∞
X
k=0
(−1)k
(2k)! ϕ2k+ i
∞
X
k=0
(−1)k
(2k + 1)!(ϕ)2k+1
= cos ϕ + i sin ϕ
Definicja 4.11 Przedstawienie liczby zespolonej z ∈ C przy pomocy jej mo-dułu i argumentu:
z = reiϕ , r = |z| , ϕ = arg(z) , nazywamy postacią wykładniczą tej liczby.
Uwaga:
Własności eksponenty o wykładniku rzeczywistym exey = ex+y , (ex)−1 = e−x przenoszą się na wykładniki zespolone, w szczególności dla
z1 = r1eiϕ1 , z2 = r2eiϕ2 , z = reiϕ mamy
z1z2 = r1r2ei(ϕ1+ϕ2) z1
z2 = r1
r2 ei(ϕ1−ϕ2)
√n
z = √n
r eiϕ+2kπn , k = 0, 1, . . . , n − 1 .
4.5 Wielomiany
Definicja 4.12 Wielomianem nad ciałem K nazywamy wyrażenie postaci p(x) = anxn+ an−1xn−1+ . . . + a2x2+ a1x + a0 ,
gdzie a0, . . . , an są elementami ciała K. Nazywamy je współczynnikami wie-lomianu p(x).
Wielomian p(x) = 0 nazywamy wielomianem zerowym.
Jeżeli p(x) 6= 0, to największą liczbę k dla której ak 6= 0 nazywamy stopniem wielomianu i oznaczamy symbolem
deg(p) = k .
Uwagi:
1. Stopień wielomianu zerowego b0 = 0 jest nieokreślony.
2. Powyższa definicja nie jest w pełni ścisła ponieważ zawiera niejasne pojęcie wy-rażenie postaci i nieokreślony symbol x. Jedna z możliwych, w pełni poprawnych definicji określa wielomian jako skończony ciąg współczynników {b0, . . . , bn} tzn.
jako funkcję
Z+= {k ∈ Z : k > 0} 3 k → bk ∈ K
która przyjmuje wartość zero wszędzie z wyjątkiem skończonej ilości punktów.
3. Def.4.12 odwołuje się do pojęcia wielomianu jakiego używa się w analizie mate-matycznej. Każdy wielomian w sensie powyższej definicji jednoznacznie określa funkcję
p : K 3 x → p(x) = anxn+ an−1xn−1+ a1x + a0 ∈ K .
Symbol x pełni wówczas rolę argumentu funkcji p, którą nazywamy funkcją wielomianową lub po prostu wielomianem.
Definicja 4.13 Niech p(x) = amxm + . . . + a0, q(x) = bnxn + . . . + b0 będą wielomianami nad ciałem K.
Mówimy, że wielomiany p(x), q(x) są równe i piszemy p(x) = q(x) jeżeli n = m oraz ak = bk dla wszystkich k = 0, 1, . . . , n .
Niech deg(p) = m > deg(q) = n. Sumą wielomianów p i q nazywamy wielomian
(p + q)(x) = p(x) + q(x)
= amxm+ . . . + an+1xn+1
+ (an+ bn)xn+ . . . + (a1+ b1)x + (a0 + b0) nad ciałem K.
Iloczynem wielomianów p i q nazywamy wielomian (p q)(x) = p(x)q(x)
= ambnxm+n+ . . .
+ (a0bk+ a1bk−1+ . . . + ak−1b1+ akb0)xk+ . . . + (a0b1+ a1b0)x + a0b0
nad ciałem K.
Uwagi:
1. Przestrzeń P(K) wszystkich wielomianów nad ciałem K wraz z dodawaniem jest grupą abelową. Elementem neutralnym w tej grupie jest wielomian zerowy.
2. Wprost z definicji sumy i iloczynu otrzymujemy nierówności
deg(p + q) 6 max{deg(p), deg(q)} , (3)
deg(p q) = deg(p) + deg(q) , (4)
jeżeli p 6= 0, q 6= 0.
Jako wniosek z definicji iloczynu wielomianów i Uwagi 2. otrzymujemy
Wniosek 4.4 Jeżeli iloczyn wielomianów p i q jest wielomianem zerowym to to przynajmniej jeden z tych wielomianów jest wielomianem zerowym.
Zgodnie z definicją wielomiany są równe jeśli mają wszystkie współczynniki jed-nakowe. Równość wielomianów pociąga za sobą równość ich funkcji wielomianowych.
