Metody oparte o zmianę postaci drgań własnych

Pomimo dobrych rezultatów osiąganych metodami częstotliwościowymi podczas weryfikacji modelami cyfrowymi, praktyczne zastosowanie tych metod jest dość trudne. Szczególnie w przypadku dużych konstrukcji o skomplikowanej geometrii,

w zmiennych warunkach otoczenia. Dlatego też w przeważającej liczbie przypad-ków identyfikacji uszkodzeń na podstawie parametrów modalnych, wykorzystywane są postaci drgań własnych. Przedstawiony zostanie współczynnik MAC, jako jeden z najpopularniejszych współczynników spotykanych w analizie modalnej, a także będą omówione metody oparte o analizę modalnej energii odkształceń. Ponieważ metody wykorzystujące MSE (ang. Modal Strain Energy) są jednymi z lepszych metod identyfikacji uszkodzeń opartych o analizę postaci drgań, dlatego zostały wybrane jako reprezentatywny przedstawiciel tej grupy.

Współczynnik MAC (ang. Modal Assurance Criterion) [2] w swojej definicji wy-korzystuje zależność opisującą cosinus kąta pomiędzy dwoma wektorami podniesioną do kwadratu. W [164] West prawdopodobnie po raz pierwszy zastosował postaci drgań własnych do detekcji uszkodzeń, bez wykorzystania MES [37]. Przedmiotem badań była gródź rufowa promu kosmicznego, a do określenia stopnia korelacji dwóch wektorów wykorzystano właśnie współczynnik MAC, który można zdefiniować jako

MAC_dhi = |φT

di· φ_hi|2

(φT

di· φ_di) · (φT

hi· φ_hi)^{, (3.8)}

gdzie wektor (modalny) i-tej postaci φ_di jest porównywany do wektora (modalnego) odniesienia φhi. Za pomocą tego współczynnika można np. określić stopień podo-bieństwa pomiędzy konstrukcją rzeczywistą a modelem numerycznym. Podobieństwo współczynników MAC i MDLAC, oparte na iloczynie skalarnym dwóch wektorów jest tutaj wyraźnie zauważalne. Tak samo jak poprzednio najwyższy stopień korelacji występuje dla wartości równej 1.

Fox w [43] zaproponował rozwiązanie oparte o MAC, w którym punkty pomia-rowe byłyby usytuowane blisko węzłów drgań dla konkretnej postaci (ang. Node

line MAC ). Metoda ta miała wykazywać większą wrażliwość na uszkodzenia.

Udo-wodniono również, że najlepsze wyniki porównywania wektorów postaci drgań kon-strukcji uszkodzonej i stanu referencyjnego, osiągano dla częstotliwości rezonanso-wych [56, 68]. Inne badania poświęcone zastosowaniu współczynnika MAC w detekcji uszkodzeń przedstawiono w [7, 149].

Pewnym rozszerzeniem współczynnika MAC jest opisany przez Lievena w [89] współczynnik CoMAC (Coordinate MAC), pozwalający zidentyfikować który mie-rzony stopień swobody wpływa na niską wartość MAC. Współczynnik jest opisany zależnością CoMACp = |ψT pd· ψ_ph|2 (ψT pd· ψ_pd) · (ψT ph· ψ_ph)^{, (3.9)}

gdzie wektory ψ_pd i ψ_ph są wektorami złożonymi z przemieszczeń modalnych p-tego mierzonego stopnia swobody, dla wszystkich mierzonych częstotliwości drgań wła-snych. Współczynnik MAC lepiej sprawdza się w globalnej ocenie układu, podczas gdy CoMAC pozwala w sprawniejszy sposób lokalizować miejsca uszkodzeń.

Ponieważ na przestrzeni lat powstało wiele metod opartych o współczynnik MAC, Allemang w [3] przedstawił jakie nadużycia zastosowano w tych metodach w odniesieniu do klasycznej idei MAC. Wykorzystanie MAC w różnych jej błędnych rozwinięciach, może wiązać się z niepoprawnymi wynikami. Jednym z najczęściej popełnianych błędów jest wykonywanie podczas obliczeń transpozycji wektorów mo-dalnych, zamiast sprzężenia hermitowskiego. Dopóki obliczenia są wykonywane na liczbach rzeczywistych to zależność (3.8) jest poprawna, jednak w ogólnym przypad-ku powinna mieć postać

MACdhi = |φH

hi· φ_di|2

(φH

hi· φ_hi) · (φH

di· φ_di)^{, (3.10)}

co pozwala na przeprowadzenie poprawnych obliczeń także dla liczb zespolonych. Innym błędem jest uzupełnianie wektorów zerami w punktach, dla których nawet nie dokonano pomiaru bądź nie wykonano obliczeń.

Inne rozwinięcia opierające się na współczynniku MAC to m.in.[61] Modal As-surance Criterion Square Root (MACSR) [125], Scaled Modal AsAs-surance Criterion (SMAC) [11], The Enhanced Coordinate Modal Assurance Criterion (ECOMAC) [64], Inverse Modal Assurance Criterion (IMAC) [115].

