Sin BSinCCosi(4 4 B4-C) - [ Cos A = Sin(S-

[ Cos A = Sin(S-

Sin 4 Sin BSinCCosi(4 4 B4-C)

_14-Cos44-CosB—CosC , Cos’(4 4- B 4- C) 4Sin.)C’Cosi4Cos '~B ' 2CoslCSin.f4Sin}B '

Bezeichnet d' die spharisebe Distanz des Mittelpunktes des

§. 69.

dargestellt in seinen Bezie hungen zum Kreis. 73 dem Polardreieck von ABC umschriebenen Kreises von dem Mit- telpunkte des demselben Dreieck eingeschriebenen Kreises und di die sphärische Distanz desselben Mittelpunktes von dem Mit- telpunkt desjenigen äusseren Beriihrungskreises, welcher an der Seite a' liegt, s<» können diese Distanzen d', dx' aus den je zvvei ersten der Gleichungen (150), (152), (154) offenbar dadurch be- stimmt werden, dass nian alle in den zweiten Theilen derselben vorkommenden Buchstaben mit Strichen versieht. HJ' und 717/

bezeichnen alsdann das, was aus M und 717, in (151), (155) «ird, vvenn nian auch hierin a', b', c' an die Stelle von a, b, c und A', B', C an die Stelle von A, B, C setzt. Um dann diese Distanzen durch die Bestandtheile des Hauptdreieckesauszudriieken, bedient nian sich wieder der bekannten Relationen zwischen den Seiten und Winkeln des Haupt- und Polardreieckes (§. 16) und erhält mit theilweiser Berücksichtigung der Resultate des §. 21.

sofort:

(e')

1 (4Cos2^Cos2jBCos2jC 4CosUCos>BCosjQ

tg « — I H'* + (os4(J|/7+ C) >’

QI1 1 (4Cos2J/lCos2.\ßCos2.)C 4Cos J^4Cos JBCos iC/

‘g </l = JĄ72 | H'2 + C08>(ß+C-J) 1 5

1

„„ 1 | Sin2.'(n |7> |-c) Sin J(« + 6-|-c) / 'g « —]U'2 I J]2 SinjaSinJÓSin jc J ’

2 7 '__J_ |Sin8K«-ł-6łc) , Sin,)(u|6 l-c) t . 1 717,'9 ( 77,2 (h') Siii-laCosidCosJcj ’ M' =2SinlASinJBSiiiiC+Sin’(^+B+C)|l-2-^^^~^|,

J/,'=2Sin4 JSinJBSin’ C-Sini(B+ C-A) ( 277,2

(i')

Sin a Sin b Sin c Sin | b -f- c)

— I +Cos2laJ Cos2)6 bCos2’c Sin.*(« + b + c) + 2CosiaCo«.16Co»ic ‘‘2SiniaSini6Sinjc’’

277,2

M f /_ ______1 --

----2CosłaSinj6Sinic

74 Vnfer ding er: Das sphârische Dreieck

Die Ausdrücke för die Distanzen rfa', ds', so wie die zuge- hörigen Hilfsgrössen J/a', Ma', welche sich auf die Mittelpunkte der an den Seiten b', c' liegenden äusseren Beriihrungskreise des Polardreieckes beziehen, könnten unmittelbar nach deni Vorher- gehenden hingeschrieben werden. Da aber die genannten Hiifs- grössen in der Folge gänzlich aus unseren Reclinungen heraus- fallen und durch andere einfachere und direktere ersetzt werden sollen, so begniigen wir uns mit der Aufführung des aus den Gleichungen (f') folgenden Systems:

(k')

tgłr-2tgrtgg 8 “ (tgrtgpJ/T ’

,_<g2n+2tgr1tg^

8 1 “ (tgrjgg^'F ’ ' «g%4-2*gM gg 8 2 ~ (tgratge21fa')» ’ f „a,7 ' _ tg2r» + 2tgr» tg (?

8 1,3 ~ (tgr.tgfM,5)* ”’

auf welches wir später wieder zurückkomnien werden.

§. 70.

