Aufgabe. Es soll die Entfernung des Mittelpunktes des einem sphärischen Dreieck umschriebenen Kreises von dem Mit-

[ Cos A = Sin(S-

* In dem spharischen Dreiecke AOo ist

2. Aufgabe. Es soll die Entfernung des Mittelpunktes des einem sphärischen Dreieck umschriebenen Kreises von dem Mit-

telpunkte des einem seiner Nebendreiecke eingeschriebenen Krei

ses berechnet werden, nenn die drei Seiten des Hauptdreieckes gegeben sind.

Ist Ot (Taf. I. Fig. 3) der Mittelpunkt des dem an der Seite a des Hauptdreieckes ABC liegenden Nebendreieckes eingescbrie

benen Kreises, so ist OOt=dt die fragliche Distanz, und es liegt der Mittelpunkt O, auf der Verlängerung des sphärischen Hauptbogens Ao, mithin bat in dem spharischen Dreiecke zlOOj der VVinkel ß denselben Werth nie frtiher, er ist nämlich gieich 4(R—C) oder gieich — 'AB— C), je nachdeni B gnisser oder kleiner ais Cist. Setzt man AO^ — t/, so folgt aus dem Dreieck JOO(: Cosr/j = Cos r Cos y + Sin r Siny Cos 0, woraus man, nach demselben Verfahren, nelches in §. 57. zur Bestimmung von tg2<Z diente, erhiilt:

.. ,,, tg2r(l + tg2y Sin26) - (2tgr tgy Cosfl - tg2y)

(y) Ig (T+tgrtgyCosft)2

und es ist nun die Aufgabe darauf zunickgefiihrt, zunächst die drei in diesem Bruch vorkommenden Ausdnicke ais Functionen der drei Seiten «, b, c des gegebenen spharischen Dreieckes darzustellen.

dargestellt tn seinen Beziehungen zum Kreis. 67

§. 63.

Da nach J. 8. (9):

(z)

^•1 —

tg4(«-ł-6 + c) Cosjzl ist, so wird

oder

1 + tg2</ Sin20

tgłCoj£r~ Sin2i(^- 0 = 1+ tg’j(« + 6 +

c)

Sin2’(6 — c) Siu2!«

i . x p o- o« Sin2iaCos2J(«+H<?) + Sin2i(fl+6 + c)Sin2J(6—c).

l + tg«9Sin20 = --- ---der Zähler dieses Bruches kann auf folgende Art umgeformt werden:

Zäliler = Sin2ia — Sin2J(« + 6 + c) {Sinaia — Sin2J(6 — ć) |

— Singla — Sin2ł(a + 6 + c) Sinł(a+c—6) SinJ(a4-6—c), mithin ist:

1 f- tg2ę Sin20 =Sin2ia — Sin2J(a4-6+c) SinJ(a4-c—b) Sin J(a-|-6—c) ' Sin2ia Cos2) (a + b 4- c)

§• 64.

Bei derBerechnung des zweiten Ausdruckes 2tgrtgęCos0—tg2^

benutzen wir wieder die schon in §. 59. zu gleichem Zwecke an- gewandte Gleichung (42), ferner jene (z) des vorigen Paragraphen, und erhalten zunächst:

. „ n 2Sin JaSinJfiSinJc tg.1,(a + 6 + c) ,

tg r tg q Cos e =---

Bi

H---^{’ Cos pl}p—r-j----Cos

C),

oder, mit Anwendung der Gauss’schen Gleichung Cos i(B- C) = ?'^+c)SinU :

„ 2 Sin Sin ii Sinic tgi(« + 6+c) Sin|(6-ł-c) tg r tg ę Cos e =--- /y--- • Sin i«— Sin

_ Sin iaSin \b Sin Jc tglfa + ^+c) SinJ(ó4-c)

Hi

^Cos2«x4 ^{—^T^SlnA;}

= 1 +

68 l'nferdinger: Diu spkärische Dreieck weil aber bekanntlich:

„ „ Â SinJ(ffl4-6 4-c)Sinl(6 + c — a) lllx Cos2JJ==---— ... —------und Sin ,

binoSinc Sin b Sin c

so wird nach Einführung dieser Werthe und gehiiriger Reduction:

2 Sin Ib Sin Jc Sin J(6 4- c) (b') ‘81Cos 6 = §M(6 + c-«)Co8U« + Ä+Ö’

und weil nach §. 8.:

_ Sin A Sin c Sin \(a 4-6 4- c) g Sin ś(6 4" c — a)Cos2J(a 4-b 4’ c) ist, so wird:

2 tgr tgq Cos0- tg27 = śi^^c- ojęos2;(r+rre) X I Sin \(b 4- c) Cos\(a 4- b + c) — Cos J& Cos JcSin J(a 4- 6 4" c) I, oder da der in den Klammern enthaltene Ausdruck aueh gleich Sin J(6 4- c) Cos J(a4-64-c) — Sin J(a4 ó 4- c) | CosJ(64-c) 4- Sin J6 Sin JeI

= — Sin Ja — Sin \b Sin Je Sin J(a 4 b 4- c) ist, auch :

(c') 2 tg r tg q Cos 0 — tg2y

4Sin \a Sin J6 Sin Je 4- 4SinajASinaJcSin J(a 4- b 4- c) Sinś(6 4-e—a) CosaJ(a 4- b 4- c)

§. 65.

