Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, a A dowolnym podzbiorem V (A ⊂ V ). Symbolem Span A oznaczać będziemy zbiór wszystkich możliwych kom-binacji liniowych elementów zbioru A o współczynnikach z ciała K. Łatwo można sprawdzić, że Span A jest podprzestrzenią przestrzeni V , a zatem następująca definicja jest poprawna.
Definicja 5.5 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, a A dowol-nym podzbiorem V . Podprzestrzeń
Span A ≡ (
v ∈ V : v =
m
X
i=1
αivi , m ∈ N , αi ∈ K , vi ∈ A )
.
nazywamy podprzestrzenią generowaną przez zbiór A, a elementy zbioru A – generatorami tej podprzestrzeni.
Uwaga:
Podprzestrzeń Span A nazywa się czasem podprzestrzenią rozpiętą na wekto-rach zbioru A albo powłoką liniową zbioru A.
Przykład:
Zbiór {1, x, x2, x3} generuje podprzestrzeń P3(K) ⊂ P(K) wielomianów stopnia co najwyżej trzeciego:
Span {1, x, x2, x3} = P3(K) .
Definicja 5.6 Podzbiór B ⊂ V przestrzeni wektorowej V nad ciałem K nazy-wamy bazą przestrzeni V jeżeli:
i) B jest liniowo niezależnym układem wektorów, ii) Span B = V .
Uwagi:
1. Baza przestrzeni liniowej V jest maksymalnym układem wektorów liniowo nie-zależnych tzn. dołączenie do niej dowolnego wektora czyni z niej układ liniowo zależny.
2. Przestrzeń zerowa {Θ} nie ma bazy.
3. W oparciu o aksjomat wyboru można udowodnić, że każda niezerowa przestrzeń wektorowa ma bazę.
4. Przestrzenie niezerowe mają nieskończenie wiele różnych baz.
Przykłady:
1. Układ wektorów
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0) e2 = (0, 1, 0, . . . , 0)
...
en = (0, 0, 0, . . . , 1)
jest bazą w przestrzeni Kn. Nazywamy ją bazą standardową tej przestrzeni.
2. Nieskończony układ jednomianów
1 , x , x2 , x3 , . . . jest bazą w przestrzei P(K).
3. Nieskończony zbiór ciągów {ej}∞j=1 gdzie ej =δjn ∞
n=1 , j = 1, 2, 3, . . .
nie jest bazą w przestrzeni K∞ bo nie jest spełniony drugi warunek definicji bazy. Zbiór {ej}∞j=1 generuje w K∞ podprzestrzeń właściwą wszystkich ciągów skończonych.
Twierdzenie 5.5 Niech B będzie bazą w przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Każdy wektor v ∈ V można przedstawić w postaci linowej kombinacji ele-mentów bazy :
v =
n
X
i=1
αiei , n ∈ N , ei ∈ B , αi ∈ K .
Przedstawienie to jest jednoznaczne.
Dowód: To, że każdy wektor v ∈ V można przedstawić przy pomocy kombinacji liniowej elementów bazy B ⊂ V wynika z warunku ii) Def.5.6. : Span B = V .
Załóżmy, że wektor v ∈ V ma dwa rozkłady w bazie B:
v =
n
X
i=1
αiei = α1e1+ α2e2+ . . . + αnen
v =
n
X
i=1
βiei = β1e1+ β2e2+ . . . + βnen
Wtedy
Θ = v − v =
n
X
i=1
αiei −
n
X
i=1
βiei =
n
X
i=1
(αi− βi)ei
a ponieważ (na mocy warunku ii Def.5.6.) wektory e1, . . . , en są liniowo niezależne to α1− β1 = α2− β2 = . . . = αn− βn = Θ
skąd
α1 = β1 , α2 = β2 , . . . , αn = βn . • Definicja 5.7 Kombinację liniową elementów bazy, o której mowa w Tw.5.5 nazywamy rozkładem wektora v w bazie B, a współczynniki tej kombinacji współrzędnymi wektora v w bazie B.
Uwaga: Ponieważ współczynniki αi ∈ K rozkładu wektora w bazie:
v =
n
X
i=1
αiei
są wyznaczone jednoznacznie przez wektor v wygodnie jest oznaczanie ich symbolem wektora z górnym indeksem:
v =
n
X
i=1
viei .
Twierdzenie 5.6 Jeżeli układ {e1, . . . , en} jest bazą przestrzeni V , a układ {f1, . . . , fn} wektorów przestrzeni liniowej V jest liniowo niezależny to układ ten jest także bazą w przestrzeni V .
Dowód: Należy wykazać, że jest spełniony warunek ii) Def.5.6:
V = Span {f1, f2, . . . , fn} . Ponieważ f1 ∈ V , a układ {e1, . . . , en} jest bazą, to
f1 =
n
X
i=1
αiei = α1e1 + α2e2+ . . . + αnen
Z niezależności liniowej układu f1, . . . , fn wynika, że f1 6= Θ. Zatem co najmniej jeden ze współczynników rozkładu αi jest różny od zera. Możemy założyć, że na przykład α1 6= 0. Wtedy
e1 = 1 α1f1−
n
X
i=2
αi
α1ei = 1
α1f1− α2
α1e2− α3
α1e3− . . . − αn α1en
i każda kombinacja liniowa wektorów {e1, e2, . . . , en} jest kombinacją liniową wektorów {f1, e2, . . . , en}. Zatem
V = Span {e1, e2, . . . , en} = Span {f1, e2, . . . , en} .
