Unferdinger: Das sphârische Dreieck

béne Kreis seinen Mittelpunkt mit diesem Dreieck auf derselben Seite von a hat oder dass Dreieck und Mittelpunkt auf entgegen- gesetzter Seite von a liegen, je nachdem A B 4- C ist. Der Mittelpunkt des dem an a liegenden Nebendreiecke umschriebe- nen Kreises wird also ebenfalls mit diesem Dreieck auf derselben Seite von a oder auf der entgegengesetzten Seite liegen, je nach­

dem A y Bt -f- Ci oder, was dasselbe ist, je nachdem

^ + B+C^2.180°

ist. Man bätte also, urn iiber die Lagę der genannten Mittel- punkte, respective iiber die Lagę der beiden Perpendikel pi, pt zu entscheiden, folgende vier Fälle zu discutiren :

1) A < B 4- C und J + B4- C<2.180°, 2) A<B+C ,, J 4-Z? + C>2.180°, 3) A>B+C „ A + BĄ -C'<2.I8O°, 4) A>B+C „ A + B+ 0 2.180°,

von welchen sich jedoch der vierte ais unmöglich erweist. Denn ist Ay>B-\-C, so ist 2A> A-f-B-j- C, folglich, da A stets klei- ner ais 180° ist, um so mehr A 4- B 4- C < 2.180°, so dass die Anzald der zu betrachtenden Fiille mit dem dritten abgeschlos- sen ist. Gehen wir nun diese drei Fälle der Reihe nach durch.

Erster Fali. Der Mittelpunkt des dem Hauptdreieck um- schriebenen Kreises liegt mit diesem auf derselben Seite von a.

Der Mittelpunkt des dem an a liegenden Nebendreiecke umschrie- benen Kreises liegt mit diesem auf derselben Seite von a. Die beiden Mittelpunkte liegen sonach auf entgegengesetzten Seiten von «. Also ist

tgpi = + m> tgpl = —n und D1=p14-p1.

Zweiter Fali. Der Mittelpunkt des dem Hauptdreieck um- schriebenen Kreises liegt mit diesem auf derselben Seite von a.

Der Mittelpunkt des dem Nebendreieck an a nmschriebenen Krei­

ses liegt in Hinsicht dieses Dreieekes auf der entgegengesetzten Seite von a. Die beiden Mittelpunkte liegen also auf derselben Seite von a, und zwar auf derjenigen Seite, auf welcher das Hauptdreieck liegt. Also ist

tgPi = + »«> *gVi = +’1 und ^i=Pi—Po

nicht pt—pi, wie sich auf folgende Art zeigen lässt: Weil A<,B-}-C, so ist A-t-B-ł-C^ęB-ł-C), also auch 180°<2(B4-C)

dargestellt in seinen Bniehungen zum Kreis. 85 oder 90°<2?+C; da aber A stets kleiner ais 180° ist, so ist iA <90°, und also uni so mehr \A<,B-]-C. Zieht man diese Relation von A = A ab, so folgt Jz1> BĄ-C—A, also um so mehr 90° > B + C— A, 90° > J(B + C - A). Es ist also

+ <Üoo,

woraus ersiehtlicb, dass dieser Bogen im ersten Quadranten liegt.

S 2 180°

Aus der Voraussetzung A 4 B 4- C jyg0 folgt:

, r.> 180°

2(zl -f- « 4- C) 270°’

woraus ersiehtlicb ist, dass dieser Bogen im dritten Quadranten liegt, wäbrend der Bogen

1M + B + O-I8O0 >0)O

im ersten Quadranten liegt und mit dem unmittelbar vorhergehen- den dieselbe Tangente bat. l)ie beiden Bogen

, KB+C-J), l(A + B + C) -180«

liegen daher beide im ersten Quadranfen und man darf also aus der von selbst ersichtlichen Relation

|(B+ C- A) > i(A + B+ 0-180°

auch schliessen, dass die Tangente des ersten Bogens grösser ist ais die Tangente des zweiten, mithin ist auch:

tgi(B+C-J)>tgJ(^ + B + O>

und um so mehr, da Sin Ja stets positiv und kleiner ais 1 ist, tgPi^gVi» Pi

>Pi-Dritter Fali. Der Mittelpunkt des dem Hauptdreieck um- schriebenen Kreises liegt in Hinsicht auf dieses Dreieck auf der entgegengesetzten Seite von a. Der Mittelpunkt des dem Neben- dreieck an a umschriebenen Kreises liegt mit demselben auf einerlei Seite von a. Die beiden Mittelpunkte liegen sonach auf derselben Seite von a, und zwar auf derjenigen Seite, auf wel- eher das Hauptdreieck nicht liegt, also auf der entgegengesetz­

ten Seite ais im zweiten Fali. Also ist

tgPi= —'<i, tgVi= —« u"<l r)1=p1— pi,

\ nicht pi — Vi, wie auf folgende Art einleuchtet: Weil A^BĄ-C,

86 Vnfer dinyer: l)us sphärische Dreieck

so ist ‘24> A BC> 180°, also um so mehr 4>üO0, folglich Z/<90°, C<90u, und demnach auch A—so dass

im ersten Quadranten liegt. Ferner ist der Voraussetzung nach 1(4 + B + C)<y,

so dass dieser Bogen im zweiten Quadranten, aber jener 18(P-.i(/l+Z?+C)>§0o

f

im ersten Quadranten liegt und mit demselben einerlei Tangente hat, nur mit positivem Vorzeichen. Da nun angenscheiiilieh

180° - 1(4 4 B + C) > 1(4 - B - C),

so besteht dieseibe Relation znischen den Tangenten dieser Bo­

gen, d. h. es ist —h> — m, folglich um so mehr tgPi>tg?i.

