Thl.XXIX. S.479.)
Von
Herm Frani Unferdinger,
Lelirer der Matheniatik in der k. k. öeterreichischen Krieg«-Marinę, eingeechilTt anf Sr. Maj. Propeiler-Fregatte Don a u.
E i n 1 e i t u n g.
Der Inlialt dieser Abhandlung schliesst sieli an die oben ci- tirte an nnd ist ais ein weiterer Verl’olg der dort gepflogenen LJn- tersuchungen nur in Verbiudung mit dieser verständlich, da der- selbe in allen seinen Theilen sieli aut’ dort gefundene Relationen und Sätze stiitzt, nas ich hier ani Eingange ausdriicklich bemerke, um dem Leser den Standpunkt zu bezeichnen, welchen er ein- nehmen muss, die hier und dort gewonnenen Resultate mit Ver- ständniss und im Zusammenhange zu iiberblicken, Resultate, welche zum griisseren Tlieile in der kurzeń und ausdrucksvollen mathe- matischen Zeichensprache gegeben worden sind und auch hier in dieser gegeben werden, und welche, sobald man die durch die erhaltenen Formeln detinirten allgemeinen geometrischen Eigen- schaften des sphiirischen Dreieeks in die gewiihnlicbe Wortsprache übersetzt, eine Reihe von Lehrsätzen ergeben, welche von einer kfinftig zu bearbeitenden sphiirischen Geometrie einen Theil aus- machen. Ich bin keineswegs der Ansicht, dass mit, dem hier Ge- botenen die Beziehungen des sphäriscben Dreieeks zum Kreis oder wohl gar die allgemeinen Eigenschaften des sphärischen
(targestellt in seinen Reziehungen zum Kreis. 15 Dreieckes iiberliaupt erschiipft seien, sondern meineUntersuchungen haben mich friihzeitig ron dem Reicbtbum des hier betretenen Gebietes iiberzeugt und wir wollen daher den in diese Richtung einschlagenden Studien mit Eifer obliegen und das bereits Gewon- nene weniger ais eine wirkliche Vermehrung unserer Kenntnisse der Gesetze dieser Raunigestalten, denn ais ein Formeldepot zur Erleichterung kiinftiger Forschungen betrachten.
§. 31.
Fali t man vom Mittelpunkt des einem sphärischen Dreieck ein- geschriebenen Kreises auf die drei Seiten Perpendikel, so werden die Seiten desselben in Abschnitte getheilt, welclie paarweise ein- ander gleich sind. Bezeichnet man die an den Wiokeln A, B, C liegenden Segmente der Reibe naeb mit u, v, u, so ist naeli §.3.:
(67) w = J(6-|-c — a), + c — 6), w = ś(a4-6 — c), u 4- t + w = J(a 1> 4- c).
Verbindet man den Mittelpunkt des einem sphäriscben Dreieck umschriebenen Kreises mit den drei Ecken, so werden die Dreiecks- winkel A, B, C je in zwei Theile getheilt, von welchen sechs Winkeln wieder zwei und zwei einander gleich sind. Sind uit r1; irt die drei an den Seiten a, b, c liegenden Winkelsegmente, so ist, wenn der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises innerhalb des Dreieckes liegt, nach §. 19.:
(68)
Ml = K»4-C-J), vv^AA-C-B), Wl=\(A B-O,
«i 4- »i 4- "j = 1(^ + ß +
G-Liegt der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises ausser dem Dreieck, und dem Winkel A gegeniiber, so ist
(69)
Wl = -i(Z?4-C-J), th = K44-C-G, w1=1M4-Z?-G.
— ui 4- »i 4-w, = i(A 4- B 4- C), so dass also —Wj an die Stelle von »Zj tritt.
Da die Sinus, Cosinus und Tangentcn dieser acht Griissen in unseren tJntersuchungen eine wichtige Rolle spielen und häufig vorkommen, so wollen wir uns mit der Berechnung derselben be- sonders beschäftigen.
16 inferdinyer : Das sphârische Dreteck
§. 32.
Aus §. 15. folgt zunächst:
(70)
Sin ’(a + b + c) = 2ShUJŚi„'BŚinrC’
B'
Sin ’(6 + c~ —2Sin UCos łBCos *C’
Sin J(a 4 c — b)- 2 Sin iB Cos iA Cos . C’H' Sin J(« + 6 - c) = 2 s^ 4CC08 U Cos 4B ’
U*
und mit Hiife der in §. 16. aufgestellten Relationen erhält man bieraus dnrch den Uebergang auf das Polardreieck:
I Cos t(A + B 4- O) 2Cos łaCos jó Cos ic *
! //
I Cos i(B 4- C — J) = 2 Cos Jn Sin 46 Sin Je’
i Cos 4(^4 4- C—B) = 2 Cos 46 Sin Ja Sinic ’
Cos4(J 4- ß - C) = 2Cos JcSin 4a Sin J6’
Wenn man bedenkt, dass nach §. 15. auch:
.. ____
(31) —Sin/lSiiiBSinC’
so erhält man aus dem System (71) mit Leichtigkeit:
(
//’
Cos i« Cos 46 Cos 4c — Sin A sin B Sin c Co8 . (j + B+C)>
H‘2
Cos U Sin 46Sin 4c- Sin A Sin B Sinć.Cos 1 (^+ C—24)’
(72) (
Cos ib Sin ’aSin ’c= sin j sinBSÄ C Cos‘2(zl 4-C-B) ’
i jjt
(Cos \c Sin 1« Sm 16 = sin A Sin B Sin C. Cos > (C) ’ setzt man der Kiirze halber
dargestelll in selnenBeiiehungen m Kreis. 17 i
A ‘ —
Cos £aCos\b
Cos |c,A"
= Cos J a Sin £6 Sin\c,
(a)
' A'"
= CosjftSin śaSin\c,
zP^= Cos icSin ja Sin’6;so ist bekanntlich:
z Cos J(« +
b
+ c) = zf—z/"—z/'" —A lr,
1 CosJ(6 1-c —a) = z/'—z/" + z/"' + z/^,
\ Cos J(a + c-
b) — A'
+ z/"—J'" + z/"', V Cos J(a +b — c) =
z/' +A"
4- z/'" —Alf ;
un<l man findet daher durch Anwendnung der Gleichungen (7‘2):
(73)
Cos j(a+6+c) _____,_______77'2 f______1_______
Sin
A
SinB
SinC
I CoSj(zl +B + C)
1 1 I
+ Cos
lAß+C — A)
+ Cosi(A-f-C-B)
+ Cosl(+ + B-C) | Cos^6+c a)— SinjSjnÄSinCJ III 1 1 )
+ Cos |(74+
C-A)
Cos 4(+ + C—7?)~ Cos^AĄ-B —C)
I 9Cos’(«+<?
