Koppe’s Obelisken

Von den eckigen Körpern gehiiren hierher die von Koppe (nach Beuth) so genannten Obelisken, ein höchst bemerkens- werthes Geschlecht häufig vorkommender Körper. Ein Obelisk wird von zwei parallelen Vielecken und einer Reihe an einander hängender Trapeze begrenzt, von denen ausnahmsweise einzelne wohl auch Parallelogranime oder Dreiecke sein künnen. Die Querschnitte desselben haben ihre in einerlei Seitenebene gele- genen Grundkanten parallel, also ihre Winkel mit den parallel gestellten Winkeln der Grundebenen gleich. Hier mag es genü- gen, zu zeigen, dass jeder Obelisk ein Körper zweiter Ordnung ist, da wir wegen des Weiteren und Einzelnen auf die in der Einleitung genannten Abhandlungen und Lehrbiicher verweisen müssen.

Seien nun

A, B

G

a

ABf(a)

a

a

a

G=S.Jßf(«)

setzen, wofern man das Summenzeichen S auf die Zusammenfas- sung aller niithigen ahnlich gebildeten solcben Producte hinweisen denkt. Eben so seien

a, b

A, B

g,

a,

ABf(a)

f/= S. «&!'(«).

IfâMatzka: ZurBestimm. der Rauminh. u.Sckwerpunkte ton Körp.

Endlich sei x der Abstand eines Querschnittes Q von der Grund- ebene g und seine zu den vorigen parallel laufenden Strecken a', 6', so wie h die Hiihe des Obelisken, so findet man, weil einerseits die Parallelstrecken A, a', a und andererseits die Pa- rallelstrecken B, b', b je zwischen einem Paar Kanten (Geraden) iiegen, leicht die Proportionen:

a' •— « b' —b x A — a B — b h also

Weil aueh a' und b' mitsammen den Winkel a bilden, ist des Querschnittes Flächeninhalt

Q'= S.a'6'f(<«), folglieh wenn man a', b' ersetzt:

2

=S.a6f(a)+ J S.(aB + ^6-2«6) f(a) + «G* —«) (« ~ &) f(«)>

woraus erhellt, dass der allgemeine Ausdruck des Querschnittes Q jedes Obelisken vom zweiten Grade, jedweder Obelisk also ein Körper zweiter Ordnung ist und sohin nach obigen Forinen berechnet werden kann.

daher, wenn man den vorkommenden Unterschied

stellt, ist

„ ^ABA-2ab-(AA-a)(B^b)c, s Ł=S---—99--- >(<■)2.2

JenerMittenschnitt und dieser (von Koppe die Ergänzungs- figur genannte) Unterschied E sind also mit den Grundebenen 6’, g gleichwinkelig, jener hat iiberall die halbe Summę (das

wischen zwei Parallel-Ebenen u. einer wsamtnenhäng. Vmflachę. 149 arithnietische Mittel), diese den halben IJnterschied der parallelen Seiten zur entsprechenden Seite. Danach ist (nacli Art. 10.) des Obelisken Körperinhalt:

(86) F= h jV+ • hE S [A (2B 6) + o (B + 26)] f(«), und seine statischen Momente sind:

(87) +

(SS)

12.

111. M ascheroni's Obelisken mit Einer windschiefen Seitenfläche.

Die von Mascheroni in seinen „Probierni di geome­

tria“ angegebenen und von Herm Professor Grunert (a. a. O.) erforschten interessanten Körper sind rornehmlich deshalb bemer- kenswerth, weil sie von den Obelisken Koppe’s bios in Einer Seitenfläche sich unterscheiden, indem an die Stelle eines Seiten trapezes Eine windschiefe Flachę — ein windschiefes Vier- eck —■ ęintritt, dereń beschreibende Strecke zu den Grundebenen durchireg parallel bleiht. Lässt man nemlich bei einem schon fertigen Obelisken (Taf. I. Fig. 6.) an einem Seitentrapez (-Paral- lelogramm oder -Dreieck) DEed, bei welcbem die Seiten Dd, Ee in einer Ebene liegen, dieselben Seiten in gekreuzte (in keiner Ebene enthaltene) sich venvechseln, indem man eine Spitze d auf der cd nach d' vor- oder nach d" zuriickschiebt, tronach d'e oder d"e mit DE, und Dd' oder Dd" mit Ee sich kreuzt; so kann in dem unebenen Viereck DEed' oder DEed" eine wind- schiefe Flachę beschrieben werden, dereń „leitende Geraden“

Ee mit Dd' oder Dd" und dereń „Parallelebene“ jede der bei- den Grundebenen ist.

