Wyznaczanie charakterystyk częstościowych

W wyniku przeprowadzonych pomiarów, otrzymano przebiegi czasowe sygnałów wymuszenia i odpowiedzi (rys. 5.6). W każdym puncie przeprowadzono serię po-miarów, co pozwoliło na pominięcie pomiarów nieprawidłowych, czyli o zbyt małej amplitudzie (niski S/N) lub zbyt dużej (przesterowanie). Jednak podstawową zale-tą takiego pomiaru jest możliwość uśrednienia wyników. Odstęp czasowy pomiędzy pomiarami w serii był nie krótszy niż 4 s., a liczba pomiarów wynosiła co najmniej 8.

W środowisku Matlab napisano oryginalny program, który z serii pomiarów dla danego stopnia swobody wykrywał pojedyncze pomiary i wyodrębniał je z pełnego sygnału. Okno czasowe dla pojedynczego pomiaru wynosiło 2 s. Dla jednego punktu liczba pomiarów, po odrzuceniu nieprawidłowych, nie powinna być mniejsza niż 5.

W procesie transformacji sygnału z dziedziny czasu do dziedziny częstotliwości zastosowano dyskretną transformację Fouriera DFT1 (ang. Discrete Fourier

Trans-form). Transformacja DFT zakłada (ze względu na skończony czas obserwacji

sy-gnału rzeczywistego), że w rozpatrywanym przedziale analizy sygnał ma całkowitą liczbę okresów, co w ogólnym przypadku dla sygnału rzeczywistego nie jest speł-nione. Metoda DFT powiela sygnał do nieskończoności, jednak ze względu na brak

Rysunek 5.6: Przebiegi czasowe sygnałów wymuszenia w punkcie 10x i odpowiedzi układu w punkcie 26x

zachowania ciągłości pomiędzy kolejnymi fragmentami pojawiają się zniekształcenia widma nazywane przeciekiem. W celu minimalizacji skutków przecieku zastosowano okna czasowe.

Ponieważ w układach słabo tłumionych sygnał odpowiedzi zazwyczaj nie wygasa z końcem czasu rejestracji sygnału poddawanego analizie, dlatego należy zastosować

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 Czas [s] 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Wzmocnienie wr(t) wf(t) wr(t) + wf(t)

Rysunek 5.7: Okna czasowe dla sygnałów wymuszenia i odpowiedzi

okno, które zredukuje wartość sygnału na końcu tego okresu. Dla sygnału odpowiedzi układu zastosowano okno wykładnicze wyrażone wzorem

w_r(t) = e^−βt, β = ¹

τ^{, (5.1)}

gdzie stała czasowa τ o wartości 0,25 czasu trwania okna pozwala, aby amplituda okna na jego końcu miała wartość 1% amplitudy początkowej [41].

Głównym celem stosowania okna dla sygnału wejściowego jest poprawienie sto-sunku sygnału do szumu. Ponieważ czas trwania sygnału wymuszenia impulsowego jest bardzo krótki i po jego wygaśnięciu do wejścia układu pomiarowego nie jest wnoszona użyteczna informacja, można zastosować okno, które będzie tłumiło sy-gnał (szum toru pomiarowego) po zarejestrowaniu impulsu. Okno oparto o funkcję filtru Tichonowa [66] i opisano zależnością

w_f(t) = 1 − ^t n

tn+ αn, (5.2)

gdzie α decyduje o położeniu zbocza względem czasu trwania okna, a wykładnik n o stromości tego zbocza. Aby zachować możliwość poprawnej estymacji współczyn-ników tłumienia, w przypadku sygnału wejściowego należy dodatkowo zastosować okno wykładnicze (5.1).

Do wyznaczenia charakterystyki częstościowej układu zastosowano estymator H1

wyrażony zależnością [24, 33, 48]

H_xy(jω) = ^Sxy(jω)

Sxx(jω)^{, (5.3)}

gdzie S_xx jest gęstością widmową mocy własną sygnału wejściowego, a S_xy gęstością widmową mocy wzajemną wejścia i wyjścia [48, 50, 65, 80]. Funkcje te opisane są jako iloczyn transformat Fouriera odpowiednich sygnałów

S_xy(jω) = X(jω)Y (jω)^*,

aczkolwiek w praktyce często stosuje się estymatory w postaci

S_xx(jω) = F^R_xx(τ )^= Z ∞ −∞ R_xx(τ )e^−jωτdτ, (5.5) S_xy(jω) = F^R_xy(τ )^= Z ∞ −∞R_xy(τ )e^−jωτdτ.