b) — SiaASinBS- inC ]Cosi(A + B+Q
. ___ 1_________ 1_________ Ł___(
+ Cosi(A+C-B) Cosi(B+C-A)
Cos’(z4+7?-C)| ’77'a ( 1 Cosi(«+6-c)=—sin^sinBSin Cl Cos £(J+7?+
C)
.______J______________
1___ _____ L__ i.
+ Cos 4(zl+B— C) Cos i(B+
C-A) Cos i(A + C— B)
I ’und durch den Uebergang auf das Polardreieck, mit Anwendung der Relationen des §.16.:
Theil XXXIII. 2
18 Unferdinger: Das »phiiriscne Dreieck (74)
ii^n >14*- |____ 1____________ 1
i i _______L___ ?.
+ Cos|(^4--B-0 Cos’(ß4-C-J) CosiOHC— Br
*( + + 7 SinaSinftSinc ( Sini(6-f-c—a) Sin «(a-f-c 6)
.___ 1________ L __ i
TSin’(a+6-c) «in;(«+6fc)j ’
Z/ia | 1 ]
Sin4(ß-|-C A) SinaSintSinc ( Sin4(a-|-6-|-c) Sini(a4^è^6)
L__ _ i. >
Sinj(a4-6—c) Sin .((64c—a) ( ’
// i 2 I 1 1
Sin 2(A-f-C B) — sinaSinó Sin c ( Sin J(«+6+c) + Sin i(6+c—aj
. ___ 1________ 1 __ )
xbiiU(a + 6-c) Sin‘(« + c—6)f ’ Sin 2(A-j-B C) Sin aSfti 6Śiuc / Sin.f(«4-6^pcj Sin i(^4-c-—a)
. ___ L ____ L>
TSin 'Aa+c—b) Sin 4(«4-6—c) | ’ Diese Gleichungen hätte man auch aus dem System (70) auf ähnliche Art finden können, wie die Gleichungen (73) aus deni System (71) abgeleitet wurden. Werden die Gleichungen (73) der Reihe nach durcli jene (70) und die Gleichungen (74) der Reihe nach durch jene (71) dividirt, so folgt:
(75)
ctg l(a + b4 c) _ 4Co8 ijCosiÄ€o«jC $ €os *(^+S+f) 111, + Cosl(ß+C-zl) + CosiM+T2-^)+ CosiM+Ä—Cj' ’
H‘ $ 1
ctgś(A 1- c—«) - — 4 Cos Sin > Sin [C ? Cos KA+B+C)
.___ J__ _ _____ Ł__ . _____ L___ »
H Cos A) CosJ(J4-C-Ä) Cosi(^+Ä-C)V ctgK«4-c—6)-—4CosißSinijSin>c ^Cos4(J4-«4-C)
1 1 1 , + Cos|(A4-C-B) Cos l(ß+C—A) Cos i(A±B- C) < ’
77 s *
ctgi(a4-6-c) =—4CosiCSinU Sin£ß « Cos {(A+B+C)
dargestellt tn sétnen Beziehungen zum Kreis. 19 (76)
1 4Sin>a _6Sin\c Sin4(6-f-c—a)
._____1______________i______>
T Sin J(a+c—6) * Sin£(a-f6—c) Sin}(a-f 04-c) »’
A c i
tga(^4 C A) 4Sin’aCos46Coslc ? Sin|(a4-6+c)
______1___ __ l____ 1
^Sin^a-J-c—6) SinJ(a-|-6—c)"~ Sin£(6-J-c—a)’’
tgłGI+C -ß) 4Sin,6Cos JaCoslc^ Sin4(a-|-6-|-c)
1 l
Sin i(6+c—a) Sin J(«4-6—c) Sin J(a-|-c—6) i ’
IgsC^ + 'ß C) 4Sjn icCos’aCosjé ? Sin 4(a-f-6-|-c)
. J____ .____ 1 _________ 1 ,
’ Sin i(64-c—a) ' Sin£(a-|-c—b) Sin i(«+6—c) ’"
5. 33.
Die Gleichungen (47) des §.20. geben:
(47)
H' H'
Cos HJ + ß 4- C)= ~ctgr’ Cos \(ß + C—A) = ctgr» ’ u-s-w<
Da ferner
(31) H' Ht
SinA Sin B Sin C ~‘iH'’
1
(48) V tgrtgrj tgr2tgr3 ;
so ist auch
Sin/lSinBSin C ~ 2"1 ’ *&' ‘S'i‘5'2‘s'3’
und wenn man die Gleichungen (56) mit einander multiplicirt und dabei auf die Gleichung (13) Rticksicht nimmt:
2
20 Vnf er ding er: Das sphärische Dreieck (78)
7^2 = (t8ri + fgr2 + fgr3 ~ tgr) (tgr + tgr2 + tgr3 — tgrt) ,
X (tgr + tg r, + tg r3 — tg r2) (tg r 4- tg rx 4- tg r2 - tg r3);
setzt man nun die Werthe aus (47) und (77) in die Gleichungen (73), so gehen dieselben iiber in folgende:
(79) Cos ^(«-|-6 4- c)
= — l Hi Vtg r tg rj tg r2 tg r3 (ctg r, 4- ctg r2 4- ctg r3 — ctg r), Cosi (6 4-o—«)
= UA Vtgr tgrj tgr2tgr3 (ctgr f ctgr2 4- ctgr3 —ctgrj, Cos 2 (a 4- c — 6)
= V tgrtgrjtg r2 tg r3 (ctg r 4- ctg 4- ctg r3 — ctg r2), Cos i (a + 6 — c)
_________‘ ‘\ •
= Vtgrtgr, tgr2tgr3 (ctgr 4- ctgr, 4-ctgr2—ctgr3), wobei Ui aus der Gleichung (78) zu nehmen ist, so dass die zweiten Theile ais reine Functionen der Radien r, rt, r2, r3 der dem Hauptdreieck und seinen Nebendreiecken umschriebenen Kreise zu betrachten sind.