Auchbei diesen Mascheroni’schen Obelisken sind die Grund- ebenen g, G und die Querschnitte Q Vielecke, dereń nach ein- ander folgenden Seitenpaare, bis auf eines (das letzte) parallel sind, und welche sobin auch alle Zwischenwinkel, bis auf die beiden an diesen letzten gekreuzten Seiten liegenden Winkę), parallel gestellt, also gieich haben. 'Nun ist aber ein Vieleck, also auch sein Flächeninhalt, vollständig bestimmt, trenn alle seine Seiten,

150 Matzkn: Zur Bestimm. der Rauminh. u. Schverpunkle ton Körp.

bis auf eine, und alle seine Winkel, bis auf die zwei an dieser einen Seite liegenden gegeben sind. Mithin kiinnen bei diesen Angaben die Grundebenen <7, G und der Mittenschnitt, daher auch Rauminhalt und Moment der-Obelisken Mascheroni’s ganz ge- nau nach denselben Formeln, wie bei Koppe’s Obelisken be- rechnet werden.

Z. B. Sind (wie im Archiv. Thl. XXXI. S.484) die Grundebe­

nen eines solchen Obelisken vierseitig, .z4||«, Z?||6, C||c ihre drei parallelen Seitenpaare mit den äusseren Zwischenwin- keln A.B a.b — a, B.C b.c = ß' und A.C # a c = y — aß, so ist hier nach einem bekannten trigonometrischen Lehrsatze f(a) = Jsina zu setzen, folglich erhält man (nach Art. 11. Gl.86.

undGI.88.) für V und die Ausdrticke:

(89) -fjF=[/l(2J?4 ó)+<7(26+77)]sin«l [Z?(2C4-c)-|-6(2c-I-C)]s*nß + [ C(2 A+o)+c(2fl+zl)]siny,

und zwar ersterer Ausdruck mit dem ani angefuhrten Orte von Herrn Professor Grunert gefundenen im Wesentlichen iiberein- stimmend.

Bemerkung. Auffallend ist bierbei die Wahrnehmung, dass ein Mascheroni'scher Obelisk, der sich von einem Koppe’schen nur in einer einzigen windschiefen Seitenebene unterscheiden soli, aus diesem keineswegs durch parallele Verschiebung des einen Grundvieleckes in seiner Ebene entstehen kann, weil hierbei fort- während alle Seitenflächen eben bleiben miissen, also keine windschief werden kann.

13.

IV. Verschobene Obelisken.

(Pilaster.)-Bei näherer Erforschung dieser Obelisken Mascheroni’s gerieth ich (am 7. Febr. d. J. 1859) auf den Einfall, bei einem solchen Körper anstatt bios eines Paares Seitenkanten jedes

swtschen »wei Parallel-Ebenen u. einer tusamraenhäng. Vmßâche 151 Paar Seitenkanten sieli kreuzen zu lassen und in das entstehende unebene Seitenviereck eine windschiefe FISche ein- zulegen, so dass ein derartiger Körper von zwei parallelen und gleichvielseitigen (Grund-) Vielecken und von lauter dazwischen liegenden unelienen und windschiefen (Seiten-) Vierecken, also von so vielen, ais jedes Grundvieleck Seiten bat, eingeschlossen wiirde.

Es wiirde dann nur eine A bart dieser Kiirper entstehen, wenn eine oder etliche Seitenflächen eben (also zu Trapezen, Paralle- logrammen oder Dreiecken) wiirden; und sonach wären die Obe- lisken Mascheroni’s und Koppe’s nur ganz besondere Spiel- arten dieser ‘Körpergattung. Vor Alleni aber werden wir die Möglichkeit oder Darstellbarkeit solcher Kiirper darzuthun haben.

