Estymacja parametrów modalnych

Na podstawie otrzymanych charakterystyk częstościowych można wyznaczyć pa-rametry modalne układu. Pojęcia wyprowadzone dla układu o jednym stopniu

swo-body można uogólnić na układy wielomasowe. Przesunięcie fazowe i zarazem znak, czyli zwrot przemieszczenia względem wymuszenia można odczytać z charaktery-styki fazowo-częstotliwościowej, bądź części urojonej. W rezonansie udział w odpo-wiedzi dynamicznej powinno mieć tylko tłumienie, wówczas część rzeczywista jest równa zero, a |Im{H_xy(jω)}| = |H_xy(jω)|. Znak części urojonej odpowiada zwrotowi wzajemnej relacji wymuszenia i odpowiedzi.

Współczynnik tłumienia odniesiony do częstości drgań własnych nietłumionych

σ_i można odczytać z wykresu dla danej częstości drgań swobodnych tłumionych ωi. Częstość drgań własnych nietłumionych wyznaczana jest z zależności [159, 184]

Ω_i =

q ω2

i + σ2

i. (5.9)

Bezwymiarowy współczynnik tłumienia (wsp. tłumienia modalnego) można wyrazić w postaci ζ_i = −_q ^σi ω2 i + σ2 i , (5.10)

a związek pomiędzy współczynnikiem tłumienia σ_i i bezwymiarowym współczynni-kiem tłumienia ζi jest określony jako

σ_i = −ζ_iΩ_i. (5.11)

Znając amplitudę dla częstości drgań własnych tłumionych odczytaną z wykre-su oraz wartość współczynnika tłumienia można wyznaczyć resztę modalną R_ixy. Należy pamiętać, że jeżeli charakterystyka częstościowa jest w postaci inertancji

I(jω), to wartość amplitudy odczytanej z części urojonej charakterystyki trzeba

podzielić przez (jωi)². Reszta modalna określa relację pomiędzy przemieszczeniami modalnymi w badanych stopniach swobody dla danej częstotliwości

R_ixy = a_iφⁱ_xφⁱ_y, (5.12)

gdzie a_ijest współczynnikiem uwzględniającym normalizację postaci drgań własnych względem masy modalnej

ai = ¹

2jω_iM_i^{, (5.13)}

pozwala to na wyznaczenie przemieszczeń modalnych φi x i φi

y. W wyniku wykona-nych obliczeń dla każdej części drgań właswykona-nych, pomiędzy wybranymi punktami otrzymywana jest para w postaci reszty modalnej i bieguna układu

Reszta modalna niesie informację o przemieszczeniach modalnych w poszczególnych stopniach swobody, natomiast biegun układu pi o częstotliwości drgań własnych tłu-mionych oraz współczynniku tłumienia dla poszczególnych postaci. Na ich podstawie można odtworzyć charakterystykę transmitancji widmowej, zachowując możliwość rozpatrzenia każdej postaci z osobna

H_xy(jω) = r X i=1  R_ixy jω − p_i ⁺ R^∗_ixy jω − p^∗_i  . (5.15)

Podczas estymacji parametrów modalnych należy zwrócić uwagę, że jeżeli pod-czas przetwarzania sygnałów zastosowano okna pod-czasowe, to stłumiono zmierzony sygnał. W związku z tym należy dokonać korekty współczynnika tłumienia

σ_i = ˆσ_i+ ¹

τ^{, (5.16)}

bądź bezwymiarowego współczynnika tłumienia

ζ_i = ˆζ_i − ¹

τ Ω_i^{, (5.17)}

gdzie τ jest stałą czasową okna wykładniczego. Dlatego też, w celu uzyskania po-prawnego rezultatu w wyniku korekcji, zastosowanie okna wykładniczego (5.1) jest wskazane również do sygnału wymuszenia. Więcej informacji na ten temat w [41, 42, 70].