§• 34.
Wenn man zur Abkiirzung
H = ctg pj 4- ctg p2 4- ctg p3 — ctg p,
= ctg p 4- ctg p2 4- ctg p3—ctg pj „
£ =ctgp4-ctgp14-ctgp3 — ctgp2,
® = ctg p 4- ctg p! 4- ctg p2 — ctg 3 setzt, so ist nach §. 22. (54):
tgr = JÄ, tgrx = 4», tgr2 = J£, tgr3 = ^>;
Vtgrtgrj tgr2tgr3 = iVICÖO und die Gleichungen (79) gehen iiber in:
dargestelli tn netnen Bntelmngen zum Kreis. 21 (80)
C08 ł (a + b + c) = -1 Ih VW ü + i + Ś ~ ’
Co8j(ó + c-a)= | + ,
Cosś(«4-c — b) —
Cos’(a + 6-c)= 4-l+|-^;
wobei der Werth von //, aus der Gleichung (13) und dieWerthe von £1, Ti, (f, T> ans (c) zu nehmen sind, so dass die zweiten Theile lediglich die Radien q, p1, p2, p3 der vier Beriihrungs- kreise enthalten. Ich mache hierbei aufmerksam, dass ich, weil die mit /Ą , £1, Ti, tf, bezeichneten Functionen in o, gt, o2, Qj
sehr einfach gebaut sind und sich dem Gedächtniss mit Leich- tigkeit einprägen, nicht imnier statt derselben ihre Werthe sub- stituiren werde. Wir betrachten eine Grösse ais durch p, q2, q3 ausgedriickt, wenn sie ausser diesen nur noch Hx, 11, 15, €, T>
enthält.
§. 35.
Den Gleichungen (12) des §. 10. zufolge ist (12)
Hi „ Ih
Sin J(rt ł-6 + c)- tg9’ Sin 4(6 4-c— a)~ tgPl’ U- S' W'5 ferner ist nach §. 15. und §. 20.:
(48)
//, _ zr
Sin a Sin 6 Sin c 2/Ą ’
folglich nach dem Obigen auch:
________1________.
V tgrtgritgr2tgr3’
(81)
und f' ’ fł
ZP = A —
22 Vnferdinger: Das sptiärische Dreieck
(82)
____ Lh _________
2 . SinaSinóSinc /Ą VüUÖO ’und vrenn man die Wertbe aus (12) und 82) in die Gleichungen (74) substituirt, so gehen selbe ilber in folgende:
Sin K4 + B + O =2(tgp‘ S-?j >
(83)
2(tgp+tgp2 + tge3-tgP1) Sin,(B + C-^) =---
-y--Sin >( A + C—B) = + »
I Sin’M-l/? 1-n ąftgp-Hggi+tgPa—tggł) I S.n,(4+Ä-OÄ’
---§. 36.
Setzt man zur Abkürzung:
H, =tgri + tgra + tgrs —tg»-»
B1 = tgr 4- tgr2 + tgr3 —tg rt, (?i =tgr + tgrl 4-tgrs—tgr2>
=tgr-|-tgZj + tgr2 — tgr3>
so is t nach den Gleichungen (56) des §. 22.:
ctgp=ŚUł, ctgpt=p$j, Ctgpl = 4^1» ctgf3 — 2®1 oder
o 2 2 .___2 r
tge = jl’ ‘gc»=^’ tge®==^i’ tge3-Di’
da ferner na"ćh dem Obigen:
• # ■ ■' ‘ ‘
V Öif D = 4 V tgrtg H tg r2 tg r3
ist, so kaon man das System (83) des vorbergehenden Paragra phen auch in das folgende umwandeln:
dargesteltt in ielM* fieziehungen zum Kreis. 23
(84)
1111
«7 + rf7 +fv ~ .1
1 1 J 1_
Ę +gt+ I\ IS
wo der Werth von Ht aus der Gleichung (78) zu nehmen ist, so dass die zweiten Theile ais reine Functionen der Radien r, rlt r.it r3 der dem Hauptdreieck und seinen drei Nebendreiecken umschriebenen Kreise zu betrachten sind.
§. 37.
Die Gleichungen (12) und (47) geben mit Riicksicht auf jene (13) und (48) unmittelbar:
Si „!(« + 4+«) = ^SŁ,Ł^SAlS£..
tee
«• yJT ■ r M — e fg e» te Ps Sm£(rt + c —1>)=---•
tg 02
Sin U« + 6 —c) = ^^»l^te^
tg Pa und
(85)
24 Unferdinger: Das sphdrische Dreleck
Werden jefzt die Gleichungen (80) durch (85), dann auch die Gleichungen (84) durch (86) der Reihe nacli dividirt, so erhält man:
(87)
wo wieder der Werth von /Ą aus der Gleiehung (78) zu nehmen ist, so dass die zweiten Theile ais nur die Radien r, rx, r2, r3
dargestellt In seinen Beziehungen zum Kreis. 25 enthaltend zu betrachten sind. Wir bemerken hier, dass das System (88) auch aus dem vorhergehenden (87) abgeleitet wer- den kann, wenn nian dieses auf das Polardreieck anwendet und dann mittelst der Relationen des §. 16. zum Hauptdreieck zu- riickkehrt. Bezeichnet man das, vras aus U, 15, <£., T5> fur das Polardreieck wird, mit 11', 15', (£', T>', so ist offenbar mit Riick- sicht auf die Gleicbungen (53) des §. 21.: H'zxUj, = T5i, =
und Vr57B7<r©'= , woraus erhellet, dass auch die Umformung der zweiten Theile des Gleichungen- Systems (87) alsdann keinen weiteren Schwierigkeiten unterliegt.