Implikacja odwrotna jest prawdziwa tylko dla wielomianów o współczynnikach w cia-łach o charakterystyce zero.
Definicja 4.14 Niech K będzie ciałem. Mówimy, że ciało K ma charaktery-stykę 0 jeżeli dla dowolnego a ∈ K i dla dowolnego n ∈ N warunek
na = a + . . . + a
| {z }
n razy
= 0
pociąga za sobą równość a = 0. Jeżeli ciało nie ma charakterystyki zero to charakterystyką tego ciała nazywamy najmniejszą liczbę naturalną n taką, że na = 0 gdzie a ∈ K i a 6= 0.
Uwagi:
1. Jeżeli na = 0 dla pewnego a ∈ K, a 6= 0 to również dla dowolnego b ∈ K, nb = 0.
Istotnie dla dowolnego b i a 6= 0 mamy
nb = (na)(a−1b) = 0a−1b = 0 . 2. Ciała liczbowe (Q, R, C) mają charkterystykę zero.
3. Różna od zera charakterystyka ciała musi być liczbą pierwszą.
Twierdzenie 4.8 (o dzieleniu wielomianów)
Jeżeli p i q są wielomianami nad ciałem K i q 6= 0 to isnieją wielomiany v i r nad ciałem K takie, że r = 0 lub deg(r) < deg(q) oraz
p = qv + r .
Wielomiany v i r o podanych własnościach są wyznaczone jednoznacznie przez wielomiany p i q.
Dowód: jednoznaczność Załóżmy, że oprócz wielomianów v i r istnieją wielomiany w i s spełniające warunki opisane w twierdzeniu. W szczególności mamy
p = vq + r = wq + s , skąd
(v − w)q = s − r . (5)
Jeżeli s−r jest wielomianem zerowym to, ponieważ q 6= 0, także v−w jest wielomianem zerowym mamy więc r = s i v = w.
Załóżmy, że s − r 6= 0. Ponieważ s i r spełniają warunki opisane w twierdzeniu to r 6= 0 ⇒ deg(r) < deg(q) oraz s 6= 0 ⇒ deg(s) < deg(q)
Jeżeli więc s − r 6= 0 to korzystając z (3) mamy deg(s − r) < deg(q) .
Jeżeli v − w = 0 to z równania (5) wynika, że s − r = 0 w sprzeczności z naszym założeniem. Załóżmy więc v − w 6= 0. Wtedy
0 6 deg(v − w) .
Dodając dwie ostatnie nierówności stronami i korzystając z (4) otrzymujemy deg(s − r) < deg((v − w)q) ,
co jest w sprzeczności z równaniem (5).
Pokazaliśmy, że założenie s − r 6= 0 zawsze prowadzi do sprzeczności. Musi więc zachodzić s − r = 0 co na mocy przedstawionego już rozumowania prowadzi do w − v = 0.
istnienie
Niech p(x) = amxm+ . . . + a0, am 6= 0, q(x) = bnxn+ . . . + b0, bn 6= 0.
Jeżeli m < n to
p = 0 q + p . Jeżeli m> n to tworzymy wielomian
p1(x) = p(x) − am
bnxm−nq(x) .
Analizując współczynnik przy najwyższej potędze x łatwo sprawdzić, że m1 = deg(p1) <
m .
Jeżeli m1 < n to dowód jest zakończony mamy bowiem p(x) = am
bnxm−nq(x) + p1(x) . Jeżeli m1 > n to tworzymy wielomian
p2(x) = p1(x) − (a1)m1
bn xm1−nq(x) ,
gdzie (a1)m1 jest współczynnikiem przy potędze xm1 w wielomianie p1. Jeżeli m2 = deg(p2) < n to kończymy procedurę na równaniu
p1(x) = (a1)m1
bn xm1−nq(x) + p2(x) . Jeżeli m2 > n to tworzymy kolejny wielomian
p3(x) = p2(x) − (a2)m2
bn xm2−nq(x) ,
gdzie (a2)m2 jest współczynnikiem przy potędze xm2 w wielomianie p2.