Bedient man sich zur Berechnung von tgDj aus tsjpi.’tgpj der bekannten Formel:

tg (« + ’/) = tgx + tgy lTtg^tgv’

so findet man in allen drei Fällen gleich : tgD, = m — n

1 4- mn ’

so dass man nur nöthig hat, die Rechnung fiir einen dieser Fälle, z. B. für den ersten durchzufiihren, uni eine für alle Fälie giltige Forniel zu erhalten. Dieses soll nun geschehen.

Weil bekanntlich

tgz-tg3/ =Sin (■* —y) Cos.rCosy ’ so wird

i — Sin4

~ &'n 2" Cos i(A + B+ C) Cos ' oder auch, vrenn nian bedenkt, dass .

— Cos J(4 4- B 4 C)Cos4(ß 4 C- A) = Sin2lrtSin /?Sin C

dargestelll in seinen lieaiehungen %uin Kreis. 87 Sin A

n Sin JaSinBSinĆ’

Ferner ist

1 f mn

Cos’Gl l-ß+OCosKß l-C- J) Sini(J+Zf+C)Sin’(ßl€-J) Sin B Sin C ‘ CosKzt FB+C)CosJ(B4 C-Â) oder

1 4'* /*n — Sin BSin C— Sin \(A 4- BA- C) Sini(B4- C — A) ShiBShiC •

und mit Riicksicht auf die folgende allgemeine goniometrische Formel:

Siny Sin z = Sin ' (A’4_ył z)Sini(_y {-z—.r)-|-Sini(a:-| «/)Sini(zr+y—i):

1 -f mu —Sinj(J4 C—B)Sin.j(z4 4-B — C) Sin B Sin C

setzt mail nun die fur m—n und 1 4- >nn gefundenen Werthe in den obigen Ausdruck fur tg D1, so erhält man mit Leichtigkeit:

(162)

I Sin A 1

i

tgU‘=ŚM7ł' Sin.l(J4-C'-B)Sini(J4-^TZCi) ’ und ebenso

. n Si,)g____________Ł________

tgUa“Sini6 ’ Sini(B4-C— J)SinJ(44-B-C) ’ . n Sin C ____________1______________

lgl 3_Sin.lc’Sini(B4-C-z4)Sini(J4-C-B)’

wobei D2 und I)3 die analogen Distanzen des Mittelpunktes des dem Hauptdreieck umschriebenen Kreises von den Mittelpunkten derjenigen Kreise bezeichnen, welche den an b und c liegenden Nebendreiecken umscbrieben sind.

§. 75.

Bezeichnen wir die Entfernungen des Mittelpunktes des einem sphärischen Dreieek eingeschriebenen KVeises von den Mittel­

punkten der seinen drei Nebendreiecken eingeschriebenen Kreise mit 1Ą, l)2, B3, so dass diese Distanzen mit der Reihenfolge der Seiten a, b, c einerlei Ordnung befolgen, so haben wir in {. 9.

gefunden :

88 Cnfer(linger: Das spMrische Dreieck etc.

Sin« ]

1 Cos ’ Cos£(a-ł-c—6) Cos,l(«+ 6—c) ’

_ Sin 6 1

n 2 CosśZ? CosJ(6+c—«)CosJ(«4-6—c)’

„ Sine ___________ 1________

® 3 Cos J C' Cos â (6-f-c—u) Cosi (a-f-c—b)‘

Bezeichnen wir die ähnlichen Distanzen fiir das Polardreieck, mit Beibehaltung derselben Ordnung, mit Dx', D2‘, O3 , so er- hält man dieselben ans den vorstehenden Gleichungen soffenbar, wenn man alle im zweiten Theil vorkommenden Buchstaben mit Strichen versieht. Gebt man alsdann mit Hilfe der bekannten, in §. 16. anfgefiihrten Relationen von den Seiten und Winkeln des Polardreieckes auf die Seiten und Winkel des Hauptdreieckes zuriick, so ergibt sich :

(163)

t t Sin 4 1

g 1 “SinJaSin^JfC—/?)Sin.l(^+Z?—C) ’

| z Sin li 1

( tgn2 -sr,^-Sin’(B+ C_J)SinJ(z<+ß-C) ’

| , Sin C 1

tg/>3 - SinI?Sin.l(#+ C—A)S\n\(A+C-B)'

Vergleicht man diese Ausdriicke mit jenen (162), so siefit man, dass

(164) Ą' = Dj, Z)./=Da, D3' = D3

ist, und da von den zwei Dreiecken ABC und A‘B‘C‘ immer eines ais das Polardreieck des andern zn betrachten ist, so ist aiieh :

(165) A = D/, />.2 —1)2', Z)3=iV;

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