- i 1• <\ I K; -*0 )
§. 38.
Weil
Sinł(a + 6+c) =^» Sin’(6 +«—«) = , u. s. w.
2 2
‘ge yj/ = u. s. w.
ist, so ist auch
Sin J(a + 6 + c) = IJMi, Sin >(6 + c—a) = u. s. w.
oder, wenn man für UIf ihre obigen Werthe setzt:
Sin ł(«+ b + c) = -l//l(tgr1+tgr2 + tgr3-tgr),i Sin 1(6 + c—a) = 17/1(tgr + tgr2 + tgr3 — tgrj), Sinl(a + c—6) = l^i(tgr + tgr, +tgr3 — tgr2), Sin l(a + 6 - c) = 1/Ą (tgr + tg rŁ + tg r2 - tgr3);
denkt man sich in den zweiten Theilen dieser vier Gleicbungen statt Hi denjenigen Werth gesetzt, welcher aus der Gleichung (78) hervorgeht, so sind dieselben ais reine Functionen der Ra- dien r, rx, r2, r3 zu betrachten.
Weil
CosJM + B+O — — Cosi(B+C+24) = tgrj.Z/', u. s. w.
tgr=lU, tgri—l15,u.s.w.
und
26 l nf erding er: U as tpMrische Dreieck
ist, bo wird
(81) H' 4
-. 2»
C„iW+fi+C) = __^, C..1(B+
c- *> =
i ■ - a ?< ?• J- - <1iż * *’“l: t «’sr^ ' U. 8. W.
od er
. i ’ .Z .. i:. 1 u*).
I
Cosi(^+jB + C) =
Cosi(B+C— A) =
Cos’(^ + C—B) =
Cos l(A + B - C) =
2(ctg pt + ctg pa + ctg Pa — ctg p),
2(ctg p + ctg pa + ctg Pj - ctgpi)
2(ctgp + ctg Pi + ctg P3 ctg Pa), VilX^T
2(ctg p 4- ctg pi + ctg Pa ~~ctg Ps) OM>
Werden jetzt die Gleichungen (79) dnrch (89) und ebenso die Gleichungen (83) durch (90) der Reihe nach dividirt, so erhalt man schliesslich nocli folgende zwei Systeme von Gleichungen:
(91)
. .r .A . 1 4/-T—7---7---7--- ctgri+ctgra+ctgr3—ctgj-ctg ,(a+6 + c) =- \ tgrtgr, tgratgrs . tgn 1 tgr, Hgr8 - tgr ’
ctgj(6+c — a) = *z-7—--- 7---;----ctgrd ctgr2+ ctgr3 — ctgri Vtgrtgntg^tgra. tgr+igr2 + tgr>_-tgri »
ctg.l(/i|c<—6) — tr.----:---—7---ctgr+ctgri + etgr3 —ctgra Vtgrtgntgr^tgn,. fgr + tg-ri+7gr3-tgr2 ’
ctgi(a+6—c) = —1----7---;---- ctgr+ctgrj + ctgra-ctgrs.
V Ig, >gr, 'g^lgr, • + Igra_tg„ •
dargestellt in tetnen Bezlehunuen zum Kreix. 21
tgi(J+2?+C) = 1 tgPi 4-tgfa + tgPł—tg? t V^tg p tg Pi tgp2tgp3 ctgpl4-ctgp2+ctgp8 ctg0 tgi(/?+C'-^) = ... ...„J... .?ggt.te+ *gg3 .
V tg ? tg 9l tg (?2 tg p3 ctg g+ctg ?2+cts p3 -ctg pi tS',(A+C-B) =
tgju+ß-o =
________1________ tgp + tgg, + tg ?3—tgg2 tg?tgPi tg 0.tg03 ctg04-ctg0i4-ctg03 ctgp2 ________ 1___________tgp + tgpi 4-tgga — tgpa V^tgptgpj tgp2tgp3 ctgp4-ctgp14-ctgp2—-ctg03 Das letzte System kann auch wieder, wie man sogleich sieht, aus dem Vorhergehenden durch den Uebergang auf das Polar- dreieck gefunden werden; heide Systeme gehen überdiess mit Leichtigkeit aus den Gleichungen (75) und (76) hervor, worauf ich nur aufmerksam mache. Die Gleichungen (70), (73), (75) geben Sinus, Cosinus und Cotąngente der vier Bogen
l(« + 6+c), ł(6+c—a), i(a + c — b), ',(a-\-b — c) durch die drei Winkel A, B, C des sphSriscben Dreieckes, (85),
(80), (87) durch die Radien p, p,, p2, p3 der vier Berührungs- kreise desselben, (89), (79) ,-(91) durch die Radien r, rl , r2, rg der dem Hauptdreieck und seinen drei Nebendreiecken umschrie- benen Kreise. Die Gleichungen (74), (71), (76) geben Sinus, Co
sinus und Tangente der vier Winkel
XA + B+ O), i(ß + C-A), l(A-ł-C-B), XA + B-C) durch die drei Seiten a, 6, c, (83), (90), (92) dtirch die Radien p, 0i, 0», 03, endlich (84), (86), (88) durch die Radien r, rłt r3, rs.
