Diagonalizacja

Z Twierdzenia 9.4. wynika, że jeśli przekształcenie liniowe ma wystarczająco dużo wektorów własnych to można z nich utworzyć bazę względem której przekształcenie to będzie miało postać diagonalną. Możemy więc sformułować następujący wniosek o diagonalizacji.

Wniosek 9.3 Niech V będzie n-wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem K. Jeżeli przekształcenie liniowe A : V → V ma n różnych wartości wła-snych α₁, . . . , α_n to odpowiadające tym wartościom własnym wektory własne v₁, . . . , v_n tworzą bazę w przestrzeni V . Macierz przekształcenia A względem tej bazy ma postać:



Na odwrót, jeśli macierz przekształcenia A względem bazy {v_i}ⁿ_i=1 ma postać diagonalną (29), przy czym tym razem α_j nie muszą byc parami różne, to dla każdego j = 1, . . . , n, vj jest wektorem własnym przekształcenia A odpowiada-jącym wartości własnej α_j.

Na ogól przekształcenie liniowe nie ma tak prostej budowy. W dalszej części tego podrozdziału zbadamy kiedy jest możliwa diagonalizacja przekształcenia.

Definicja 9.5 Niech α będzie wartością własną przekształcenia liniowego A : V → V skończenie-wymiarowej przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Liczbę

dim V_α = dim ker(A − αI)

nazywamy krotnością geometryczną wartości własnej α.

Krotnością algebraiczną wartości własnej α nazywamy jej krotność jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego det(A − λI) przekształcenia A.

Twierdzenie 9.6 Niech α będzie wartością własną przekształcenia liniowego A : V → V skończenie-wymiarowej przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Krot-ność geometryczna wartości własnej α jest jest mniejsza bądź równa jej krot-ności algebraicznej.

Dowód:

Załóżmy, że krotność geometryczna wartości własnej α wynosi r. ker(A − αI) jest podprzestrzenią niezmienniczą przekształcenia A. Rozszerzając bazę tej podprzestrzeni do bazy w całej przestrzeni V otrzymujemy bazę względem której, na mocy Tw.9.1., macierz przekształcenia A ma postać blokową:

A = αI B

0 C

 .

Wtedy wielomian charakterystyczny przekształcenia A ma postać det(A − λI) = (α − λ)^rdet(C − λI) ,

skąd wynika, że α jest co najmniej r-krotnym pierwiastkiem tego wielomianu. • Twierdzenie 9.7 Przekształcenie liniowe A : V → V skończeniewymiarowej przestrzeni liniowej V nad ciałem K ma macierz diagonalną względem pew-nej bazy tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są dwa następujące warunki:

i. wielomian charakterystyczny przekształcenia A rozkłada sie na iloczyn czynników liniowych;

ii. dla każdej wartości własnej przekształcenia A jej krotności: geometryczna i algebraiczna są sobie równe.

Dowód:

⇒

Załóżmy, że postać przekształcenia A ma w pewnej bazie przestrzeni V postać diagonalną. Zawsze można elementy bazy uporządkować tak, żeby macierz diagonalna miała postać przy czym αi występuje ri razy. Z tej postaci wynika, że wielomian charakterystyczny przekształcenia A ma postać

det(A − λI) = (α₁− λ)^r1(α₂− λ)^r2. . . (α_k− λ)^rk , (31) a więc rozkłada się na iloczyn czynników liniowych i pierwszy warunek jest spełniony.

Z postaci diagonalnej macierzy A wynika także, że dim Vαi = r_i dla i = 1, . . . , k, a więc i drugi warunek jest spełoniony

⇐

Załóżmy, że wielomian charakterystyczny rozkłada się na iloczyn czynników linio-wych, a więc ma postać (31) gdzie liczby α_i są parami różne. Stąd wynika, że A ma k różnych wartości własnych α_i, i = 1, . . . , k, których krotności algebraiczne sumują się do wymiaru przetrzeni V :

dim V = r₁+ r₂+ . . . + r_k .

Ale z waruku ii. wynika, że dla każdej wartości własnej krotność algebraiczna jest równa krotności geometrycznej tzn.

∀i : r_i = dim V_αi = dim ker(A − α_iI) zatem

dim V = dim V_α1+ dim V_α2 + . . . + dim V_αk . (32) Ponieważ V_α1 ∪ V_α2 = {Θ} dla α₁ 6= α₂ (Uwaga 1. poniżej Def.9.3.)

V_α1 + V_α2 + . . . + V_αk = V_α1⊕ V_α2 ⊕ . . . ⊕ V_αk (33) skąd na mocy Wn.5.2.

dim(V_α1 + V_α2 + . . . + V_αk) = dim V_α1 + dim V_α2 + . . . + dim V_αk .

Z równości (32) wynika, że wymiar podprzestrzeni V_α1+ V_α2+ . . . + V_αk ⊂ V jest równy wymiarowi całej przestrzeni V , a zatem, korzystając z równości (33), otrzymujemy

V = V_α1 ⊕ V_α2 ⊕ . . . ⊕ V_αk .