Wyznaczanie parametrów modalnych bezpośrednio z charakterystyk częstościo-wych układu metodą połowy mocy jest stosunkowo szybkie i proste. Można zasto-sować tę metodę jeżeli nie dysponujemy narzędziami do bardziej dokładnych ana-liz, a tłumienie w układzie jest niewielkie. Wyznaczając parametry bezpośrednio z wykresu największe błędy popełniane są podczas określania amplitud w pobliżu rezonansu [159] oraz współczynników tłumienia. Współczynnik tłumienia odczytany z połowy szerokości listka głównego na poziomie -3 dB względem wartości maksymal-nej dla damaksymal-nej częstości jest wartością przybliżoną i generalnie taka metoda estymacji tego parametru jest niewskazana. Liczne metody estymacji parametrów w dziedzinie czasu, częstości i amplitud zostały opisane w [159], natomiast w [65] zastosowano niektóre z nich i przeprowadzono szczegółową analizę ich wykorzystania w poprawie jakości estymowanych parametrów modalnych.

W celu weryfikacji i poprawy parametrów modalnych estymowanych wstępnie

Polyno-mial ) [140, 141]. Metoda ta polega na dopasowywaniu charakterystyki w dziedzinie

częstotliwości, która jest zapisana w postaci funkcji wymiernej

A(jω) = m P k=1 a_k· (jω)k n P k=1 b_k· (jω)k , (5.18)

gdzie n jest stopniem wielomianu mianownika, a m licznika. Podczas rozwiązywania układu równań liniowych poszukiwane są współczynniki funkcji wielomianowych licznika i mianownika. Rozpatrywane pasmo częstotliwości może zostać podzielone na mniejsze przedziały, a parametry modalne będą wyznaczane jedynie dla nie-wielkiej liczby postaci jednocześnie. Żeby skompensować wpływ postaci leżących poza rozpatrywanym podprzedziałem częstotliwości, wielomian funkcyjny licznika jest wyższego stopnia niż jest to wymagane do wyznaczenia reszty modalnej. Po przekształceniu funkcji wymiernej do postaci sumy ułamków prostych (5.15) dodat-kowe warunki dla licznika są pomijane.

Układ równań jaki należy rozwiązać jest oparty o minimalizację błędu w sensie metody najmniejszych kwadratów. Jeżeli błąd dla konkretnej częstości zostanie zde-finiowany jako różnica pomiędzy rozwiązaniem analitycznym a zmierzoną wartością charakterystyki częstościowej, to można go zapisać w postaci

ep = m X k=0 ak· (jωp)^k− A(jωp) ·   n X k=0 bk· (jωp)^k+ (jωp)ⁿ  , (5.19)

gdzie A(jω_p) jest wartością zmierzoną dla częstości ω_p. Natomiast samo kryterium błędu jest opisane za pomocą sumy kwadratów błędów w poszczególnych punktach

Γ = Np

X

p=1

e^∗_p· e_p = E^HE, E = [e₁, e₂, . . . , e_p, . . . , e_Np]^T, (5.20)

gdzie N_p jest liczbą uwzględnionych częstości lub punktów pomiarowych. Ponieważ wartość Γ nie może być ujemna, należy znaleźć takie wartości ak i bk, które będą minimalizowały to kryterium. Szczegółowe wyprowadzenie równań do postaci ma-cierzowej można znaleźć w [140].

Zaletą tej metody jest to, że licznik i mianownik funkcji wymiernej nie są ze so-bą sprzężone, w związku z czym charakterystyka jest dostrajana w dwóch krokach. Pierwsze rozwiązywane jest równanie wielomianowe mianownika, gdzie wyznaczane są bieguny układu (częstość drgań własnych i współczynnik tłumienia). W kolej-nym kroku funkcja wymierna jest przekształcana do sumy ułamków prostych gdzie zostają wyznaczone reszty modalne.

Największym problemem metody jest złe uwarunkowanie zadania. Należy roz-wiązać układ m + n + 1 równań, co sprowadza się do obliczenia macierzy odwrotnej o wymiarze m+n+1. Można zmniejszyć wpływ tego ograniczenia poprzez zastosowa-nie wielomianów ortogonalnych, co redukuje liczbę równań w układzie, jednocześzastosowa-nie poprawiając uwarunkowanie zadania.