Bezeichnet « den sphärischen Excess, so ist bekanntlich:
Cos ’e = Sin + B + C), tg Je = — ctgi(A + B + C) und die ersten der Gleichungen (83) und (92) geben zur Bestim- niung des sphärischen Excesses aus den Bertihrungsradien p, pI(
p2, 03 folgende bemerkenswerthe Ausdrgpke:
Cos Je — 2(tgpt 4- tgp2 4- tg P3 — tg0) , MSW
tgł« = Vtgptgp1tgp2tgp3.Ctg Pi 4- ctg 0ł 4- ctg 0» - ct8 0
“tg^i 4-tg 0.4-tg 03—tg P (93)
(94)
28 Vnferdinger: bas sphürische breieck
§. 39.
Die zweiten Theilc der Gleichungen (73), (75) und (76) kön- nen auf eine einfachere Form gebracht werden, welche fiir un- sere nachfolgenden Untersuchungen von Nutzen sein wird, und mit diesen Transformationen wollen wir uns jetzt beschäftigen.
Wir haben in §. 32. gefunden :
B'2 1
Cosi(a + 6+c) =—SinjSi|ljBSirlC ł CosJM + B+Q
. 1,1.1?
+ Cos i(B + C- A) + Cos .■ (A + C— B) + Cos l(A + B- C) * ’
’ -i?*?- *. >t‘ :»?!•. ii- ; j yi;
um diesen Ausdruck zu vereinfachen, fassen wir die in der Kłam- mer enthaltenen Glieder paarweise zusammen und bringen jedes Paar fiir sich auf gemeinschaftlichen Nenner, so erhält man, wenn man bedenkt, dass
Cos l(A + B + C) + Cos J(B + C - A) = 2 Cos \A Cos \(B + C), Cos JM + C— B) + Cos i(A + B— C) = 2 Cos ’ A Cos ’(B- C) ist:
2CosJ/fCos.)(B4-C) 2 Cos M Cos >(B—C) Cos JM+B+C) Cos J(B+C-J)+ Cos JM4-Ć-B)Cos JM+B=C)5 nimmt man hier 2Cos.M ais gemeinschaftlichen Factor heraus und stellt jetzt alles auf den einen Nenner —H'2, so ist der Zäh- ler des Bruches:
Cos JM + C— B) Cos JM + B — C) Cos }(B + C) + Cos ’(A + B + C) Cos ’ (B 4- C— A) Cos l(B — C).
Setzt man fiir einen Augenblick:
« = Cos JM+ C— B) Cos JM + B— C), ß = Cos JM + B + C) Cos ł(B + C— A);
so ist obiger Zähler offenbar gieich
(a + ß) Cos JB Cos J C— («— ß) Sin J B Sin ’ C oder weil auch
dargestelll In sefnen Beziehungen zurn Krets. 29 a = J| Cos A + Cos (B— C)\,
ß = J(CosJ + Cos(B+C)|, folglich
-o«,. i
«4-^ = Cos A + Cos B Cos C, a — ß = Sin B Sin C ist, gleich
(Cos A Cos BCos C)Cos }B Cos 1C— Sin BSin C. Sin JBSin ‘ C
= Cos J BCos i C| Cos A 4- Cos B Cos C — 4 Sin 2i BSin2JC|
= Cos’BCosłC(l —2Sin2U4-(l — 2Sin21jB)(l— 2Sin2JC)
— 4Sin2lBSin2JC|
= Cos iBCos i C\ 2-- 2 Sin 2U — 2 Sin 2i B - 2 Sin 21C I
= 2CosiBCos>C|l-Sin2U—Sin2^B—Sin^CI oder auch gleich
Cos ł B Cos l C {Cos A 4- Cos B Cos C— (1 - Cos B)(l — Cos C) ]
= Cos J BCos łC(— 1 4- Cos.4 4-Cos B4- Cos Cl
= — Cos IB Cos J C{ 1 — Cos 4 — Cos B— Cos C|;
mithin ist
Cos i(a 4- 6 4- c) — — śhrJŚhBShTCB'2
4 Cos U Cos B CosC(1 — Sin 2.’ A — Sin 2iB — Sin 2i C)
X —Hi
oder v
CosK« + 6 4- e) = — Sin4SinßSin CB'2
— 2Cos ł4 Cos JBCoSzC(1 — Cos A — Cos B — Cos C)
X--- -B'2 ’
das ist
. , . x l-Sin2*J~Sin 2łB—Sin2JC CosJ(a4-'' + c) - 2 Sin U Sin JB Sin i C oder
1 — Cos A — Cos B—CosC Cos > (« 4- f> + c) — 4SinMSiniBSiniC *
30 Vnferdinger: bas sphdrfsche Dreieck
§. 40. ! Ebenso liaben wir in J. 32. gefunden:
Cosi(6 + c — a)
H"1 s 1 ___L_____ J
— SinJSinBSin C ' Cos>(A +'J?+ C) T Cos >(Ä+ C^A) _________1_________________L_ i.