Um den dritten Ausdruck 1 4-tgrtg//Cosö, welcher im zwei- ten Theil der (y) den Nenner bildet, durch die drei Seiten zu be-stimmen,

telbar:

verwenden wir die Gleichung (b') und erhalten

unmit-14~tgrtg<7Cosfl=SinJ(64 c—a)CosJ(a4-^4-e)4-2SinJ/>Sin|cSinI(64-c) Sin J(6 4- c — a) Cos J(a 4- b 4- c)

oder, da der Zähler dieses Bruches auch gleich Sin \(b 4- c—a) (CosJ(a 4" b 4- c) 4-2 Cos Ja Sin \b Sin Je}

4-2 Sin Ja Sin J5 Sin JcCosJ(ó 4- c— a)

= Sin J(6 4- c — a) |2 Cos Ja Cos JóCosJc — Cos J(6 4- c—a))

4-2Sin JaSinJóSin Je Cos J (6 4- c—a)

dargestelU in seinen Beziefmngen zum Kreis. 69 ist, wenn wir zur Abkiirzung

(146)

Mi =2Cos JaCos\bCos\c—Cos i(b 4-c—a) |1 2Sin JaSin J6Sin Jc Sin £(ó-f-c —«) setzen:

(<!')

1+tgrtgęCos^^^p^.

§. 66.

Mit Hilfe der Gleichungen (a'), (c') und (d') sind wir nun im Stande, tg2«Z ais reine Function der drei Seiten a, b, c des ge- gebenen sphärischen Dreieckes darzustellen. In der Tliat, setzen wir diese Werthe in die Gleichung (y), so folgt:

C°s2X"+^ + c) ) 4Sin2ioSin216 Sin2Jc

łg “* ~ JĄ2 I

/

2~

Sin2ia— Sin2l(« + 6 + c) Sin J(a-J-c— b) Sin.)(«-|-6—c) . X Śin2JaCos24(« + b +<0

4Sin la Sin Ib Sin ic 4- 4Sin2J6Sin2JcSin ł(«+6+c) j Sin 1(6 4-c—a)Cos2i(a 4-64-c) ( oder

1 i 4Sin2!aSin2.]6Sin2]c tg fZ*/---7&~—

4Sin2J6Sin2lcSin2J(a + 6 + c)Sin l(a 4- c — 6) Sin i(a -f-b—c)

4Sin laSin J6 Sin Je 4Sin2i6Sin2.'cSin ,’(a -f- b 4- c))

SinJ(64-c —«) Sini(64-c—«) I’

Setzt man im zweiten Gliede des in der Klammer enthaltenen Ausdruckes fiir ZĄ2 seinen bekannten Werth und kiirzt ab, so iiberzeugt man sich sogleich, dass dieses Glied von dem vierten nur im Zeichen verschieden ist, folglich mit diesem sich aufhebt;

es ist daher

durch welche Formel die vorstehende Aufgabe gelöst ist. Mit Hilfe der Gleichungen (12), (42) geht dieselbe iiber in folgende:

(148) tg% =tg2r4-2tgrtgj>!

J/f2

70 Vnferdinger: Das sphärische Dreieck

welche sich bei dem Uebergang auf’ das ebene geradlinige Drei

eck, indem man letzteres als ein sphärisches von unendlich gros- sem Kugelradius betrachtet, auf die bekannte Relation d|2=r24-2rpj reducirt, denn wird alsdann der Einheit und die Tangenten werden dem Bogen gleich.

Urn auch wieder durch die Radien der eingeschriebenen und umschriebenen Kreise auszudrücken, verwenden wir die Glei- chungen (12) und (42), setzen Cos J«Cos Cos = z/' und erhal- ten zunächst:

= 2z/' — Cos £(64- c — d) (1 — tgr tg ?,);

setzt man jetzt ftir z/' seinen Werth aus (x) §. 61. und fiir Cos £(6 4-c— a) seinen Werth aus (79) §.33., so wird:

(149) Mi = Vtgetge1tgp2tgp3tgrtgrłtgr2tgr3 X {ctgr - £(l — tg r tg pt) (tgr 4- tgr2 4- tg r3 — tg r,) |.

§. 67.

Im Vorhergehenden bezeichnen d und dx die sphärischen Distanzen des Mittelpunktes des einem sphäriscben Dreieck um

schriebenen Kreises vom Alittelpunkt des demselben Dreieck eingeschriebenen Kreises und vom Mittelpunkt desjenigen iiusse- ren Beriihrungskreises, welcher an der Seite a liegt; Al und JĄ bezeichnen zwei Hilfsgrössen zur Berechnung dieser Distanzen.