Wenn wir niit <\, S2, <53 die Entferniingen des den> Haupt- dreieck ABC eingeschriebeneii Kreises von den Mittelpunk- ten der den drei Nebendreiecken umschriebenen Kreise bezeich- nen, so können diese Entfernungen offenbar nach den Gleichungen des §. 07. bestirnmt werden, vvenn nian die drei Nebendreiecke der Reihe nach als Hauptdreiecke und das Hauptdreieck als ihr genieinschaftliches Nebendreieck betrachtet. dx, d2, d3 werden also übergehen in 3lf S2, <5S, wenn man statt

6, c, T, Qi’

JA

setz.t: b.,

n, e,

^M,,

c, r, Qi’ ⁹⁹ «1» q»

e,

a, b, r, (?3 > 71/3 99 «i» rs,

e,

^3,

wobei M,, Ma, M3 diejenigen Werthe bezeichnen, in welche JĄ, J/a, J/3 übergehen, wenn man bt, ct; a,, c,; , 6, an die Stelle von b, c; a, c; a, b setzt, wobei, wie inimer, «, = 180° — «, 6, = 180°—b, ct = 180°—c ist. So erhält n>an aus den Gleichun

gen (152) und (151):

ilargestelll in seinen Betiehungen %um Kreis. 75

(iw) j >gs=!s^y^,-si,

tg«-fe+2tg»-3tge.

' V 8 3 Ms2 ’

M1=2CosłaCosł61Coslcl — Cosl^-j-cj - a)(l 2SinJ«Sini61Sinic1 Sin 1(6, + c, — a) oder

(157)

Mj = 2 Cos la Sin 16 Sin ’c + Cos l(a+6+c) 11 - Éff"Ccsł6 Cos Śc, Sin j(a + 6 + c) ebenso

M. = 2 Cos Ib Sin 1« Sin ic + Cos ł(a+6+c) (t CoslaCos lę Sin l(a + b + c) M,=2Coś lc Sin la Sin 16 + Cos l(a+6+c) 11 _2 SinJcCoslaCosłó

din£(a + 6-f c) ’ Denkt man sich iiber die Gleichungen (156) noch die erste des Systems (152), nämlich die:

(152) tg2<Z tg2r —2tgrtgg

— J72

gesetzt, und vergleicht die zweiten Theile dieser vier Gleichungen mit jenen (k'), so bemerkt man, dass sie sich der Reihe nach nur in den Nennern von einander unterscheiden. Kiinnte man also beweisen, dass

S

2W = tgrtgpJ7', M1 = tgritg?Jfl',

Ma = tgratgp71fa', M3 = tgr3(gpJ/3'

ist, so wiirde daraus auch die Gleichheit der ersten Theile der genannten Gleichungen, folglich auch, dass

(158) d' = d, ^,' = <5,, rfa' = óa, d3' = S3

ist, folgen. Mit Riicksicht darauf, dass jedes Dreieck das Polar- dreieck seines Polardreieckes ist, kiinnte man alsdann noch wei- ter schliessen, dass

76 Vnferdinger: Das sphärische Dreieck (159) d = d', dl=6l', d.1=S.1', d3 = S3' ist, und man hätte folgenden merkwürdigen

Lehrsatz.

Die Entfernungen des Mittel pu n k tes des eineni sphärischen Dreieck umschriebenen Kreises von den Dlittelpunkten seiner vier Berülirungskreise sind der Reihe nach gleieh <1 en correspondirenden Entfernun

gen des Mittelpunktes des dem Polardreieck einge- s c h r i e b e n e n K r e i s e s v o n d e n M i 11 e I p u n k t e n d e r d e m Polardreieck und seinen drei Nebendreiecken umschrie

benen Kreise, und umgekehrt.

Indem wir nun zu dem Beweis der Gleichungen (l'), welcher uns erst in den Besitz des vorstehenden Lehrsatzcs bringen kann, iibergehen, bemerken wir, dass es nnr nothwendig und schon hin- reichend ist, die ersten zwei derselben zu veriticiren, indem die dritte und vierte Gleichung dieselbe Relation wie die zweite Glei- chung ausspricht, nur in Bezug auf je eine andere Seite des Dreieckes ABC.

§• 71.

Beweis der Gleichung = tgr tgpj/' oder, wenn man für 3/ und AJ' die Werthe aus (151) und (i') setzt, dabei bedenkend, dass

‘2Sin .JoSin 16 Sin .}c

*g r ■ tg e — —s 4-6 4-c) ist, Beweis der Gleichung:

, r i/ . ä ■ . 2Sin!«rSinJ6 Sinic 2CoslaCosl6Coslc— Cosl(a-|-6 + c)l 1 4---- ™ .