Na mocy Tw.5.12 z dowolnych baz w podprzestrzeniach Vαi możemy utworzyć bazę w przestrzeni V , taką, że pierwsze r₁ wektorów jest bazą w podprzestrzeni V_α1, kolejne r₂ wektorów jest bazą w podprzestrzeni V_α2 itd., aż do ostatnich r_k wektorów tworzących bazę w podprzestrzeni Vαr. Macierz przekształcenia A względem tej bazy ma postać

diagonalną (30). •

Przykłady:

1. Rozpatrzymy przykład ilustrujący konieczność warunku o rozkładzie wielomianu na czynniki liniowe.

Niech A : R² → R² będzie przekształceniem liniowym, którego macierz względem pewnej bazy ma postać:

 cos φ − sin φ sin φ cos φ



, 0 < φ < π . Wielomian charakterystyczny tego przekształcenia ma postać

det(A − λI) = (cos φ − λ)(cos φ − λ) + sin²φ = λ²− 2λ cos φ + 1 Ponieważ wyróżnik dla tego równania jest liczbą ujemną:

∆ = 4 cos²φ − 4 = 4(cos²φ − 1) < 0 dla 0 < φ < π ,

to równanie to nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc przekształcenie nie ma wartości własnych ani wektorów własnych.

Brak pierwiastków jest równoznaczny z tym, że wielomianu charkterystycznego nie można rozłożyć na czynniki liniowe.

2. Założenie o rozkładzie wielomianu charakterystycznego na czynniki liniowe za-pewnia istnienie wartości własnych jednak nie jest wystarczające do tego, żeby istniała baza złożona z wektorów własnych, a więc baza względem której macierz przekształcenia jest diagonalna.

Rozważmy przkształcenie liniowe A : R² → R², którego macierz względem pew-nej bazy ma postać:

 1 1 0 1

 .

Wielomian charkterystyczny rozkłada się na czynniki liniowe:

det(A − λI) = (1 − λ)² ,

istnieje więc jedna wartość własna α = 1 z krotnością algebraiczną 2. Równanie na wektory własne, które jej odpowiadają ma postać

 1 1 Rozwiązaniem ogólnym tego równania są wektory postaci

 v¹

Zatem podprzestrzeń własna V₁ odpowiadająca wartości własnej 1 jest jednowy-miarowa:

V₁ = 1 0



.

Nie istnieje więc w przestrzeni R² baza składająca się z wektorów własnych prze-kształcenia A, a tym samym nie istnieje w R² baza, w której macierz przekształ-cenia A ma postać diagonalną.

Zauważmy, że w omawianym przykładzie krotność geometryczna wartości własnej 1 wynosi 1 i jest mniejsza od jej krotności algebraicznej. Ilustruje to znaczenie drugiego warunku w Tw.9.7.

3. Rozważymy teraz przykład, w którym spełnione są oba warunki Tw.9.7. i spro-wadzenie macierzy przekształcenia do postaci diagonalnej jest możliwe.

Niech A : R³ → R³ będzie przekształceniem liniowym, którego macierz względem pewnej bazy {e₁, e₂, e₃} ma postać

Wiemy już, że jeżeli istnieją trzy liniowo niezależne wektory własne to w bazie utworzonej przez te wektory przekształcenie A będzie miało macierz diagonalną.

Zaczynamy od zbadania wielomianu charakterystycznego:

det(A − λI) =

Zgadujemy, że -1 jest pierwiastkiem tego wielomianu i dzielimy przez odpowia-dający temu pierwiastkowi czynnik liniowy (λ + 1):

−λ² +λ +2

skąd wynika, że wielomian charakterystyczny rozkłada się na czynniki liniowe.

Mamy dwie wartości własne: λ = −1 z krotnością algebraiczną 2, i λ = 2 z krotnością algebraiczną 1.

Wektory własne odpowiadające wartości własnej λ = −1 spełniają równanie

 które wygodnie jest przekształcić do postaci:



która, z kolei, jest równoważna układowi równań jednorodnych:

v¹+ v² + v³ = 0

Zatem każdy wektor własny odpowiadający wartości własnej λ = −1 ma postać:

v =

Pokazaliśmy, że podprzestrzeń własna V−1 jest dwuwymiarowa, a jej bazę tworzą

Znajdziemy teraz wektor własny odpowiadający wartości własnej λ = 2. Wektor ten spełnia równanie które przekształcamy do postaci:

 która, z kolei, jest równoważna układowi równań jednorodnych:

−2v¹ + v² + v³ = 0 v¹ − 2v² + v³ = 0 v¹ + v² − 2v³ = 0

Przy pomocy ostatniego równania możemy wyeliminować zmienną v¹ z dwóch pierwszych równań, co prowadzi do układu

3v² − 3v³ = 0 Przyjmując v³ = s jako dowolny parametr rzeczywisty otrzymujemy



Oznacza to, że podprzestrzeń własna V₂ jest jednowymiarowa, a jej bazę tworzy wektor

e⁰₃ = e₁+ e₂+ e₃ .