Bezeichnen wir die Distanzen desselben Punktes von den Mittel- punkten derjenigen äusseren Beriihrungskreise, welche an den Seiten 6 und c liegen, mit </2 und d3, mit J/2 und Ms die zuge- hürigen Hilfsgrössen, so erhält man diese letzteren aus den Glei- chungen (146), (147), (148), (149) durch einfache Vertauschung der Buchstaben a, rŁ mit 6, p2, r2 und c, p3, r3. Stellt man alsdann alles zusammen, so gelangt man zu folgenden vier Syste- men von Gleichungen:

' z 1 |4Sin2£«Sin2£6Sin2ic 4SinJuSin£6Sin£c/

tg “ ~ ÂP I ZĄ2 Sin i(a 4-64- <0"i ’ I „ j 1 (4.Sin2J«Sin2i6Sin2£c ! 4Sin.l«Sin£6Sin.i<4

I S i 7J^

+ Sin£(6+T-«) ( ’

| 1 (4Sin2JaSin2i6Sin2ic, 4Sinl«Sin£6Sin.;ci

|tg ^=70? I--- Z/? ---

* Sinł(a + C-ó

H ’

, W_1 14Sin2£aSin2J6Sin2Jc , 4SinJaSin£6Sin£c( ,

8 da~M3 *l

+“Śin£(a 4-6-C) * ’ (150)

dargestelll in seinen Hetiehungeu zum Kreis. 71 (151)

2SinJaSinl6SinJc

jW = 2 Cos la Cos\b Cos Jc — Cos J(a + 6 + c) 11 + —SinJ (a-kAjc) ’ 2SinJaSinJ6SinJc X =2 Cos Ja Cos JóCosJc— Cos J(6-f-c— a) i 1— SinJ(6+c_ a) ’

, 2SinJaSinJ6SinJc

X=2Cos Ja Cos J6 Cos Je—Cos J(a-|-c—6) j 1 — ""sin^a-fc—6) ' 2SinJ«SinJ6SinJc X=2 Cos Ja Cos Ib Cos Je—Cos J(a 4 b — c) 11--- SinJ(a+6—c)

(152)

■ o . tg*r-2tgrtgg

«— J/2 * . , , __ tg2r+2tgrtgpa tg

'/2-fg2r4-2tgrtgpI X®

, M = Vrtgptgp1tgpatgp3tgrtgr1tgr2tgr3

1

X1 ctgr + J(1 + tgr tg p) (ctgrj + ctgra+ ctgr3- ctgr) I, X = V^tg P tg p, tg ?2 tg e3 tg r tg r, tg r21g r3

X (ctg r — J (1—tg r tg p,) (ctg r + ctg ra +ctgr3—ctg rt) I, X = Vtg P tg Pi tg p2 tg p3 tg r tg r, tg r2 tg r3 X i ctg r — J (1—tgr tg p2) ctg r+ctg Tj + c tg r3—ctg r2) I,

X = Vtg p tg p, tgpatg p3 tgr tgr, tgrjgr3 ' XIctgr — J(1 — tgr tg p3) (ctgr + etgr, 4-ctgra— ctgr3) |.

§ 68.

Bestimmung der sphSrischen Distanzen cl, d\, d2, d3 sainnit den zugehörigen Hilfsgriissen M, X> X> X dureh die drei Winkel A, B, C des gegebenen sphärischen Dreieckes.

Wenn man in den Gleichungen (152) statt tgr, tgp, tgpj, tgpa, tg p3 die entsprechenden Werthe aus (43) und (33) setzt, so er- hält man unmittelbar:

n

Vnferdinger: Das sphärische Dreieck 1 fCos2l(44-B4-C) , CosiGHB+C) | S “ ~ M2 < //'« + CosJ4Cos.lBCosiC| ’ ł9, 1 (Cos2J(44-B4-C) CosKJ+B + C) )

s 1—JĄ2 B'2 CosJ4Sin£BSiniC ’

(154) < '

L_M _ 1 jCos«łM+B+C)

C

’GOB+C) I I g

a~Jf22( B'2 CosiBSinJ4Sin'Ć( ’

|łfłJ 1 jCos2'(J+B+C) CosU^ + B+C) ( S 3 —J/32! B'2 CosłCSinUSiniBf ' Cm auch die zugehörigen vier Hilfsgrössen M, 31t, J/2, J/3 durch die drei Winkel A, B, C auszudrücken, verwenden wir zunächst die Gleichungen (72) §. 32. und (96) §. 40., dann auch wieder jene (43) und (33), und erhalten, weil

M — 2 CosJaCos \b Cosäc— Cos£(« 4- b 4- c) (1 + tgr tgę), JĄ =2 Cos I a Cos J6 Cos Je—Cos 1(6 4- c — a) (1 — tg r tg oj

u. s. w.

ist:

______________ 2B'2_____________

Sin A Sin B Sin C’Cos .}(44“B4-C)

1—Cos4—Cos B—CosC _ CosU^ 4-B + jO_, + 4 Sin i 4 Sin i B Sin łC ’ 2Cosj4Cos2BCosiC’’

_________2B'2

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