■■■:—r-Slll 1(« + 6 + c) _ Sin 1(6 c — a) Sin \(a 4- c — 6) Si n 1(« | 6 — c)

2Cos l«Cos 16 Cos lc Siń l(a 4-6 4- c)

— 1 4- Cos2la 4- C'os2!6 4- Cos2.]c ‘2Sin 1« Sin 16Sin lc 2CoslaĆosl6Coslc ' + Sin 1(« 4- 6 4- c) Wir Rihren den Beweis durch Transformation beider Theile der Gleichung, das sich zu beiden Seiten als gleich ergebende jedesmal weglassend, bis wir zu einer identischen Gleichung ge- langen. Um diese Transformation ausfiihren zu können, sind einige vorbereitende Rechnungen nothwendig. Setzt man zur

(largestelll in seinen Betiehungen zum Kreis. 77 Abkiirzung Sin l(a -|- b -f- c) — x, so ist mit Rüeksicht auf die Glei- chungen (15) §. 11.:

Sin \(b -f- c — «) = z/ + zf3 — At = 4 2z/ — 2zĄ, Sin J(a 4- c—6) = z/ + +^3 —z/2 = ;r 4- 2z/ — 2z/2, Sin K« + 6 — c) = zf -|- zĄ 4- z/2— z/3 = a?4- 2z/—2z/s;

folglich :

(m') Sin l(b Ą- c — a) SinJ(«4- c — b) Sin ł(a 4~ b — c)

= — x(x 4 2 z/)2 4- 4( z/j z/2 4- zĄzĄ 4- z/.2 d3) (x 4- 2z/) — 8z/, z/2z/3, worin man, weil

zĄz/2zf3 = Sin Ja Sin 16 Sin [c (Cos Ja Cos 16 Cos Jc)a ist, statt z/j z/2z/3 auch z/zf2 setzen kann.

Ferner ist

AxA.t = (Cos la Cos \b Cos Je) (Cos lc Sin 1 a Sin 16), z/jz/3 =(Cos la Cos 16 Coslc) (Cos 16 Sin la Sinic), z/2z/3 = (Cos la Cos 16 Coslc) (Cos la Sin 16 Sin lc);

und wenn man diese drei Gleichungen addirt, dabei auf die in

§. 32. eingefiihrte, schon iifter mit Vortheil vervvendete Bezeich- nung achtet, so erhält man:

z/jZ/2 4- Ax Az 4- z/2z/3 = z/'{ z/' — Cosl(a 4- 6 |- c) |, und hierans folgt:

(n')

Fiihren wir nun, unter Anwendung der Gleichung (m'), die Buchstaben z/ auch im zweiten Theil der zu beweisenden Glei

chung ein, so gewinnt derselbe folgende Gestalt:

— x (x 4- 2z/)2 4 2zf 12 A' — 2 Cos ł(a 4- b 4- c) 1 (x 4- 2zf) - 8zf z/'2 2z/'.r

— 1 4- Cos2la 4- Cos216 4- Cos2lc „ , 2J%

+ ——-oj'

das erste Glied dieses zweigliedrigen Ausdruckes ist auch gleich

78 Unferdinger: bas sphârische Dreieck

welchen Werth man sich an dessen Stelle gesetzt zu denken hat.

Soli nun die behauptetę Gleichung richtig sein, somuss, weil der erste Theil offenbar gleich

2z/' — Cos J(a + b + c) (1 + ist, folgende Gleichung identisch erfiillt sein:

- Cosł(«+6 f C) +=I±C^a-+j^6 + Cos^c = o,

oder auch, wenn man mit 2z/' multiplicirt:

—a:(x+2z*) —2zf' Cos l(a + 6+c) — 14-Cosal«+CosaJ64-Cos*lc=0.

