częstotliwości drgań własnych i ich postaci). Każda zmiana sztywności oraz masy (bezwładności) poszczególnych elementów powoduje zmianę nie tylko w obszarze lokalnym ale wpływa również na globalne charakterystyki dyna-miczne układu. Oczywiście w zależności od położenia oraz kształtu tych elementów, zmiany w nich zachodzące w różny sposób wpływają na charakterystyki dynamicz-ne układu. Aby sprawdzić wpływ zmian parametrów konstrukcji na jej parametry modalne stosuje się teorię wrażliwości. Ponieważ w przeważającej większości przy-padków uszkodzenie jest modelowane jako zmiana sztywności oraz elementu, dlatego też analiza wrażliwości może posłużyć jako zagadnienie cząstkowe do rozwiązania problemu jakim jest identyfikacja uszkodzeń.
Wrażliwość częstotliwości na zmianę sztywności można wyznaczyć obliczając po-chodną cząstkową pierwszego rzędu dla równania (4.22), opisującego zagadnienie własne, względem zmiennej xk, będącej wskaźnikiem uszkodzenia elementu [175]
(K − λiM )φi = 0, φTi M φi = 1, (4.22) ∂K ∂xk − ∂λi ∂xk M φi+ (K − λiM )∂φi ∂xk = 0, (4.23)
gdzie przyjmujemy, że uszkodzenie jest modelowane jedynie jako zmiana sztywności elementu, natomiast masa pozostaje bez zmian.
Jeżeli przemnożymy równanie (4.23) przez φT
i oraz uwzględnimy, że
φT i (K − λiM ) = 0 oraz φT i M φi = 1 to otrzymamy ∂λi ∂xk = φ T i ∂K ∂xiφi = φ T i Kkφi. (4.24)
Ponieważ chcemy wyznaczyć zmianę częstotliwości w zależności od zmiany sztyw-ności, to wykorzystując zależność λi = (2πfi)2 otrzymujemy wzór na wrażliwość
∂fi ∂xk = φT i Kkφi 4π√ λi , k = 1, 2, . . . , n; i = 1, 2, . . . , r. (4.25)
Na podstawie zależności (4.25) możemy zaobserwować w jakim stopniu częstotliwość drgań własnych wybranej postaci zależy od uszkodzenia wybranego elementu.
Wrażliwość postaci drgań własnych na uszkodzenie elementu można przedstawić jako [44] ∂φi ∂xk = r X j=1,j6=i φjφT jKkφi λi− λj , k = 1, 2, . . . , n; i, j = 1, 2, . . . , r. (4.26)
Zależność ta pozwala obliczyć o ile zmieni się przemieszczenie w każdym ze stop-ni swobody (DOFs) dla danej postaci drgań, na skutek uszkodzestop-nia. Pozwala to wstępnie wytypować punkty pomiarowe, które powinny być rozmieszczone w stop-niach swobody dla których obserwuje się największe zmiany postaci drgań na skutek zmiany sztywności.
Na rys. 4.9 przedstawiono wrażliwość częstotliwości drgań własnych pierwszych 10 postaci na uszkodzenie. Maksymalne zmiany częstotliwości wynoszą około 4% i to
Rysunek 4.9: Wrażliwość częstotliwości drgań własnych na uszkodzenia elementów (wartości bezwzględne)
Rysunek 4.10: Zależność szóstej częstotliwości drgań własnych f6 od wskaźnika uszkodzenia elementu ósmego x8
dla uszkodzeń elementów konstrukcji przenoszących główne obciążenie. Zmiany te są zbyt małe aby opierając się jedynie na nich identyfikować uszkodzenia w obiekcie. Tak niska wrażliwość częstotliwości wynika z wysokiego stopnia redundancji kon-strukcji tego typu, gdzie uszkodzenia nawet kilku elementów (np. w koronie słupa) mają niewielki wpływ na zmianę charakterystyk dynamicznych układu.