Uos^A + C-B) Cosi^+BJrcp ’ um auch diesen Ansdruck zu vereinfachen, fassen wir wieder die in den Klammern enthaltenen Glieder paarweise zusammen und erhalten auf dieselbe Art wie früher:
2CosUCos‘(B + C) 2Cos’JCos’(B—C)
Cosl{A+B^C)Cosi(B^C—A) Cosi(A+C-B)Cosi{A+B—C)5 nimmt man auch hier wieder 2CosJzi als gemeinschaftlichen Factor heraus und stellt alsdann beide Glieder auf den gemein
schaftlichen Nenner —H"1, so ist, mit Beibehaltung der Bedeutung der Buchstaben a und (3 der Zähler dieses Bruches gleich
(a — ß) Cos ißCos i C— (a -J- ß) Sin J A Sin £ B oder gleich
SinB Sin CCos\BCos JC— (Cos A + Cos B Cos C)Sin\BSin ’ C
= Sin â B Sin £ C14 Cos 2i B Cos 2i C — Cos A — Cos B Cos C1
= Sin iß Sin * C;4 Cos2.}ß Cos«łC—2Cos2U +1
—(2 Cos2iß-l)(2Cos2i C— 1) |
= Sin JBSin * C| 2 Cos2‘B + 2 Cos’l C— 2 Cos 2* J }
= 2Sin\B Sin 1 C| 1 + Sin *\A — Sin^B — Sin 21 C|
oder auch gleich
Sinjß SiniC’l (1 -f-Cos B)(l + Cos C) — Cos A — Cos B Cos Cl
= SinJjBSinśCl 1 —Cos A J- Cos B-|-Cos C};
mithin ist:
dargestelu in seiuen Betiehungen tum Kreis. 31
l~ł-Sin2lJ — Sin2)/? —Sin2łC Cos 2(6 + c — n) _ 2 Sin U Cos 1Ä Cos J C “ oder
Cos ,(6 + c — a) — 1 — Cos A + Cos B 4- Cos C 4 Sin 1A Cos i B Cos 1C
Fasst man das in dieseni und dem vorhergehenden Paragraphen Gefundene zusammen, so gelangt nian zu folgenden zwei Syste- men von Gleichnngen, welche mit jenem (73) gleichbedeutend, aber der Form nach einfacher sind:
(95)
r >/ .a. x l-Sin2M-Sin2lß-Sin«jC Cos2(«+6+c)_ aSinUSinlBSin’C _ x 1 |Sin214--Sin2]/?—Stn2)C Cosa(6+c—a)— 2SinlJCoslÄCos.lC” ’
_ l-Sin2M + Sin2JÄ—SinalC
( os 2(a+c—6) — ---’
2Sin\B Cos IA Cos 1C
„ X I—Sin’M-Sin’lÄ+Sin’lC
Cosl(«+0-Ä) = ŻSinlĆĆosUCosll?-^
ł
32 linferdinger: Das sphärische Dreieck
und wenn man die Gleichungen des Systems (95) der Reihe nach durch die Gleichungen des Systems (70) dividirts
(97)
/
I ctgi(a+6fc) =
ir
t , l + Sin2.U —Sin*jB-Sin*. ’C ctg J(6+c-«) =---— ---,
H'
t ,, , n .1—Sin«U + Sin*łB-SinajC ctg ’(«+c-6) =.---,i>---— >
H'
ir
oder auch:
I
ctg’(a+6+c) = w/I j.JiiTwbgmuf ctgi(6+c—a) =
ctg J(a+c—b) —
ctęMa+b—c) =
1 — Cos A — Cos B — Cos C 1H'
1 — Cos A + Cos B + Cos C
2H' ’
1 + Cos.<4—‘Cos B + Cos C 2H'
1 4- Cos A + Cos B — Cos C
>11'
§• 41.
Wendet man die vorhin abgeleiteten Gleichungen (95), (96) auf das Polardreieck an und kehrt alsdann mit Zuhilfenahme der bekannten in §. 16. aufgeführten Relationen zum Hauptdreieck zu- riick, so erhält man mit Leichtigkeit die folgende Gruppe von Gleichungen, welche mit jenen (74) gleichbedeutend sind, sich jedoch durch grössere Einfachheit vor denselben auszeichnen:
dargestellt In seinen Beziehungen zum Kreis. 33 99)
Sin 1(4+» 4 C)
__—l-|-Cos8j«-f-Cosłj64-Cos2^c 1 4 Cos a 4- Cos b 4- Cos c 2 Cos la Cos.)6 Cos.lc 4CosJa CosJ6Cos łc *
tgł(4 4C-B)
1 —Cos2.)a 4Cos2J6 —Cos2Jc 1 -Cosa4Cos6 — Cosc
Ih ~ ’
+ .iS
1 — Cos2la — Cos216 4 Cos’.Jc 1 — Cos a —Cos 6 4 Cos «
- T" JS? 1 ~2żą“
Sin’(B4 C— A)
_1 4 Cos2la— Cos216 — Cos2lc 14-Gosa—Cos6 —Cosc 2 Cos la Sin \b Sin 4 Cos la Sin 16 Sinic *
Sin 1(4 4 C—B)
_1 — Cos2! a 4- Cos2j6 —Cos 2’c l — Cos a 4- Cos b —■ Cosc 2Cos lóSin laSin \c 4 Cos 16 Sin laSin łc *
Sin 1(4 4-B—C)
__1 — Cos2.}a — Cos2.16 4 Cos2lc 1 — Cos a — Cosb 4-Cosc 2Cos łcSin laSin 16 4^'osłcSinłaSinl6 Es bedarf kaum der Erwahnung, dass diese Gleichungen auch aus jenen (74) §. 32. auf ahnliche Art entwickelt werden können, wie wir die Gleichungen (95) aus jenen (73) abgeleitet haben.
Werden jetzt die Gleichungen (99) durch jene (71) der Reihe nach dividirt, so gelangt man zu folgendem, mit den Gleichungen (76) gleichbedeutenden aber einfacheren System, welches auch aus jenem (98) durch den Uebergang auf das Polardreieck her- geleitet werden kann:
100) tgł(4+B4-C)
1 — Cos2la — Cos216— Cos2lc 1 4- Cosa 4- Cos6 4- Cosc
tgł(B4-C-4)
1 4 Cos2la —Cos216 —Cos2lc 14 Cosa —Cos6 — Cosc
Theil XXXIII. 3
34 Cnferdinger: Da* spkäritche Dreleck
§. 42.