Ponieważ w każdym kroku opisanej procedury stopień wielomianu pi zmniejsza się co najmniej o jeden, to po skończonej liczbie kroków otrzymamy ciąg wielomianów i równości
pk−1(x) = (ak−1)mk−1
bn xmk−1−nq(x) + pk(x) , ...
p1(x) = (a1)m1
bn xm1−nq(x) + p2(x) , p(x) = am
bnxm−nq(x) + p1(x) ,
gdzie deg(pk) < n. Wtedy p = vq + r dla v(x) = am
bnxm−n+(a1)m1
bn xm1−n+ . . . + (ak−1)mk−1
bn xmk−1−n , r(x) = pk(x) .
• Przykład: Podzielić wielomian p(x) = −x3+ 3x + 3 przez wielomian q(x) = x + 1.
−x2 +x +2
−x3 +3x +3 : x + 1
−x3 −x2
x2 +3x +3 x2 +x
2x +3 2x +2 +1
p(x) = −x3+ 3x + 3 = (−x2+ x + 2)(x + 1) + 1
W rozważanym przykładzie ilorazem jest wielomian v(x) = −x2 + x + 2 a reszta wielomian r(x) = 1.
Definicja 4.15 Niech p i q będą wielomianami nad ciałem K i q 6= 0. Wielo-miany v, r nad ciałem K takie, że r = 0 lub deg(r) < deg(q) oraz
p = v q + r
nazywamy, odpowiednio, ilorazem i resztą, a powyższy rozkład dzieleniem wielomianu p przez wielomian q. Jeżeli reszta jest wielomianem zerowym r(x) = 0 to mówimy, że wielomian p(x) jest podzielny przez wielomian q(x).
Wniosek 4.5 (twierdzenie o reszcie)
Niech p będzie wielomianem nad ciałem K, a a dowolnym elementem z tego ciała. Wtedy istnieje dokładnie jeden wielomian v(x) nad ciałem K taki, że
p(x) = (x − a)v(x) + p(a) .
Dowód: Stosując twierdzenie o dzieleniu wielomianów dla wielomianów p(x) i q(x) = x − a otrzymujemy
p(x) = (x − a)v(x) + r(x) ,
gdzie wielomian r(x) jest wielomianem zerowym bądź wielomianem stopnia zero, a więc w obu przypadkach jest stałą r(x) = c. Podstawiając do ostatniego równania x = a otrzymujemy
r(x) = c = r(a) = p(a) .
Z twierdzenia o dzieleniu wielomianów wynika także jedyność wielomianu v(x). • Definicja 4.16 Niech p(x) będzie wielomianem nad ciałem K. Pierwiast-kiem wielomianu p(x) nazywamy taki element a ciała K dla którego
p(a) = 0 .
Wniosek 4.6 (twierdzenie B´ezouta) Jeżeli a ∈ K jest pierwiastkiem wie-lomianu p(x) nad ciałem K to istnieje taki wielomian v(x) nad ciałem K, że
p(x) = (x − a)v(x) .
Twierdzenie 4.9 Wielomian stopnia n nad ciałem K ma co najwyżej n pier-wiastków w ciele K
Dowód: Zastosujemy indukcję względem stopnia wielomianu n. Wielomian stopnia zero jest stałą różną od zera nie ma więc pierwiastków, a zatem założenie początek indukcji jest spełnione dla n = 0. Załóżmy, że teza twierdzenia jest prawdziwa dla wielomianów stopnia mniejszego niż n. Niech p(x) będzie wielomianem stopnia n.
Jeżeli p(x) nie ma pierwiastków w ciele K to dowód jest zakończony. Jeżeli p(x) ma pierwiastek a ∈ K to na mocy twierdzenia B´ezouta
p(x) = (x − a)v(x)
gdzie v(x) jest wielomianem stopnia n − 1. Zgodnie z założeniem kroku indukcyjnego v(x) ma co najwyżej n − 1 pierwiastków w ciele K skąd wynika, że p(x) = (x − a)v(x) ma co najwyżej n pierwiastków. Założenie krok indukcyjny Tw.2.9 o indukcji
matematycznej jest więc również spełnione. •
Twierdzenie 4.10 (podstawowe twierdzenie algebry)
Każdy wielomian nad ciałem liczb zespolonych stopnia nie mniejszego niż 1 ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony.
Uwaga:
Dowód podstawowego twierdzenia algebry wymaga aparatu pojęciowego z zakresu analizy matematycznej i nie będziemy go tutaj przytaczać.
Definicja 4.17 Niech p(x) będzie wielomianem nad ciałem K. Liczbę a ∈ K nazywamy k-krotnym pierwiastkiem wielomianu p(x) jeżeli wielomian ten jest podzielny przez wielomian (x − a)k i nie jest podzielny przez wielomian (x − a)k+1.