Innym znaczącym problemem jest fakt, że zależność (4.25) opisuje zmianę często-tliwości od uszkodzenia w sposób liniowy. Takie przybliżenie jest do zaakceptowania dla niewielkich zmian xk (od 0 do około 30 - 40%). Badania symulacyjne wykazują jednak, że zależność ta jest nieliniowa. Na rys. 4.10 przedstawiono przykładową zależność szóstej częstotliwości drgań własnych od wskaźnika uszkodzenia elementu ósmego. Wyraźnie widać, że dla dużych uszkodzeń wyniki otrzymane z symulacji mo-delu cyfrowego znacząco różnią się od tych orzymanych z liniowej zależności (4.25). Sprawia to, że metody wykrywania uszkodzeń oparte bezpośrednio na macierzach wrażliwości wprowadzają znaczne błędy do wyników w przypadku dużych uszko-dzeń. W tej pracy, analiza wrażliwości służy do uzyskania orientacyjnych informacji, na temat wpływu uszkodzeń na parametry modalne.
Korzystając z zależności (4.26) obliczono wrażliwość postaci drgań własnych na zmianę sztywności poszczególnych elementów konstrukcji. Ponieważ konstrukcja zo-stała zamodelowana jako układ ramowy, stąd każdy węzeł ma 6 stopni swobody: 3 translacje i 3 rotacje. Pomiar obrotów w węzłach w praktyce jest trudny do re-alizacji, dlatego też stopnie swobody związane z rotacją nie będą poddane obserwa-cji. Postaci drgań własnych rozpatrywanego układu, wzdłuż globalnego kierunku Z przyjmują niewielkie wartości, w związku z tym stopnie swobody związane z trans-lacją węzłów na tym kierunku również nie będą mierzone. Z 244 stopni swobody
Rysunek 4.11: Maksymalna wrażliwość przemieszczeń modalnych spośród 10 pierw-szych postaci drgań własnych na uszkodzenia elementów konstrukcji wsporczej
Rysunek 4.12: Maksymalna wrażliwość przemieszczeń modalnych spośród 3 pierw-szych postaci drgań własnych na uszkodzenia elementów konstrukcji wsporczej
modelu dyskretnego pozostaje zbiór 72 potencjalnych punktów pomiarowych, zwią-zanych z przemieszczeniami na kierunkach X i Y .
Z wykresu 4.11 można odczytać, w których stopniach swobody należy mierzyć przemieszczenia modalne aby zauważyć uszkodzenia konkretnych elementów. Przed-stawiona wrażliwość (wartości bezwzględne) jest wartością maksymalną spośród 10 pierwszych postaci drgań własnych. Potwierdzają się przypuszczenia, że najbardziej wrażliwe na uszkodzenia są przemieszczenia modalne w węzłach należących do ze-wnętrznych krawędzi poprzeczników (DOFs 56 – 72). Jeżeli ograniczymy liczbę mie-rzonych postaci do 3 pierwszych (rys. 4.12), to przemieszczenia modalne są wrażliwe tylko na uszkodzenia elementów 1 – 16 oraz 57 – 80 co odpowiada krawężnikom oraz ukośnikom dolnej części słupa. Zmiany sztywności elementów drugorzędnych grupy 2 (patrz tabela 4.1), są stosunkowo trudne do obserwacji, jednak nie przenoszą one bezpośrednio obciążeń więc identyfikacja uszkodzeń w tych prętach nie jest aż tak istotna.
Na rysunkach 4.13 i 4.14 zestawiono uśrednione wartości wrażliwości postaci na uszkodzenia nóg słupa. Uszkodzenia tych elementów w dolnej części konstrukcji powodują największe zmiany w postaciach 1 i 2, a także w niektórych stopniach swobody postaci 5, 6 i 7, czyli w pierwszej formie giętnej oraz drugiej formie giętnej oraz skrętnej. Z kolei zmiana sztywności elementów tej samej grupy, należących do korony słupa powoduje bardzo niewielką zmianę w postaciach dla pierwszych 10 częstotliwości drgań własnych. Wynika to przede wszystkim ze zwiększonej sztywno-ści tych elementów, spowodowanej krótszymi odległosztywno-ściami między węzłami łączeń, a także dodatkowemu usztywnieniu wprowadzonemu przez poprzeczniki.