Den Beweis fur diese letzte Gleichung kiinnen wir auf fol

gende einfache Art fiihren:

Es ist = + z/a4-z/3—z/, folglich :

^=2^+z/a4+zfs4-2J(z/i +2(^+2/» 4,4-^24>);

setzt man in die letzte Gleichung statt x und a:2 diese Werthe, ebenso für 2z/' Cos\{a 4- b + c) seinen Werth aus (n'), so er- hält man:

-2(4

44 ’44’+Ja) + 42/(2/!+^,+

-4 zf( Ji + zf2 +J3) 4- 4(zfj z/3 + zf2z/s) + 4z^

—4J'a

— 2(1 — CosaJa — CosaJ6 — Cosa£c) =0 oder

zfa— z/,a—z/2a - z/3a - 2J'a — 1 — Cos2'a - Cosai6 - Cosa;c, und diese Gleichung ist ais identisch leicht zu erkennen, deim man hat:

zfa =Sina’aSinai6Sina4c =(1 —Cosala)(l —CosaJ6)(J—Cos2ic),

^Ła=Sina.laCosai6Cosaic=(1 — Cosała) Cos2] 6 Cos2lc, zf2a = SinaJ6Cos2iaCosałc = (l —CosaJ6)CosaiaCos2Jc, 4>a=SinaicCosaiaCosaJ6=(l — CosaJc) Cosa]a Cos2]6 oder

dargestelll in seinen Beziehungen zum Kreis. 79 z/® = 1 —Cos2)a — Cos2ió — Cosaic

2 Cos iaSin Ib Sinic ' Sin i(a 4~ 6 4~ c) ’’

Vertauscht man in dem Producte

(J 4- A 4-A—A) (^4-A + A—A) 4-A + A—A) zt mit —A> also —mit A» so änclert sich dasselbe nicht, denn der erste Factor bleibt absolut derselbe, der zweite verwan- delt sich in den dritten, der dritte Factor in den zweiten und beide ändern gleichzeitig das Zeichen. Da nun ferner

a: = A + A + A—

bei dieser Vertauschung ebenfalls ungeändert bleibt, so kann man dieselbe auch im zweiten Theil der Gleichung (m') vornehmen, 4- (Cos2l«Cos216 4- Cos2iaCos2ic + Cos2i6 Cos2ic)— z/'2, zĄ2=Cos216 Cos2Jc - z/'2,

A2 = Cos2J« Cos2ic — A2, zf32 = Cos2]aCos2i6 — z/'2;

werden nun die letzten drei Gleichungen addirt und die Summę von der ersten subtrahirt, so folgt unmittelbar:

J2 - A2—A2 - A3 = 1—Cos2ia — Cos2ł6 - Cos2’c + 2 A2, womit also auch die am Eingane dieses Paragraphen aufgestellte Gleichung bewiesen ist.

§• 72.

Beweis der Gleichung Mj =tgrj tgpJf]' oder, wenn fur Mt und yl/j' die Werthe aus (157) und (i') gesetzt werden, dabei heriicksichtigend , dass

2 Sin i« Cos\b Cos\c tgri Sin J(a 4-6 + c) ist, Beweis der Gleichung:

1 a- i/c- i . r iz , z, 2Sin \a CosJÓCoslc 2 Cos )a Sin !tb Sin ic 4- Cos U a 4- b 4- c) {1 — ■■ ^,7—^—

&ini(a4‘O4’C) _ Sin )(6 4- c — a) Sin ](a 4- c—6) Sin i(a 4- b — c)

Sin i«Sini6Sin icSin.)(« 4- b 4- c)

1 +Cos2Ja — Cos2.)6—Cos2)c 2Sin)aCosi6Cosic

80 Vnferdinger: Das sphärische Dreieck

ohne die Gle'nhheit mit dem ersten Theil, welcher obigem Pro- ducte gleich ist, zu stören, und nian erhält sofort auch:

(o') Sin 1(6 + c — d) Sin l(a 4- c— 6) Sin J(« -|- 6 — c)

= — x(x — 2z/, )2 4 4 (AA2 4- AJ3 — z/2z/3) (x—2z/,) 4- 8 A A2A3, worin man, weil

AA.3A3 =. (Sin Ja Cos 16 Cos \c) (Cos laSin 16 Sin lc)2 ist, statt AA3A3 auch AlA"‘1 setzen kann.

Ferner ist

AAt =(CoslaSinl6Sinlc)(CoslcSinlaSinl6), AA3 = (Cos la Sin 16 Sin lc) (Cos 16 Sin la Sin lc), A2A3 = (Cosla Sin 16 Sin .Je) (Cos la Sin 16 Sin Jc);

werden nun die zwei ersten dieser Gleichungen addirt und hier- von die dritte subtrahirt, so sieht man leicht, dass

AA%4~ AA3—A^A3~=z — A"\A" + Cosl(a 4-64-e)) ist, woraus folgt:

Mit Hilfe der Gleichung (o') erhält der zweite Theil der zu be- weisenden Gleichung leicht folgende Gestalt:

