man X in vertauscht, das Moment:
F + 1 erliillt wird, und zufolge (37) ist dann:
(45) F = A [qM 4- (1 — </)<;] = hM 4- (1 — ę). A («7 — J/).
In beiden Fällen kann man fiir die Werthe von n, p, p, i, q noch Fa?i nach (34) berechnen, indem man darin fur F und CAP die gemiiss (30) oder (30) und (35) sich ergebenden Ausdriicke durch <7, y, 717 einsetzt.
Iii (40), dem Ausdrucke des statischen Momentes, ist der zusammengesetzte Factor ein arithmetisches Mittel der Flächen Ul, g, r, wenn ihre zu 1 sich ergänzenden Multiplicatoren 2q', i'q' und 1—2q'—i'q' allesammt positiv und <1 sind.
Da das Verhältniss p noch willkiirlich ist, wird es zur Ver- einfachung dieses Ausdruckes (40) am einfachsten sein, g oder F herausfallen, also i'= 0 oder 1 — (i'4-2)9' = 0 zu machen, folg-lich im ersten Falle
zu setzen; dann ist
(46) 2
U« =---r n -f- 2
(47) F«! = A2[29,Af+ (1—2V')y] = AaJf 4- (l-29(). A2(y-A7), und darin die mit A2 multiplicirte Flachę ein arithmetisches Mittel von HI und y, wofern nach (39) die Zahl 2q' zwischen 0 und 1 fällt.
Im anderen Falle soli (i'-j-2)ę' —1=0 sein, welches nach (39) durch
(48) w 4-2
erfiillt wird,. und gemäss (40) ist dann:
(49) F^=^[2q'AI+(l-2q')g].
In beiden Fällen kann man fiir die Werthe von n, p, p, i', q' noch F nach (33) berechnen, indem man hiérin fiir y und Chv
twtschen %wei Parallel-Ebenen v. einer vusammeuhäng. Vmfläche. J 35 die gemäss (28) und (38) sich ergebenden Ausdrücke durch g, r, M einsetzt.
Anwendung. Wenden wir diese Ergebnisse auf etliche Bei- spiele an.
1) Zum Querschnitte Q = A 1 Bx findet mail (wie im ersten Beispiele des 4. Art.):
2) Zum Querschnitte Q=A | B.r2 erhait man :
3) Zum Querschiiitte Q = A -j- Bx3 ergeben sich :
4) Fiir den viel verbreiteten Querschnitt Q = A A-Bx Ą-Cx2 nimmt man entweder nach (41):
a. die Zabl p = d. i. man fiihrt den Schnitt Ul mitten zwischen g und G, und findet y=
TZ ä2 GfW , 'G|2J/ h G + ‘>M.
2 3 ’ X'~ g+G+41M~ 2 y + 2Jf* ß. oder man nimmt nach (44) und erhait:
„ A2 (jM ^lGAf) h qM + 1G+g hSM+r
Vx' — 2---12 > Ti — 6 3J/+.7 ”2 AM + g
y. oder man wählt ft — J nach (48) und findet:
T* ~ h 16« + 5.7 -3G 8,tf Ig__ __ h 8J/ + .72 8« + y''
~[^Q .Ifa/aka: Zur Bestimui. der Rauminb. u. Schwerpunkle ron Körp.
Es lässt sich nun leicht erachten, dass diese Beispiele in’s Unbestimnite vermehrt werden könnten, weshalb wir uns bios aut' die hier vorgelegten beschrSnken, dagegen es fur nicht unange- meSsen hal ten, die Beniitzung der in verschiedenen Abständen zu führenden Mittelschnitte M und der mancherlei arithmetischen Mittel y, F der Grundebenen g, G in einer allgemeineren und symmetrischen Weise darzulegen.
I. Hierzu nehmen wir erstlich betreffs des Rauminhaltes die Gleichung
(20) F B/in C/ip
in Verbindung mit
(22) G = g + Bh" + Chv, (22) M = g + pnBhn + pP C/iP
in Betracbt, indem wir letztere mit den vor der Hand unbestimm- ten Multiplicatoren % und  mnltipliciren und von der ersteren ab- ziehen, sonach im Unterschiede die Gliedermit Bhn und ChP dadurch verschwinden machen, dass wir
(50) x +
bedingen, und endlich nocli der Gleichformigkeit halber
(51) 1 — x — k — 6
setzen, wonacb wir erhalten:
(52) -^ = 6g +xG + lMV
und
(51) e+x + x = i,
zum Zeichen, dass ein arithmetiscbes Mittel von g, G, M V ist, wenn 6, k, k gleichstimmig sind.