Ich denke mir hierzu ein ebenes Vieleck, z. B. (Taf. I. Fig.7.) das Fünfeck ABCDE, und in eineni gewissen Abstande davon eine vorläufig unbegrenzte Ebene P dazu parallel. Aus der Spitze A fiihre ich zur P hin willkürlich die Gerade Aa, durch sie und AB lege ich ihre Ebene und fiihre aus B, der nächsten Viel- ecksspitze, die ausser diese Ebene fallende Gerade Bb, derén Endpunkt b ich mit a durch die ab verbinde; dann kreuzt sich Z?6 mit Aa und ab mit AB, und, indem ich letztere zwei ais Grundkanten, erstere zwei aber ais Seitenkanten betrachte, denke ich mir in dieses unebene Viereck AabB seine windschiefe Flachę auf die Parallelebene ABD bezogen eingetragen. Auf gleiche Weise bestimme ich zur Grundkante BC und zur Seiten­

kante Bb das unebene windschiefe Viereck BbcC, und eben so zur Grundkante CD und zur Seitenkante Cc das unebene wind­

schiefe Viereck CcdD, bis ich an die letzte Vielecksspitze E gelangt bin, dereń Seitenkante ich wie folgt feststelle. Ich lege die Ebenen EDd und EAa, welche sich nothwendig in einer durch E gehenden Geraden schneiden; und nun fiihre ich aus E eine von dieser Durchschnittslinie verschiedene und auch in keiner dieser beiden Ebenen liegende Gerade Ee hin zur Ebene P, welche demnach sowohl mit der Dd, ais auch mit der Ja sich kreuzen muss und sofort die letzte Seitenkante sein wird, zu dereń Endpunkt e noch die Grundkanten de und ac gezogen wer­

den, urn das zwéite Grundvieleck abede abzuschiiessen, während die beiden letzten unebenen Vierecke DdeE und AaeE mit ihren windschiefen Flächen ausgefiillt werden, um die seitliche Umhiil- lungsfläche des Kiirpers abzuschiiessen.

Diese allgemeine Kiirpergestalt besitzt nun die für’s Folgende beachtenswerthe Eigenschaft, dass, gleichwie die Pyramidenstumpfe, welche auch (vielleicht ais ganz absonderliche Spielart) in diese Gattung Körper gehören, mittels diagonaler ebener Flächen

152 Mdzka: Zur Uestimm. der Rauminh u. Schwerpunkle ron h’örp.

in lauter dreiseitige Pyramidenstumpfe zerlegt werden, auch diese Kiirper durch diagonale windschiefe oder ausnahmsweis ebene Flächen in lauter dreiseitige eben solcbe Kiirper zerschnitten werden kiinnen, und dass sonach bios diese letzteren einfacheren Kiirper beziiglich des Rauminhaltes und Schwermomentes zu er- forschen bleiben. Deshalb niiiehte ich wohl sie verschobene S p i t zsä u 1 e nr u mpfe (Pyramidenstumpfe) nennen, allein weil bei solchen Stumpfen die der Spitze niiher gelegene Grundebene durchaus ihre Seiten klei ner hat, ais die zu ihnen parallelen der entfernteren Grundebene, was hingegen bei Obelisken kei- neswegs nothwendig ist, so ist es gewiss angemeśsener, derlei Kiirper verschobene, windschiefe oder windschelche Obelisken oder vielleicht besser kurzweg Pilaster*) zu nennen.

14.

< Suchen wir nun den Ausdruck des(Taf. I. Fig. 8) im Abstande x von der Grundebene g—Aabc geführten Querschnittes Q=ADEF.

Hierzu legen wir in der Ebene abc wo immer ein Paar win- kelrechter Coordinatenaxen Oy/, Oz und darauf senkrecht die dritte solche Axe Ox, und suchen danach die Einschnitte I), E, F der im willktirlichen Abstande x zur Ebene yz parallel gefiihrten Ebene in die Seitenkanten aA, bB, cC. Seien von a die Coor- dinaten 0, y, von b: 0, y', f', von c: 0, y", £", ferner die Richtcosinus der Kalitę aA, d. i. die Cosinus der von der posi- tiven Richtung dieser Geraden n>it den positiven Richtungen der Coordinatenaxen gebildeten drei Richtwinke! proportional zu 1,6, c, so gehiiren zur aA die Gleichungen :

x _ y—y z— $ 1— b

mithin sind die Coordinaten des Einschnittes D:

x= x, y = y + bx, z + cx.