Wenn man die erste und zneite der Gleictmngen (95) zu der identischen 1 =± 1 einmal addirt, dann auch davon sübtrahirt und sich dabei an die goniometrischep Formeln
.1 d-.Cosa; ?= 2Gos2ł4r, 1 — Gosa: == 2Si.n*i« . ! erinnert, so erhält man sofort folgende viér Gleicbungen:
2Cosal(a + 5 + c)
1 — Sin 2U - Sin *\B — Sinł.) Cl 2 Sin ’ J Sin .) gSin j C 2Sin 2/4Sin Jg Sin 'C
2'Sina|(a + 6 + c)
2SinMSinłgSiniC‘
— 9
2Cos2l(6 + c —«)
l-ł-SinaU-Sina)g— Sinaie+2Sin U Cos ^gCosjjg f di->.
zjl-2Sina](6 4- c—a)
J + SinaM — Sin2jg - Sin2)C—2Sin M Cos ’gCosJC’,
2Sin Cos )g CosiC li
Erinnert man sich an die goniometrischen Formeln:
1 — Cos2«— Cos2// — Cos2z + 2Cos x Cos y Cos z
= 4Sin )(«f-//+z) Sin l(//+z—x) Sin i(«+z—//)Sin i(«+y"ł^’
1—Cos2«—Cos2//—Cos2z — 2Cos«Cos// Cosz
= — 4 Cos+//H)Cos i(//+z—«)Cos l(x+z—y)Cos ’ («+^"^’
./I — J *f- X\ ;'11 x 1-j-Cos2« — Cos2//—Cos2z + 2 Cos «Cos y Cos z
= 4 Sin ’(«+^+2)Sin }Q/+z—«) Cos J(«+z—y)Cos I(«l2/"*' )’
1 -|-Cos2« — Cos2//—Cos2z 2Cos«Cos y Cos z
=—4 Cos J(«+yl2) C°s ś(2/+z—«) Sin .}(«4-z—y) Sin
. -!: ■ z /
dargestellt fn seinen Beziehungen sum Kreis. 35 und setzt in denselben
11 - linulzk
^ = S)O°-U,.y —90°-èB, x = 'JO«-ł-iCJ. „ ferner dann auch:
(101)
F'®= —Sin{45°—\(A + ß + C)| Sin j 45° — ’(ß4-f— A)\
XSin|45O-J(^+ C-J?)!Sin|45o_i(/1^7?_C)|j G'2 = Cosj45°—J(z<-|-J?4-C)|Cos|45°—C—J)| '
XCos[45° — 1(J + C- ß)|Cos|45°-;G4-|-ß_C)|;
so erhält man:
(0 - I
1 — Sin2.}zl— Sina^Z?—Sin2jC+2 Sin IA Sin JßSin\C
= 4 Cos (450- *(/l + B + C) | Sin {45° - ’ (B 4- C-J)}
XSin(45° — l(A + C— B) ]Sin| 45°—{(A + B— t?) | 4F2
~ tgl45O-f(^ + ß+6'))’
: 1 />
1 — Sin2’ A — Sin2’ B — Sin23 C- 2 Si n }A Sin ’ ß Sin * C
= 4 Sin |45°— \(A + B+ C)) Cos 145<>- J(ß+ (j-A)) X Cos; 450 — 1(A +C - B)) Cos! 45°—j (A 4- B — C)|
4ćr'2
= ctg|45«-’(^+‘^TĆ)i ’ ' ■ ¥
1 + Sin2U — Sin2iB — Sin2' C + 2 Sin ’ A Cos 3 B Cos \ C
= 4Sin{45° —J(jR-ł-C—J))Cos|45° —Q;
X Cos 1450 - \(A + C— B)) Cos 1450 — |(A 4 B - C) 1 ___________ 4G'2_________
- ctg|45° — l(ß+ C-A)}’
1 -F Sin2i4 —■ Sina3B — Sin2J C~ 2 Sin ’ A Cos * ßCos ’ C
= 4 Cos (45° — ’ (B 4- C— J) 1 Sin 145° {(j 4. 4. Q | XSin{45°— {(A + C—B) I Sin ( 45° — ^(^4. ß—C)}
4F»
3*
36 Unferdinger: Das sphärieche Dreieck
und wenn man diese Werthe in die obigen vier Gleichungen sub- stituirt, alsdann durch 2 dividirt und die Quadratvvurzel auszieht, so verwandeln sich dieselben in folgende:
(g)
Cos 1 (a6 |c) = r ■ —- F' --- ■ - _= ,
\T —Sin’ zl Sin lBStnlCtg'(450—4(^4 4 B| C)|
* _ \
Sin j(a | b | c) = —r • - --■ ■■ _ ——--- , V — Sin 1 A Sin lBSinlCctgl451’— Bf-C)]
Cos 1(6 4" c—«) = ~r---- --- ...--- • —»
V^Sin U Cos IB Cos 1Cctg; 45° — 1(Z?4- C— A) |
SinJ(6 4-c—a) — ■ > ■» F' ;
VSin i A Cosi BCos 1 Ctg!45° —1(744-C—J)|
worin die Radicalgrössen F' und G' mit positiven Vorzeichen zu nehmen sind. Hieraus ergeben sich nun folgende zwei Systenie von.Gleichungen:
(102)
Cos 1 (a 4- 6 4- c) = r--- ' - ,
V—Sini J Sin lÄSinl Ctg! 45°—l(J4-ß+C); . CosJ(6 4-c—«) = ■■ - - ■ ---,
V Sin 1^4 Cos\B Cos lCctg|45°—l(B-f C-—A)\
Cos )(a 4-e—6) = —■ ■ —■» ■ ■ — --- -- ■ , V Sin IB Cos 1JCos ICctg 145°— KJ-f-C—B);
Cos](a4-6—■■ ■ — ■■ ;
V SinlCCoslJCoslÄctg!450—4(J4-ß—C)) (103)
Sin ’(a | 64-c) = ---— ,
V —Sin i A Sin IBSin ICctg] 45°—’(J4-B4-Ć);
Sin 1(6 4-c—a) = ■ .. . F'
VSin 1JCos4#CosiCtg|45° — j(B4-C— Â) f’
Sin l(a 4- c-6) = -7... ... ... F' ■ ,
V Sin\B Cos i A Cos J Ctg 145°— J (A 4 C— B) | Sinł(a 4- 6-c) = ...■ ■ F>---_ .
