nach Ermittelung des Ausdrucks fiir den Rauminhalt oder fiir das statische Moment des Kiirpers die Einfiihrung der Inhalte

zusammenhängenden Umfläche

2. nach Ermittelung des Ausdrucks fiir den Rauminhalt oder fiir das statische Moment des Kiirpers die Einfiihrung der Inhalte

der Grundebenen und passlicher Zwischenschnitte an die Stelle des Abstandes a oder 6 und der Coefficienten der Function des Querschnittes.

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126 Malika: Zur Bestimm. der Rauminh. u. Schwerpunkte ton Klirp.

Sei nun der Quersehnitt Q, wie hier durchvveg vorausgesetzt werden soli, eine ganze algebraische Function seiner senkrechten Entfernung x von der Standebene ®, nemlich

(1) Q = ^m+Ban+GrP + ....,

mit der Annahme, dass die Exponenten m, n, p,.... beliebige reelle positive Zahlen seien. Dann ist (nach 1.)

folglicb, weil allgemein fxrdx=~^± Const. ftir positive r ist, Z

(2)

F = -jTi (* m+1 “«m+1) + ,7^1 ~«"+1)+j^(óp+1-«p+1) +...,

(3)

.. v A">t2—2 6"+2 — a»+2 6p+2-«p+a

m 4-2 + w4-2 p4-2 +—•>

mit der stäodigen Beziehungsgleichung

(4) 6 — a = A.

Hat man demnach den Ausdruck (1) des mit x wandelhaften Querschnittes Q aus der Bildungsweise (Ćónstruction) des Kiir- pers, mithin nebst den Exponenten m, n, p,.... auch die Coef- ficienten A, B, C, .... aufgefunden; so wären nur noch zwei der Abstände a, b, h,.... anzugeben oder zu ermitteln, um danach V, VX und X zu berechnen. Gewöhnlich bedingt man jedoch, es seien die Grundebenen g, G nach ihrem Flächeninhalt mit ihrem beiderseitigen Abstande h und sonstige Mittel- oder Zwischen- schnitte M, M',.... in den Abständen ph, p'h', .... < A VOn der Grundebene g bekannt, so dass danach die Bedingungsgleichun- gen gelten :

(5) g = Aam + Ban 4 Car 4-....

•zwiscken t,wei Parullel-Ebenen u. einer ausawnien/iiliig.tmlldche. 127

(6) G — Abm 1 Bb" + CbP + ...., (7) J/ = J(a -f- f*7i) m 4- /?(« 4-f*A)" 4-...

M' — A (a -f- J- Ii (a + a'h)n 4-....,

Nach diesen Gleichungen (4) bis (7) wird man daherdie Abstände u, b und die Coellicienten A, B, C,.... durch die hliihe h und die Schnitte g, G, UJ, M'... ausdriicken und ihre Ausdriicke in jene von V und VX einsetzen. Natiirlich wird dieser Vorgang nach der Anzahl der im Ausdrucke von Q vorkommenden Glie- der sich modificiren (abändern), und mag hier, bei der allgemein- sten Lagę der Standebene ©, bios an der eingliedrigen Form von Q erläutert werden.

Ist Q eingliedrig, also

(8)

Q — Ax m,

so ist

(9) T7 ^bm+l — a"‘+l V-- A ■ 1" ' y

7/4 4 A (10)

A"‘ | 2— am l 2 PX=A m 4

-(ID g — Aam,

(12) G — Ab'“,

und aus den zwei letzten Gleichungen, verbunden mit der Gleichung (4), sind a, b, A durch h, g, G auszudriicken, was sich, wofern wir den Fali, wo m=0, also Q= A, und der Körper ein Prisma oder Cylinder ist, ais zu ciulach iibergehen, wie folgt bewerk- stelligen lässt. Aus (11) und (12) folgt, nachdem man daraus die wite Wurzel gezogen hat,

J_______ JL — b—a = h VA Vg \/G VG—Vg

wonach sich A, a, b ausdriicken liessen. Anstatt aber ihre Aus

driicke sogleich in (9) und (10) einzuschreiben , multipliciren wir in diesen mit A, ersetzen Aam, Abm durch g, G und tragen end- lich die Ausdriicke fur a und b ein, wonach wir erhalten:

\_2S -Uatzka: Zur Bestimm. der Rauminh. u.Schwerpunkte ton Körp.

(U)

ni m

A GVG—gVg

~ «4-1’ ’

VG — Vg

m m

(15) A2 GvG2-gVg2

m + 2 m + (yG-Vg)2m

Ist insbesondere m eine ganze Zahl, wie meistens, so kann man in (9) und (10) den Factor 6 — a—h immer, und da, wo der Exponent gerad ist, sogar ó2 — a2=(6-|-o)A herausheben; man tindet sonach:

V — zl/i (6m + « + 6">-2a2+....+6a’"-1 + am),

nnd wenn m-f-l gerad und >2, also m ungerad und >1 ist,

= —^1(6+a)(6m-14-6n,-3a24-6m-8a4+....+ a’”-1);/f/t

terner das auf die Standebene ® beziehliche Moment:

VX — ~~^~2 (bm^ 1 +

« + ó”1-1 a2 + .... + 6a,n + am+1), und wenn z«+‘2, also auch m gerad ist,

= —j-Ę (b + o) (bm + bm~2a2 zlA A™—4«4 + . .. 4- am), Ul -f- z

und sonach, wenn xl=X— a den Abstand des Schwerpunktes des Körpers K von der Grundebene g bezeichnet, das auf diese Grundebene g bezogene Moment:

v^=vx~ Fa=Ah ^bm+1 -bma-bm-lal

^bam—am+1

(«4-1) (ot 4-2)

oder weil der Zähler fur b — a verschwindet, also durch b — a = h theilbar ist, auch

JA2 m -f- 1

(n?4 I )bm 4- móm_1 a 4- (m—1) A™-2 a2-f-....-ł-'2bam—1 4- am m 4-2

Iii diesen Ausdriicken schreiben wir gemäss (13):

dann wird:

und wo nöthig amEndenoch

A VG—\/g

Mtschen zwel Parallel-Ebenen u.einer zusaminenhdng.Cin/ldche. 129 z m______ m

(16) r~ 7m~i<G+^Gm~la + +....+g) und fur ungerade m > 1 :

h rn in m____ m________™____________rn

~^+l(vG+Vff)(y

G'»-1+V' +V^Ä=I),

m m m______ m

Erstes Beispiel. Fiir m=l ist Q=AX, also v~h G+g vx— -- G* + Gff+g*

' -A^~-, JA- 3 G_g ^Vxt ^_h^*^2d ^{+ g}

~ 2 3 ’ v_2. G^+Gg + g^ _h2G+g

— G*-g* * *l~3 G + g'

Dieser Fali tritt ein: 1) bei einem vierseitigen Prisma, welches aus einem dreiseitigen, mittels eines zu einer Seitenebene G im Abstande A parallelen Schnittes g ausgeschnitten wird, wenn die Standebene <£ durch die zu G gleichlaufende Seite des drei

seitigen Prisma gelegt ist; 2) bei einem elliptischen Parabo- loid, wenn auf der Axe senkreebt durch den Scheitel die Stand

ebene (£ und an zwei urn A aus einander stehenden Stellen die Schnitte g und G gelegt werden.

Zweites Beispiel. Bei m = 2 ist Q = Ax2, daber

13().tf«/sÄ«.- Zw Bestimm. tler Batuninh. ti. SchuerpunMe ton Körp.

Diese Ausdrücke gelten ftir Pyramiden und Kegel, wenn die Standebene durch deren Spitze geführt ist.

Die Stammausdriicke (2) und (3) des Rauminhaltes und Mo

mentem eines Körpers der in Rede stehenden Gattung werden uir offenbar wesentlich v erei n fachen, wenn wir die Integrations- grenzen, mit Bewahrung ihres Intervalls (Zwischenraums) b — a = h, dermassen abändern, dass die untere entweder Null oder die nega- tive obere wird, nemlich wenn wir die Standebene <5 entweder mit der unteren Grundebene </ zusammenfallen oder durch die Mitte der Höhe h gehen lassen. Hiebei darf jÄlocli nicht verges- sen werden, dass wenn der Ausdruck des Querschnittes Q durch seinen Abstand x' von einer gewissen ursprünglichen Staudebene

®' bekannt, namentlich

Q = Ax'm + Bx'n + Cx'v 4- .... = f(x')

ist und hierbei die Exponenten m, n, p,.... fallend gereiht sind, man beziehlich einer ihm um c näheren Ebene ®, von welcher er uni x = x'—c absteht, hiernach nur x'= c + x einzusetzen haben wird, um den auf diese neue Standebene ® bezüglichen Ausdruck des Querschnittes

Q — A (c+a:)m + B (c + x)« + C(c + x)P + .... = f(c+x) zu erhalten.

Sind bier die Exponenten rn, n, p,.... nicht insgesammt ganz, so ist bei solchem ümtauch der Veränderlichen nichts zu gewin- nen, weil die Reihe der Entwickelung des Q nach Potenzen von x nicht abbricht. Hingegen wenn Q ursprünglich schon, also für was immer für eine Standebene ®', eine ganze rationale Func- tion von x' ist, wird auch sein neuer Ausdruck eine eben solche Function von x, und zwar vom selben mten Grade wie der frühere, nemlich von der Form

Q = Cmxm,+ Cm-i xm~l +.... + Qo: + Co.

Die Berechnung dieser Coefficientenreihe aus der Stammreihe A, B, C,.... kann entweder durch Ausführung der angedeuteten Potenzirungen oder bei höherem Grade (m) nach dem von mir in meiner Bearbeitung des ersten Bandes von Vega’s Vorle- sungen iiber Mathematik, 1838 und 1850, §. 286. gelehrten zusammenhängenden Rechnungszuge ausgefuhrt werden.

zwlschen zwei Parallel-Ebenen u. einer zusamtnenhdng. Umflilche. 131

A. Ziehen wir deninach zuvörderst den Sonderfall in Betraeh-

W dokumencie Archiv der Mathematik und Physik : mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse der Lehrer an höheren Unterrichtsanstalten. (Stron 151-157)