Jedną z pierwszych metod detekcji uszkodzeń wykorzystującą w swym mode-lu obliczeniowym modalną energię odkształcenia MSE (ang. Modal Strain Energy) przedstawiono w [151]. Wkrótce zaczęły pojawiać się kolejne koncepcje, a ogólny zarys metod opartych na MSE zostanie przedstawiony na podstawie prac Shi i in. [145, 146].

Energię odkształceń postaci drgań dla k-tego elementu i i-tej postaci można zapisać jako MSE^h_ik = φ^T_hi· KT k · φ_hi, (3.11) oraz MSE^d_ik = φ^T_di· KT k · φ_di. (3.12)

Jak widać MSE jest funkcją macierzy sztywności k-tego elementu (a dokładnie mó-wiąc udziału k-tego elementu w globalnej macierzy sztywności) oraz wektora i-tej

postaci drgań. Zakłada się, że uszkodzenie powoduje lokalną zmianę sztywności, któ-ra wpływa na zmianę postaci drgań w danym miejscu. Dla elementu uszkodzonego MSE powinno osiągnąć większa wartość niż dla obiektu zdrowego. Dlatego wskaź-nik uszkodzenia można przedstawić jako względną zmianę MSE układu zdrowego i uszkodzonego

MSECRⁱ_k= |MSE^d_ik− MSE^h_ik|

MSE^h_ik ^{, (3.13)}

gdzie wskaźnik MSECR (ang. Modal Strain Energy Change Ratio), w przypadku wykorzystania wielu postaci drgań może zostać zapisany jako średnia arytmetyczna poszczególnych MSECRⁱ_k i znormalizowany do największej wartości MSECRⁱ_max

MSECRⁱ_k= ¹ r r X i=1 MSECRⁱ_k MSECRⁱ_max^{. (3.14)}

W [145] Shi i in. przeprowadzili eksperyment cyfrowy na prostej ramie płaskiej, w celu weryfikacji metody. W obliczeniach wykorzystano postaci dla 16 zmierzo-nych stopni swobody. Badania udowadniają, że metoda pozwala lokalizować miejsca uszkodzeń, jednak dla większej liczby uszkodzeń mogą wystąpić niejednoznaczno-ści. Tak samo jak w pozostałych przypadkach zakłócenia znacząco wpływają na poprawność rozwiązania.

Yan i Ren w [170] zaprezentowali algebraiczną metodę wyznaczania funkcji wraż-liwości modalnej energii odkształceń elementu. Wykazano, że MSE elementu jest bardziej wrażliwa na parametry geometrii niż własności materiałowe, a także to że przyrost MSE dla elementu uszkodzonego nie zawsze jest większy niż dla elementów nieuszkodzonych dla wyższych postaci. Okazuje się również, że wrażliwość MSE dla niskich postaci jest mniej podatna na zakłócenia niż dla wyższych postaci. Metodę detekcji uszkodzeń opartą na wrażliwości MSE przedstawiono w [171], gdzie autorzy sugerują również możliwość zastosowania funkcji gęstości prawdopodobieństwa dla parametrów fizycznych konstrukcji nieuszkodzonej i zdrowej. Metoda jest ukierun-kowana na wykorzystanie operacyjnej analizy modalnej, gdzie drgania wymuszane są warunkami eksploatacyjnymi.

Inną pracą z tego zakresu jest [19] gdzie Cornwell i in. wykorzystali MSE do detekcji uszkodzeń w płycie. Alvandi i Cremona w [4] porównali trzy metody wy-korzystujące postaci drgań: analizę energii odkształceń postaci drgań, analizę krzy-wizny kształtu postaci drgań oraz analizę zmian w macierzy podatności. Metoda oparta o MSE okazuje się najbardziej stabilna w odniesieniu do sygnałów z szu-mem. Ponieważ MSE wykorzystuje znormalizowany wskaźnik uszkodzenia, metoda

ma charakter ogólny i może być w prosty sposób stosowana dla różnych konstrukcji. Jak już wcześniej wspomniano, zmiana temperatury ma w głównej mierze wpływ na zmianę częstotliwości natomiast mniejszą na postaci drgań, dlatego też MSE jest bardziej odporna na zmienne warunki otoczenia, gdyż w swoim modelu nie wykorzystuje częstotliwości drgań własnych. Metoda ma jednak problem z wykry-waniem obszarów położonych blisko utwierdzeń, a także wielokrotnych uszkodzeń zlokalizowanych w dużej odległości od miejsca wymuszenia.

Doebling i in. w [28] przeprowadzili badania na konstrukcji kratownicowej z wy-korzystaniem MSE i metody poprawy modelu. Wykazano również, że postaci dla których uzyskiwane są najwyższe wartości MSE są najlepszym źródłem informacji na temat zmiany parametrów fizycznych elementów konstrukcji. Pokazano również, że w obliczeniach lepiej używać postaci, które mają maksymalną wartość MSE dla konstrukcji uszkodzonej, niż te które mają maksymalną wartość MSE dla nieuszko-dzonej, ponieważ dostarczają więcej informacji na temat zmian struktury układu na skutek uszkodzenia i w związku z tym lepiej nadają się do poprawiania modelu.

Inne metody detekcji uszkodzeń w układach ramowych i kratownicowych oparte o analizę modalnej energii odkształceń przedstawiono w [59, 63, 179].