—x(x—2At )2 - 4 (AAt 4- AA3 - A3A3) (x—'2Al) 4- 8Ax A'"* 2A"x

das erste Glied dieses zvveigliedrigen Ausdruckes ist vermöge der Gleichung (p') aych gleieh

— x (x - 2At )2 4- 4 A" I z/" 4- Cos 1 (a 4- 6 4- c) | —2z/,) 4- 8z/, z/"2

(lA"x '

— x(x — iA^2 + 4z/"2j:4“ 4z/"(.r — 2z/,) Cosl(a 4- 6 4 c) 2Ä

= 2z/" - (1 (x-2z/,)-2Cosl(a 4-6 4-c) | ,

und diesen Werth hat man sich an die Stelle jenes Gliedes ge- setzt zu denken. Soli nun die behauptete Gleichung richtig sein,

(largestelll in seinen Beziehungen sum Jireis. 81 so inuss offenbar, das ohnehin Gleiche der so translormirten Glei- chung auf beiden Seiten weglassend, folgende Restgleichung identisch erfiillt sein:

2z/j) 4- CosJ(a-ł-6+c) +

oder wenn man mit multiplicirt und das letzte Glied trans-portirt:

x(#—2zĄ) —2z/"Cos!(a 4-6 4- c) = l 4 Cos2! a— Cos216—Cos2!c, oder wenn man ftir Cos !(a 4- 6 4 c) seinen Werth aus (p') setzt:

x2— 2z/]a: 4-2(^',a4-^^24-^^3—^2^3) = l-fCos2.]«—Cos2!6—Cos2!c.

Wenn man bedeukt, dass — /i, also a:2=z42ł-^l2+z/224-z/32-2(z/z/I-z/1z/2-z/1z/3)-2(z/z/24-z/z/3-z/2z/3), so gebt der erste Theil der zu beweisenden Restgleichung nun iiber in:

^24- zĄ2+ zV4- ^32-2(Jz/l-z/1z/2-^I J3) -2(z/z/24-z/z/3-z/az/3)

- 2(z/, z/2 4- z/j z/3 — z/z/, ) + 2(z/z/2 4- z/z/3-z/g J3)

—2z/!2

* » 4-2z/"2,

und wenn man hierin reducirt, so erhält man mit dem zweiten Theil in Verbindung folgende zu beweisende Gleichung:

z/2-zĄ24- z/22 4-z/324-2z/"2 = 1 4-Cos2!« —Cos2!6 —Cos2!c. Da nun nach dem Schluss des vorigen Paragraphen :

z/2—z/,2=l—Cos2!«—Cos2 J6— Cos2!c4-Cos2l«Cos2!64-Cos2!aCos2!c,

•^2a4-^32= Cos2iaCos2i6 4* Cos2!aCos2!c— 2z/'2 ist, da ferner

z/"2 = (Cosią Sin !6SinJc)a = Cos2!a(l — Cos2!6)(l —Cos2£c) oder

2z/"2 = 2Cos2!« — 2Cos2!a Cos2! 6 — 2Cos2’«Cos2!c 4-2z/'2 ist, so iiberzeugt man sich leicht durch directe Substitution, dass der erste Theil obiger Restgleichung mit dem zweiten identisch ist, woinit also auch unsere Ausgangsgleiehung bewiesen ist.

TlicilXXXIII. 6

82 Unferdinger: Das sphärtsche Dreteck

§• 73.

Da nunmehr die Giltigkeit der Gleichungen (l') sich bewahr- heitet hat, so gelten auch die Gleichungen (158), (159) oder der durch dieselben ausgesprochene am Schlusse des §. 70. aufge- führte Lehrsatz. Die Gleichungen (k') gehen sonach über in:

tg’d'

(160)

. 2 > /—łs2ri + 2tsri tg - Mi

tg2f/2/ = ?S% + 2tgr^, 1112

t„2,7 / _ tg%-l-2tg»tgg.

tg "3 “ M3

so dass also zur Berechnung der 14 Distanzen d, d'; tZj, <5i';

d3, S3‘; öt, d^-; <5a, d^; S3, d3 , welche paarweise ein- ander gleich sind, nur die Bestimmung der 7 Hilfsgrössen JU, J71(

7l/3, M3, M2, 1\I3, welche überdiess durch die aus (157) leicht nachweisbare Relation

(161) J7=M14Mj! + M3

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