Im Ausdrucke (52) kann nun 711 nicht fehlen, also keinesfalls X=0 werden, weil sonst in (50) x zweierlei Werthe erhielte, da n und p verschieden sein miissen. Dagegen kann G oder g ent- fallen, also x=0 oder auch 6=0 werden.
wischen zwei Parallel-Ebenen u. einer zusammenhänn.Vmfläche. 137 a) Soli G wegfallen, also x = 0 sein, so muss gemäss (50), wenn getheilt wird,
(44) gp-n—— »4-1
p + I gesetzt werden, und man erhalt:
, 1______ 1 ,
A - (n+ !)!»<<-(? 4-i)>”’ ’ (53)
endlich *
(54)
b) Soli g wegfallen, also 0 — 0 werden, so findet man aus (50) und (51), indein man k und A daraus verdrängt, fur p die Bedingung
(55) sohin
und endlich:
(57)
c) Dian kann aber aueh aus sowohl g ais G ausmer- zen und dafiir eine Hilfsf lachę von dem Ausdrucke
(58) mG 4- (1 — m)g = y
einfuhren, welche ein arithmetisches Mittel der Grundebenen g und G ist, falls die willkiirliche Zahl m zwischen 0 und 1 gewählt wird. Hierzu multipliciren wir diese Gleichung (58) mit dem un- bestimmten Multiplicator p, addiren sie zur Gleichung (552) und stellen in der Summę die Coefficienten von g und G beiderseits des Gleichheitszeichens einander gleich, nemlich
(1 — m)p = 0, tup = x;
folglieh
/t = (7 + ^47.
Demnach muss sein :
Theil XXXIII. 10
138 Malika : Zur liestimm. der Rauminh. u. schirerpunkte ran hörp.
0 * _ 0 + *_ . und sofort ist:
(59) { = (1- k)y + kM.
Da man hierbei die Zahl m frei wShlen kann, so frägt es sich, für welche Werthe von p. diese Einführung von y geschehe. Hierzu setzen wir den Ausdruck x=m(l — A) in die Gleichungen (50), schaffen daraus A weg und erhalten fiir p, und danach auch fiir A, die Bestimmungsgleiehungen
p" — m (iP — ni pn — pP _ 1
i = i - r~
i~a’n + 1 /> + 1 n 4 1 pfl denen zufolge dann nach Obigem
0 = (1—m)(l —A), x = m(l —A) bestimmt wird.
d) Endlicb kiinnte man wohl auch im Ausdrucke (52), nachdem er geniigend vereinfacht worden, fiir jedes belié'big gewählte Verhältniss p geradehin die Hilfsfläche
6g 4- xG_
0fx
einfiihren, indem man fig 1- xG = (0{ x) I — (1 — A) T einsetzt und sofort findet:
(60) j = (l-A)r+AAf.
II. Betrachten wir nun andererseits in Bezug auf das sta- tische Moment die Gleichung
(2,) Iä2* = ? + »7+2ßh” + p + 2 (hP wieder verbunden mit
(22)
G = g + Bh" + Chv,
(22) M — g I- p" • G/t" + pP. C/ip;
so multipliciren wir die letzteren mit den vorerst noeh unbestimm- ten Żabien x' und A', ziehen sie von jenen ersteren ab und setzen
x' + A'p" =—r-s. x' + A'pP =——n,r n + 2 2 2■ r- p +"
I-x'-A' = 0', (61)
(62)
iteischen zicei Parallel-Ebenen u. einer zusammenhäng. Vmfliiche. 139 u ni zu erhaltcn:
(63) = 0'^ + x'6’ +A'l/
mit
(64) O' + x' + X' = l,
woraus zu ersehen, dass 6'g + x'G -|- A'M ein arithmetisehes Mit- tel von g, G, M ist, wenn 6', x', K' gleichstimmig sind.
Auch in diesem Ausdrueke (63) kann M nicht fehlen, folglich keinesfalls A'= 0 sich ergeben, weil sonet in (61) k' zwei un- gleiche Werthe annähme. Hingegen kann G oder g herausfallen, also x' = 0 oder 0'=O werden.
a) Soli G wegfallen, also x'=0 sein, so niuss den Glei- cbungen (61) gemäss
(65) n +2
fłP_"=Fn angenommen werden, und man erhält:
V-(n+2)^-(7+2)fTp’ 2 2 = (66)
und
(67) —» = (l_A')ę + A'Jf.
jS) Soli g wegfallen, also 6' = 0 werden, so findet manaus (61) und (62) für fi die Bestimmungsgleichung
1 — ftP n~ł-2 p
Will man in den Ausdruck von anstatt G und g die Hilfsflache y nach der Gleichung (58) einfiihren, so findet man ähnlich wie in 1. c) fiir fi und A' die Bestimmungsgleichungen
pn—m fir — m fi” — fiP 1
Zizr Bestimm. der Raumtnh. u.Schwerpvnkte ron h'örp.
3) Soll in den> Ausdiucke (63) geradezu die Hilfefläche fi'y + x'G
e' + n' ~ eingeführt werden, so erbält man sofort:
J=(i-i')r+i'i.Fr
Es niöchte nur noch zu bemerken sein, dass, sobald p gemäss einer seiner Bestimmungsgleichungen aus den Wertben von n und p ausgerechnet ist, fiir V die Coefficienten 0, x, Â nach den Glei- chungen (50) und (51), dann für Vxt
nach den Gleichungen (61) und (6‘2) Ortes einzustellen sind.
die Coefficienten 0', x', X' zu sucben und gehiirigen
Q = A 4- Bx -j- Cx3, also V soli G nicht vorkommen,
und nacli (54) Beispiel. I)er Querschnitt sei
n = l, p=3, und ini Aussdrucke von
B. Nocli einfacher gestalten sich die Rechnungen und Aus- driicke, wenn man die Standebcne <2 durch die Mitte der
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