Wyznaczono parametry modalne nieuszkodzonej konstrukcji wsporczej i zesta-wiono je w tabeli 5.1. Należy pamiętać, że podczas przekształcania sygnałów z dzie-dziny czasu do dziedzie-dziny częstotliwości zastosowano okna wykładnicze. W wyniku te-go sygnał zostaje stłumiony, a bezwzględne wartości wyznaczonych współczynników tłumienia są zawyżone względem wartości rzeczywistych. Aby wyznaczyć poprawne wartości należy je skorygować.

Wcześniej wspomniano, że w literaturze można spotkać korekcję współczynników tłumienia za pomocą zależności (5.16) i (5.17). Jak wykazały przeprowadzone bada-nia (symulacyjne), ta metoda korekcji ma zbyt silny wpływ na zmianę współczyn-ników tłumienia i tym razem wartości będą zaniżone, szczególnie w zakresie niskich częstotliwości. Ponieważ konstrukcja jest słabo tłumiona, a w pobliżu poszczegól-nych częstości własposzczegól-nych układ zachowuje się jak układ o jednym stopniu swobody, z pomijalnym wpływem pozostałych postaci [159], współczynniki tłumienia wyzna-czono ponownie z sygnałów przekształconych z wykorzystaniem okna prostokątnego. Dla prawie wszystkich częstości drgań własnych listki boczne nie zakłócały

sąsiadu-Tabela 5.1: Parametry modalne dla konstrukcji nieuszkodzonej

Postać σˆi σi ωi fi Ω_i Fi ζi

[rad/s] [rad/s] [rad/s] [Hz] [rad/s] [Hz] [%] 1 -2,54 -1,41 92,787 14,767 92,797 14,769 1,52 2 -2,76 -1,35 115,219 18,338 115,227 18,339 1,17 3 -2,73 -1,45 221,407 35,238 221,412 35,239 0,66 4 -2,76 -1,36 241,146 38,380 241,150 38,380 0,56 5 -3,24 -1,54 382,419 60,864 382,422 60,864 0,40 6 -3,17 -1,42 418,503 66,607 418,506 66,607 0,34 7 -3,11 -1,48 440,757 70,149 440,760 70,149 0,34 8 -3,02 -1,02∗ 480,966 76,548 480,967 76,548 0,21 9 -2,61 -1,42 502,994 80,054 502,996 80,054 0,28 10 -2,51 -1,27 518,356 82,499 518,358 82,499 0,25 11 -2,29 -1,23 529,365 84,251 529,367 84,251 0,23 12 -3,14 -1,60 581,472 92,544 581,474 92,544 0,28 13 -2,51 -1,63 660,416 105,109 660,418 105,109 0,25 *korekcja wg zależności (5.16) ˆ

σi – wsp. tłumienia wyznaczony z charakterystyki tłumionej oknem wykładniczym, σi – skorygowany wsp. tłumienia, ωi, fi – częstość i częstotliwość drgań tłumionych, Ωi, Fi – częstość i częstotliwość drgań własnych nietłumionych, ζi– bezwymiarowy współczynnik tłumienia (skorygowany)

jących listków głównych co pozwalało na wyznaczenie współczynników tłumienia. Wyjątkiem była postać nr 8 o częstotliwości f8 = 76, 55 Hz, gdzie współczynnik tłumienia wyznaczono z zależność (5.16).

Wartości częstotliwości drgań własnych nietłumionych zostały obliczone w opar-ciu o skorygowane współczynniki tłumienia. Warto zwrócić uwagę jak niewielki wpływ w kratowych konstrukcjach wsporczych, ma współczynnik tłumienia na róż-nicę częstości drgań własnych tłumionych względem nietłumionych. W większości przypadków różnica jest widoczna dopiero na trzecim miejscu po przecinku, a mak-symalna względna zmiana dla pierwszej częstotliwości wyniosła 0,01%. Taka różnica pomiędzy częstością drgań tłumionych i nietłumionych jest poniżej błędu estymacji tych parametrów.

Bezwymiarowy współczynnik tłumienia również został wyznaczony w oparciu o skorygowane wartości współczynnika tłumienia i częstości drgań. Wartości te są niewielkie i od trzeciej postaci wyraźnie spadają poniżej 1%.