Mit ahnlichen Bedeutungen der accentuirten Buchstaben sind fur den Einschnitt E die Coordinaten:

t x' — x, y' = y' + b'x, z'+ c'x und fiir den Einschnitt

F:

♦) Le pilastre, Wandpfciler, vicreckiger Pfeilcr, il pilitatro, ein Pfeiler, worauf Bogen ruhen. (Jageinann.)

zvischen zwei Parallel-Ebenen u. einer zusammenhäng. Vmfläche. 153 a:"=x, y"=ri" + b"z, z" = i" + c"x.

Denkt nian sich (Taf. I. Fig. 9.) das Dreieck DEF in dieyz-Ebene nach def und dieses auf die y-Axe nach d^e^ projicirt, so ist

0<Zi=y, Oei—y', O^-y"-dtd=z, exe = z', ftf=z"

und

^def= exdxde + dxfxfd— exfxfe exe + dxd ,dxd+fxf

—---,exdx ---also

2A «/<>/■= «ZitZ^itZi + «ZjA) + eie(.eidl—e1fl) + fjtd^—ejj, sohin niit Beacbtung des Anfangs- und Endpunktes, folglich auch der Richtung, der Projectiouen dxex, exfx, fxdx der Dreiecksseiten de, ef, fd, auch

‘i&de.f =. dxd ,exfx + exe.fxdx-\- fxf .dxex.

Da nun das \def dem projicirten \DEF=Q parallel, also congruent ist, so hat man auch für den Querschnitt Q:

(92) 2Q-z(y"-y) +?(y-»") + z’(y'-y)

= y(z'-z") + y'(z"-z) + y"(z-z').

Trägt man hierin die obigen Ausdrücke der y und z durch x ein, so wird:

2Q = [y"—9?' + (6"—6') *] (f + cx) + b - y" 4- (6—bn) a:] (r 4- c'x) + [y'-y + (b'-b)x]^' + c"X'), also, wenn man die Multiplicationen verrichtet und abkürzend setzt:

(93) £(V" - y') + ?(*)- y") -1 W -1?) = 2 J, c «—»/') 4- c' (v—y")+c" 0?'—•>?) 4- W - ó') 4- (6 - b") 4- t"(b' -b)=2B,

c(b" —6')4-c'(6-ft*) f c’(0'-6) = 2C, wird der wandelbare Querschnitt

(94) Q = A+Bx+Cx*

im Allgemeinen ein Ausdruck zweiten Grades in x, ja

aus-TheilXXXIII. 11

154Malika: Zur Beslimrn. der Ravminh. u.Schwerpunkte ton k’örp.

nahmsweise auch bios ersten Grades, wenn die Seitenkanten so gerichtet sind, dass C=0, also

« (6" - b') + c' (b—b") + c" (6'—ó) = 0 ausfällt.

Bei mehrkantigen Pilastern gilt ein Gleiches. Denn denkt man sich einen solchen durch diagonale windschiete Flächen oder hie und da ausnahmsweis durch eine Diagonalebene in lauter drei- seitige Pilaster zerschnitten, so sind die einzeltien dreieckigen Querschnitte derselben voni zweiten Grade, also muss es auch ihre Summę, d. i. der Querschnitt Q des ganzen mehrseitigen Pi- lasters, selbst sein.

Bei jedem Pilaster oder verschobenen Obelisken mit lauter oder wenigstens mit einigen windschiefen Seitenvierecken ist dem- nach so, wie bei den Obelisken Mascheroni’s und Koppe’s, der veränderliche Querschnitt eine algebraische Function zwei­

ten Grades von der Entfernung desselben von der einen Grund- ebene, folglich auch von jeder anderen zu ihr paralielen Stand- ebene; mithin gelten auch fiir sie alle die, durch die Formeln in Art. 6. Beisp. 4. oder in Art. 10. geleiteten Berechnungen ihrer Rauminhalte und Schwermomente.

15.