Załóżmy, że k < n i że istnieje k spośród wektorów układu {f1, . . . , fn} np. wektory f1, f2, . . . , fk, takich że
Span {e1, e2, . . . , en} = Span {f1, f2, . . . , fk, ek+1, . . . , en} . (6) Wektor fk+1 należy z założenia do lewej strony tej równości, należy więc także do prawej, a to oznacza, że daje się przedstawić jako kombinacja liniowa :
fk+1 = β1f1+ β2f2+ . . . + βkfk+ βk+1ek+1+ . . . + βnen Ponieważ wektory f1, . . . , fn są liniowo niezależne to nie może zachodzić
βk+1 = βk+2 = . . . = βn= 0 . Niech np. βk+1 6= 0. Wtedy
ek+1 = 1
βk+1fk+1− β1
βk+1f1 − β2
βk+1f2− . . . − βk
βk+1fk− βk+2
βk+1ek+2− . . . − βn βk+1en i każdą kombinację liniową wektorów f1, f2, . . . , fk, ek+1, . . . , en możemy przedstawić jako kombinację liniową wektorów f1, f2, . . . , fk+1, ek+2, . . . , en. Wychodząc z założenia (6) udowodniliśmy więc tezę kroku indukcyjnego
Span {e1, e2, . . . , en} = Span {f1, f2, . . . , fk+1, ek+2, . . . , en} .
Ponieważ pokazaliśmy już, że dla k = 1 założenie (6) jest spełnione to na mocy twier-dzenia o indukcji matematycznej otrzymujemy
Span {e1, e2, . . . , en} = Span {f1, f2, . . . , fn} . •
Twierdzenie 5.7 Jeżeli przestrzeń liniowa V ma bazę składającą się z n wek-torów to każda baza tej przestrzeni składa się także z n wekwek-torów.
Dowód: Załóżmy, że istnieją dwie bazy w przestrzeni V , {e1, . . . , en} i {f1, . . . , fm} takie, że n < m. Wtedy na mocy poprzedniego twierdzenia
V = Span {e1, . . . , en} = Span {f1, . . . , fn} ,
a to w szczególności oznacza, że wektor fmjest kombinacją liniową wektorów f1, . . . , fn. Układ {f1, . . . , fm} jest więc linowo zależny wbrew założeniu. • Dzięki Tw.5.7 następująca definicja jest poprawna.
Definicja 5.8 Jeśli przestrzeń V ma bazę skończoną to liczbę wektorów tej bazy nazywamy wymiarem przestrzeni V i oznaczamy symbolem dimV . Jeżeli przestrzeń V 6= {Θ} nie ma bazy skończonej to mówimy, że ma wymiar nieskończony, lub że jest nieskończenie-wymiarowa. Przestrzeni zerowej {Θ} przypisujemy zerowy wymiar: dim {Θ} = 0.
Przykłady:
1. Ciało liczb rzeczywistych R możemy traktować jako przestrzeń liniową nad sa-mym sobą tzn jako rzeczywistą przestrzeń liniową. Wtedy dimRR = 1.
2. Ciało liczb zespolonych C możemy traktować jako przestrzeń liniową nad samym sobą tzn jako zespoloną przestrzeń liniową. Wtedy
dimCC = 1 .
Ciało liczb zespolonych C można również potraktować jako przestrzeń liniową nad ciałem liczb rzeczywistych R. Wtedy
dimRC = 2 .
W tym przypadku jako bazę w C można wybrać np. {1, i}.
3. dimKKn = n
4. Przestrzeń P(K) wszystkich wielomianów nad ciałem K jest nieskończenie-wymiarowa.
5. Przestrzeń K∞wszystkich ciągów nieskończonych o wyrazach z K jest nieskończenie-wymiarowa.
Twierdzenie 5.8 Niech V będzie przestrzenią n-wymiarową. Wtedy i. Każdy układ n + 1 wektorów przestrzeni V jest liniowo zależny.
ii. Jeżeli U jest właściwą podprzestrzenią przestrzeni V to dim U < dim V . iii. Każdy liniowo niezależny układ wektorów przestrzeni V daje sę uzupełnić
do bazy tej przestrzeni.
Dowód:
i. Załóżmy, że układ {e1, . . . , en+1} wektorów przestrzeni V jest linowo niezależny.
Również podukład {e1, . . . , en} jest linowo niezależny i na mocy Tw.5.6 jest bazą w V , ale wtedy wektor en+1jest liniową kombinacją wektorów {e1, . . . , en} co jest sprzeczne z założeniem o liniowej niezależności układu {e1, . . . , en+1}.
ii. Niech {e1, . . . , ek} będzie układem wektorów liniowo niezależnych w podprze-strzeni U . Jest to również układ liniowo niezależny w V i na mocy punktu ii) k ≤ n. Gdyby zachodziła równość k = n to na mocy punktu i) układ {e1, . . . , ek} byłby bazą w przestrzeni V i mielibyśmy U = V wbrew założeniu. Zatem
dim U ≤ k < n = dim V .
iii. Niech {e1, . . . , ek} będzie układem wektorów liniowo niezależnych w podprze-strzeni V . Jeżeli nie istnieje w V wektor niezależny liniowo od {e1, . . . , ek} to V = Span{e1, . . . , ek} i układ ten tworzy bazę w V . Jeśli istnieją w V wek-tory niezależne liniowo od {e1, . . . , ek} to wybieramy jeden z nich i dołączamy jako wektor ek+1 do układu. Z układem {e1, . . . , ek+1} postępujemy analogicz-nie. Ponieważ wymiar n = dim V przestrzeni V jest skończony po n − k krokach
otrzymamy bazę przestrzeni V . •