R_xy jest funkcją korelacji wzajemnej pomiędzy sygnałami wejścia i wyjścia, ana-logicznie Rxx jest funkcją autokorelacji sygnału wejściowego. Estymator H1 (5.3), przy uśrednianiu wyników dla całej serii pomiarowej, pozwala zminimalizować błąd widmowej funkcji przejścia związany z zakłóceniami sygnału wyjściowego.

Na rys. 5.8 zaprezentowano schemat przetwarzania sygnałów czasowych wymu-szenia i odpowiedzi do postaci transmitancji widmowej pomiędzy dwoma punktami badanego układu. Powiązanie ze sobą sygnałów poprzez zastosowanie korelacji, po-zwala na poprawne ich uśrednienie w dziedzinie częstotliwości. W przypadku uśred-niania poprzez sumowanie poszczególnych widm sygnałów wejścia i wyjścia osobno (na podstawie wzoru wyprowadzonego bezpośrednio z definicji transmitancji widmo-wej – H_xy(jω) =P

Y (jω)/P

X(jω)) suma widm będzie zmierzała do zera, ponieważ

są to wielkości zespolone, a przesunięcia fazowe pomiędzy poszczególnymi widmami losowe.

Charakterystyka częstościowa jest zdefiniowana jako „transformata Fouriera sy-gnału wyjściowego do transformaty Fouriera sysy-gnału wejściowego, dla stanu usta-lonego ruchu układu” [50]. Niesie ona informację o zachowaniu układu podczas ru-chu, przede wszystkim o wzmocnieniu amplitudy oraz przesunięciu fazy pomiędzy

Rysunek 5.8: Schemat przetwarzania sygnałów czasowych wymuszenia i odpowiedzi do postaci transmitancji widmowej

wymuszeniem i odpowiedzią. W zależności od rodzaju wymuszenia i odpowiedzi charakterystyka częstościowa badanego układu mechanicznego może być przedsta-wiona w różnej postaci. Ponieważ podczas badań, mierzoną wielkością wyjściową było przyspieszenie, a wejściową siła, dlatego też charakterystyka częstościowa może zostać przedstawiona w postaci inertancji [50]

I(jw) = ^{Y (jω)¨} F (jω) m/s2 N  , (5.6)

gdzie ¨Y (jω) jest transformatą Fouriera przyspieszenia drgań, a F (jω) transformatą

Fouriera siły wymuszającej. Jednak najczęściej charakterystyki częstościowe przed-stawiane są w postaci podatności dynamicznej

A(jω) = ^{Y (jω)} F (jω) m N  , (5.7)

gdzie Y (jω) jest transformatą Fouriera przemieszczenia drgań. Wszystkie charakte-rystyki częstościowe podatności dynamicznej, admitancji, inertancji, a także sztyw-ności dynamicznej, impedancji mechanicznej i masy dynamicznej są ze sobą ściśle powiązane, np.

I(jω) = ¹

(jω)2A(jω). (5.8)

Rysunek 5.9: Gęstość widmowa mocy (a) własna sygnału wymuszenia w punkcie 10x, (b) wzajemna sygnałów wymuszenia w punkcie 10x i odpowiedzi w 26x

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Inertancja [m/s 2 /N] |I| I m{I}

Rysunek 5.10: Inertancja układu dla wymuszenia w punkcie 10x i odpowiedzi w punkcie 26x

W tej pracy charakterystyki częstościowe najczęściej będą przedstawiane w postaci inertancji, co umożliwia obserwację sygnału w skali liniowej także dla wyższych czę-stotliwości. Charakterystyka podatności dynamiczna najczęściej prezentowana jest w skali logarytmicznej.

Na rys. 5.9 przedstawiono przykładowe wykresy gęstości widmowej mocy własnej dla sygnału wymuszenia oraz wzajemnej pomiędzy sygnałem odpowiedzi i wymu-szenia (w postaci przyspiewymu-szenia). Użyteczne pasmo dla sygnału wymuwymu-szenia jest do punktu, gdzie spadek amplitudy sygnału jest nie większy niż 20 dB.

Na rys. 5.10 przedstawiono charakterystykę częstościową układu w postaci iner-tancji pomiędzy punktami 10 i 26 na kierunku x (wg rys. 5.2). Wykres prezentuje charakterystyki amplitudowo-częstotliwościową oraz części urojonej. Dla częstotli-wości rezonansowych bezwzględne wartości amplitud obu charakterystyk powinny sobie odpowiadać. Dodatkowo część urojona wskazuje na zwrot przemieszczenia punktu względem wymuszenia. Na skutek przeprowadzonych pomiarów, dla kon-strukcji nieuszkodzonej, wyznaczono łącznie 144 charakterystyki transmitancji wid-mowej (72 mierzone stopnie swobody i pomiar odpowiedzi w dwóch kierunkach). Na ich podstawie estymowano parametry modalne modelu konstrukcji wsporczej.