V Sin 1 CCos U Cos IB tg 1450—1 (44 4- B— C) I
dargestelll In seinen Bniehungen »urn Kreis. 37 und dtirch Division, wenn man
(104)
i'a = - tg 145«- JM + Ä 4- C) | tg [ 45« - ’ (B + C- A) I
X tg i 45«- {(A + C—B)) tg(45° — ?(A + B- C)}
setzt:
' ,, < 8i (a4.«ł<,) = -!Łl<y-iyB-bQI,
„„„ ysi(6 + c_",= tg|«»-,(B+C-J)|’
(105) <
I tgU«+ «-&)= tg;45« - JM + C—B)|’
♦ g 1 (« + b—c) = tg|45o_)(/1+ß_C)| ’’
in welchen letzten Gleicbungen die symmetrische Radicalgriisse L' ebenfalls mit positivem Vorzeichen zu nehmen ist. Werden dieselben mit einander multiplicirt und setzt man dabei:
(106)
ix*= tgj(o + 6 + c)tg<(6 4-c — a)tgj(« + c— 6)tgJ(a + 6 — c) go folgt:
(107) L1 = -tg|45«-jM + B+C)], und durch Verbindung dieser mit der ersten in (105):
L, =____ h______
tgl(« + 6 + c)
l)ie erste dieser beiden Gleicbungen gibt die symmetrische und stets ais positiv zu nehmende Radicalgriisse Lt, ausgedriickt durch die drei Winkę!, die zweite gibt die symmetrische und stets ais positiv zu nehmende Radicalgriisse L', ausgedriickt durch die drei Seiten. Wenn man bedenkt, dass —tg|45°—J(4-|-Z?4-C)|
= tg]sist, ersieht man, dass die Gleichung (107) von der Formel Lhuilier’s zur Berechnung des spärischen Excesses nicht ver- schieden ist, denn sie geht alsdann Ober in:
(109)
tg Je = Vtg K« + 6 + c) tgi(6 + C — n)tgl(a + c —Ó)tg{(a + b—c).
Die ersten zwei der Gleichungen». (99) lassen sich auch so schreiben:
n --‘A | L)
Cos|90°-i(^+B + C)) =
L Kń. -C' • '
—] | Cos2.)« 4 Cos2)6 4 Cos2Jc 2 Cos .‘aCos ’6Cos ,)c
2 Cos )aSinJ6Sin.Jc
Durch direkte Anwendung der gonionietrischen Transformations- Formeln (e), indem man # = )«, yz='tb, z — \c, ferner auch
(HO)
Fi2, = Sin)(« 4 6 4 c) Sin J(6 4 c—a) Sin } (a 4«—6) Sin) (a 46—c), G\2 = Cosi(a 464c) Cos 4(6 4 c—«)Cos\(a 4 c — 6) Cos ](a 46 — c)
«etzt, verwandeln sich die obigen vier Zähler der Reihe nach in Cos(90O-J(»+ C-^)] = l± Cos2)« — Cos2)6 — Cos21 c.
2 CosJa Sin )6 Sin Jc
und wenn mąn diese zu der identischen 1 = 1 einmal addirt und einmal davon abzieht und bedenkt, dass
1.4 Cos# = 2Cos2)#, 1 — Cos# = 2Sin2#
ist, so ergeben sich folgende vier Gleichungen:
2Cos2!45°— J(J + B+ C)|
_ 1—Cos2) a—Cos2.) 6—Cos2,)c—2Cos}«Cos2ÓCos )c 2 Cos )a Cos ,)6 Cos )c
2Sin2(45°— KA + B + C)
1 —Cos2)q — Cos2)6 — Cosł)c4-2Cos )aCos .16 Cos )c
2Cos)«Sin)6Sin Je ’
2 Cos2 i 45° — >(Zf+ C— J)|.
1 +Cos2)a — Cos2)6 — Cos21c4 2 Cos Ja Sin J6Sin )c 2 Cos Ja Sin )6 Sin Je
2Sin2{45° — )(7? 4 C— A)}
1 4 Cos2)a — Cos2) 6 — Cos2)c—2 Cos Ja Sin )6 Sin le
dargeUelll in seinen Beziehungen tum Kreit. 39 4fia,
______4£1\^________
ctgl(a 4 b + c) ctg J(6 + c—a) ’ ______ 4F,2___________
tgi(« + 6 + c)tgl(6 4-c — a)’
denkt nian sich diese viér Werthe in die obigen vier Gleichungen substituirt, alsdann durch 2 dividirt und allenthalben die Quadrat- wurzel ausgezogen, so folgt:
(h) Cos;45«-’(J 4-^ + 0) =
Sin|45°—| C)|
Cos|45°- >4(B |-C-A)| = fi
V cosiasini6sinicctg4(«4-64-c)ctgl(64:'C— a)’
Sint45"-1(B4-C-J) 1 = ~f---7-; . , ,|, f? -V cos I«sin,6sin^ctgl(«4 64c)tg](64-c—a) in welchen vier Gleichungen, stf wie in dèn folgenden, die sym- metrischen Kadicalgriissen Fit Gt mit positivem Vorzeichen zu nehmen sind. Aus diesen ergeben sich sofort folgende zwei Systeme:
(Ul)
Cos|45°-’(A4-B4- C)|
________fi .______
V Cos ’aCos Ib Cos Je
Cos|450->(ß4-C-A)|
fi
VCos;«CosióCos)cctg;(?+6 4-c)ctgl(6 + c—a)’
Cos{45°— ’(^4-C— B)|
_ ___________ fi
VCos Ib Sin ia Sin [c ctg [(a +~6 + c) ctgi(<Tfe^6) ’ Cos!450-i(^4-B-C)
_ __ _________________ fi_______ _____
VCosjcSin Ja Sin 16ctg ’(a + 6 4-c)ctg Ua + Ó^^c) ’
40 Vnferdinger: Daa sphdrische Dreieck
40 Vnferdinger: Daa sphdrische Dreieck