Podobnie jak w przypadku krawężników, modyfikacje parametrów sztywności ukośników segmentów 1 – 4 powodują wyraźne zmiany w postaciach 1 i 2. Z kolei wrażliwość pierwszych 10 postaci na uszkodzenia ukośników segmentów 5 – 7 jest stosunkowo niewielka i trudna do wykrycia. Największe zmiany występują w węzłach poprzeczników na kierunku Y , podobnie jak w przypadku uszkodzenia samych po-przeczników.
Reasumując, postaci drgań własnych konstrukcji wykazują większą wrażliwość na uszkodzenia elementów dolnej części słupa, niż na uszkodzenia prętów korony. Zazwyczaj największe zmiany występują w stopniach swobody od 57 do 72, które określają ruch na kierunkach X i Y węzłów należących do zewnętrznej krawędzi poprzecznika. Węzły te są najbardziej oddalone od osi słupa co sprawia, że najwięk-sze wartości przemieszczeń dla niskich postaci będą występowały właśnie tam. Jeśli
Rysunek 4.13: Średnia wrażliwość postaci na uszkodzenia krawężników (grupa 1) segmentów 1 – 4
Rysunek 4.14: Średnia wrażliwość postaci na uszkodzenia krawężników (grupa 1) segmentów 5 – 7
chodzi o koronę słupa to awarie elementów tej części konstrukcji są trudne do obser-wacji w zakresie niskich częstotliwości. Wynika to z wysokiego stopnia redundancji segmentów 5 – 7, a także krótszych prętów w tej części słupa. Wiąże się to z wysoką sztywnością, a uszkodzenie nawet kilku elementów ma nikły wpływ na własności dynamiczne konstrukcji.
Rysunek 4.15: Zależność przemieszczenia modalnego w stopniu swobody nr 51 trze-ciej postaci drgań własnych od wskaźnika uszkodzenia elementu nr 67
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x88 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 φ7 2, 7 Na podstawie symulacji Na podstawie wzoru
Rysunek 4.16: Zależność przemieszczenia modalnego w stopniu swobody nr 72 siód-mej postaci drgań własnych od wskaźnika uszkodzenia elementu nr 88
Chcąc identyfikować uszkodzenia w koronie słupa na podstawie sygnałów drga-niowych, trzeba by zwiększyć liczbę obserwowanych postaci drgań własnych, jednak mierzenie wyższych postaci w praktyce może okazać się kłopotliwe oraz nieść spore utrudnienia w dostrajaniu modelu numerycznego konstrukcji (jeśli ten jest wymaga-ny). Trudności związane z identyfikacją uszkodzeń elementów korony słupa nie sta-nowią dużego problemu, gdyż zazwyczaj to uszkodzenia w dolnych partiach słupa są przyczyną katastrof. Wynika to po pierwsze z faktu, że to właśnie tam pojawiają się największe naprężenia od sił zginających konstrukcję słupa. Drugą przyczyną uszko-dzeń w tej części słupa jest mniejsza sztywność w stosunku do sztywności korony. Dlatego też metody identyfikacji uszkodzeń w konstrukcjach tego typu powinny być przede wszystkim koncentrowane na uszkodzeniach elementów dolnej części trzonu słupa.
Tak samo jak w przypadku częstotliwości, wrażliwość postaci drgań własnych na uszkodzenie jest przyjmowana jako stała w całym zakresie zmienności wskaźnika
uszkodzenia xk. W rzeczywistości takie przybliżenie jest poprawne tylko dla nie-wielkich zmian parametru xk. Przykładowe zależności obliczone na podstawie (4.26) oraz poprzez symulacje przedstawiono na rys. 4.15 i 4.16.
Wiedza na temat wrażliwości postaci oraz częstotliwości drgań własnych na uszkodzenia konkretnych prętów konstrukcji wsporczej, pozwoli wybrać zbiór ele-mentów w których będą poszukiwane uszkodzenia.