Zweryfikowano poprawność wyznaczonych parametrów modalnych, co zobrazo-wano na przykładzie charakterystyk transmitancji widmowej pomiędzy stopniami swobody 10x i 26x (patrz rys. 5.2). Na rys. 5.11 przedstawiono charakterystyki w postaci inertancji, dla każdej z częstości drgań osobno. Wynika to bezpośrednio z idei analizy modalnej: „charakterystykę częstościową układu o wielu stopniach swobody można traktować jako sumę charakterystyk układów o jednym stopniu swobody” [161]. W związku z czym po zsumowaniu tych charakterystyk (zgodnie z zależnością (5.15)) otrzymano inertancję przedstawioną na rys. 5.12 i porównano ją z charakterystyką widmową otrzymaną bezpośrednio z przetwarzania zmierzonych

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 0 0.5 1 |I ^xy | [m/s 2 /N]

Rysunek 5.11: Charakterystyki transmitancji widmowej otrzymane w wyniku analizy modalnej dla wymuszenia w punkcie 10x i odpowiedz w 26x

sygnałów, zgodnie z algorytmem zamieszczonym na rys. 5.8. Ponieważ do uzyskania charakterystyki częstościowej zastosowano okno wykładnicze, dlatego podczas

wy-10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 0 0.5 1 |I ^xy | [m/s 2 /N]

Na podstawie param. modalnych

Rysunek 5.12: Porównanie charakterystyk inertancji otrzymanej bezpośrednio z po-miarów (wg rys. 5.8) oraz z analizy modalnej (wg zależności (5.15)), dla wymuszenia 10x i odpowiedzi 26x

Rysunek 5.13: Porównanie charakterystyk podatności dynamicznej otrzymanej bez-pośrednio z pomiarów (wg rys. 5.8) oraz z analizy modalnej (wg zależności (5.15)), dla wymuszenia 10x i odpowiedzi 26x

znaczania charakterystyk na podstawie parametrów modalnych, celem porównania, należy zastosować współczynniki tłumienia sprzed korekcji ˆσ_i.

Charakterystyki transmitancji widmowej dla tych samych stopni swobody, przed-stawiono w postaci podatności dynamicznej w skali liniowej i logarytmicznej na rys. 5.13. Krzywe otrzymane bezpośrednio z pomiaru i z estymacji parametrów mo-dalnych, można ze sobą porównać np. za pomocą kryterium analogicznym do FDAC (patrz zależność 3.21), wskazującym na stopień liniowej zależności dwóch wektorów zawierających dyskretne wartości

F DAC = |AH

p (jω)A_e(jω)|2

(AH

p (jω)Ap(jω)) · (AH

e (jω)Ae(jω))^{, (5.21)}

gdzie A_p(jω) jest wektorem podatności dynamicznej uzyskanej bezpośrednio z prze-twarzania sygnału pomiarowego, a A_e(jω) wektorem wartości charakterystyki otrzy-manej na podstawie estymowanych parametrów modalnych. Warto zwrócić uwagę, że sprzężenie hermitowskie nie może tutaj zostać zastąpione transpozycją, ze wzglę-du na zespoloną postać wektorów. Wartość FDAC dla tego konkretnego przykławzglę-du wynosi 0,994, natomiast średnia wartość dla pozostałych charakterystyk pomiędzy innymi stopniami swobody 0,97. Wskaźnik ten jest wysoki i bliski idealnej warto-ści 1. Można więc uznać, że estymacja parametrów została wykonana poprawnie z wystarczającą dokładnością.

Rozpatrzone pasmo częstotliwości dotyczy niskiego zakresu od 0 do 110 Hz. W dalszej części pracy pasmo to zostanie jeszcze bardziej zawężone a liczba postaci ograniczona względem tych zestawionych w tab. 5.1. Przyczyny tego oraz postaci drgań własnych w formie graficznej zostaną przedstawione w rozdziale 5.3.

5.3. Identyfikacja modelu cyfrowego konstrukcji wsporczej