Wniosek 4.7 Każdy wielomian stopnia n > 1 nad ciałem liczb zespolonych ma dokładnie n pierwiastków zespolonych jeśli każdy z pierwiastków brać pod uwagę tyle razy ile wynosi jego krotność.
Wniosek 4.8 Każdy wielomian stopnia n > 1 nad ciałem liczb zespolonych może być przedstawiony w postaci iloczynu
p(x) = c(x − a1)(x − a2) . . . (x − an) ,
gdzie a1, a2, . . . , an są pierwiastkami tego wielomianu, a c jest liczbą zespoloną różną od zera.
5 Przestrzenie liniowe
5.1 Definicja
Definicja 5.1 Niech K będzie ciałem, V - niepustym zbiorem, a +, · funk-cjami:
+ : V × V 3 (u, v) −→ u + v ∈ V
· : K × V 3 (α, v) −→ αv ∈ V
zespół (V, K, +, ·) nazywamy przestrzenią liniową nad ciałem K jeżeli speł-nione są następujące warunki
i. (V, +) jest grupą abelową;
ii. ∀ α ∈ K, v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw ; iii. ∀ α, β ∈ K, v ∈ V : (α + β)v = αv + βv ;
iv. ∀ α, β ∈ K, v ∈ V : (α(βv)) = (αβ)v ; v. ∀v ∈ V : 1v = v .
Uwagi:
1. Stosujemy następujące nazwy:
elementy zbioru V – wektory elementy ciała K – skalary
+ – dodawanie wektorów
· – mnożenie wektora przez skalar
Jeżeli K = R to mówimy, że przestrzeń liniowa jest rzeczywista. Jeżeli K = C to mówimy, że przestrzeń liniowa jest zespolona.
2. Przestrzeń liniową często nazywa się przestrzenią wektorową.
3. Mnożenie przez skalar jest przykładem operacji zwanej działaniem zewnętrznym.
Przykłady:
1. Zbiór wektorów wodzących na płaszczyźnie (tzn wektorów zaczepionych w punk-cie O) z dodawaniem wektorów i mnożeniem przez liczbę jest rzeczywistą prze-strzenią liniową.
2. Zbiór Kn (n-ta potęga kartezjańska ciała K) wraz z działaniami (α1, . . . , αn) + (β1, . . . , βn) = (α1+ β1, . . . , αn+ βn)
α (α1, . . . , αn) = (α α1, . . . , α αn) jest przestrzenią liniową nad ciałem K.
Dla n = 1, Kn= K. Ciało K możemy więc traktować jak przestrzeń liniową nad samym sobą.
Przestrzeń liniową Kn rozważa się zwykle gdy K jest ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Mamy wtedy, odpowiednio, rzeczywistą Rn i zespoloną Cn przestrzeń liniową.
Uwaga: W powyższych wzorach symbol r w wyrażeniu postaci ar oznacza górny indeks, a nie wykładnik potęgi.
3. P(K) – zbiór wszystkich wielomianów nad ciałem K, z działaniami dodawania wielomianów i mnożenia ich przez elementy z ciała jest przestrzenią liniową nad ciałem K.
4. Niech X będzie niepustym zbiorem. Zbiór F (X, K) wszystkich funkcji f na X o wartościach w K, z działaniami
(f + g)(x) = f (x) + g(x) (α f )(x) = α f (x) jest przestrzenią liniową nad K.
Uwaga: Gdy X = N wtedy F(N, K) jest zbiorem wszystkich ciągów nieskoń-czonych o wyrazach z ciała K. Stosowane jest wtedy oznaczenie:
K∞= F (N, K)
Twierdzenie 5.1 Niech (V, K, +, ·) będzie przestrzenią liniową nad ciałem K.
Wtedy
i) 0 v = Θ
ii) α Θ = Θ
iii) −(α v) = (−α) v Θ – element neutralny w (V, +) – wektor zerowy 0 – element neutralny w (K, +)
Dowód:
i) 0 v = (0 + 0) v = 0 v + 0 v =⇒ 0 v = Θ ii) α Θ = α(Θ + Θ) = α Θ + α Θ =⇒ α Θ = Θ
iii) 0 = (α + (−α))v = α v + (−α)v =⇒ (−α)v = −α v •