Na mocy Tw.9.4. wektory e⁰₁, e⁰₂, e⁰₃ są liniowo niezależne i tworzą bazę w prze-strzeni R³.

Macierz przejścia od bazy {e1, e₂, e₃} do bazy {e⁰₁, e⁰₂, e⁰₃} ma postać:

S =





−1 −1 1

1 0 1

0 1 1



 . Obliczamy macierz transponowaną:

S^T =





−1 1 0

−1 0 1 1 1 1



 .

i macierz odwrotną

S⁻¹ = 1 3





−1 2 −1

−1 −1 2

1 1 1



 .

Zatem macierz przekształcenia A w bazie {e⁰₁, e⁰₂, e⁰₃} ma postać:

S⁻¹AS =





−1 0 0

0 −1 0

0 0 2



 .

Twierdzenie 9.8 Jeżeli V jest niezerową, skończeniewymiarową przestrzenią liniową nad ciałem liczb zespolonych to każde przekształcenie liniowe A : V → V ma co najmniej jedną wartość własną i co najmniej jedną jednowymiarową podprzestrzeń niezmienniczą.

Dowód:

Wiemy z Tw.9.5., że wartości własne przekształcenia A są pierwiastkami wielo-mianu charakterystycznego

det(A − λI) .

Jest to wielomian stopnia n o współczynnikach zespolonych. Z podstawowego twier-dzenia algebry wynika, że wielomian taki ma zawsze n pierwiastków zespolonych, przy czym może się zdarzyć, że niektóre z nich powtarzają się k-razy (wtedy k nazywamy krotnością takiego pierwiastka). Zatem w przypadku ciała liczb zespolonych mamy zawsze co najmniej jeden pierwiastek zespolony α i tym samym co najmniej jeden

wektor własny, który mu odpowiada. Podprzestrzeń rozpinana przez ten wektor jest oczywiście jednowymiarową podprzestrzenią niezmienniczą przekształcenia A. • Na koniec podamy jeszcze jedno twierdzenie dotyczące ogólnej postaci przekształceń liniowych w zespolonych przestrzeniach wektorowych.

Twierdzenie 9.9 Niech V będzie n-wymiarową przestrzenią liniową nad cia-łem liczb zespolonych. Dla każdego przekształcenia liniowego A : V → V ist-nieje taka baza przestrzeni V , względem której macierz przekształcenia A ma postać górnotrójkątną, tzn. pod główną przekątną znajdują się same zera:

















α₁ A¹₂ . . . A¹_n 0 α₂ . . . A²_n ... ... ......... ... 0 0 . . . α_n

















W macierzy tej na głównej przekątnej znajdują się wartości własne przekształ-cenia A, przy czym każda z nich występuje tyle razy ile wynosi jej algebraiczna krotność.

Dowód: Ponieważ V jest przestrzenią zespoloną to na mocy Tw.9.8. przekształcenie liniowe A ma co najmniej jedną wartość własną, którą oznaczymy symbolem α₁. Niech v₁ będzie odpowiadającym jej wektorem własnym. Wektor v₁ możemy w dowolny sposób uzupełnić do bazy {v1, w₂, . . . , w_n} w przestrzeni V . Na mocy Tw.9.1. macierz przekształcenia A ma w tej bazie postać blokową:

 α₁ B₁ 0 A₁



Rozważmy teraz przestrzeń ilorazową V /span{v₁}. Łatwo sprawdzić, że klasy abs-trakcji {[w₂], . . . , [w_n]} tworzą bazę w tej przestrzeni. Dzięki temu, że span{v₁} jest podprzestrzenią niezmienniczą, przekształcenie A : V → V indukuje przekształcenie liniowe

A⁽¹⁾ : V /span{v₁} 3 [v] → A⁽¹⁾[v] = [Av] ∈ V /span{v₁} .

którego macierzą jest A₁. Korzystając ponownie z Tw.9.8. wiemy, że istnieje taki wektor v₂ ∈ V oraz liczba α₂ taka, że

[v₂] 6= Θ i A⁽¹⁾[v₂] = [Av₂] = α₂[v₂]

Ponieważ [v₂] 6= Θ to wektory v₁ i v₂ są liniowo niezależne i ich układ można rozszerzyć do bazy w przestrzeni V . Ponieważ [Av2] = α₂[v₂] to Av₂ = b₁v₁+ α₂v₂ i w tej bazie

macierz przekształcenia A ma postać blokową

 C₂ B₂ 0 A₂



gdzie C₂ = α₁ b₁ 0 α₂



W następnym kroku powtarzamy rozumowanie dla przekształcenia

A⁽²⁾ : V /span{v₁, v₂} 3 [v] → A⁽²⁾[v] = [Av] ∈ V /span{v₁, v₂} .

Powtarzając to rozumowanie skończoną liczbę razy otrzymamy bazę {v₁, . . . , v_n} prze-strzeni V , w której macierz przekształcenia A jest górnotrójkątna. Wyznacznik cha-rakterystyczny ma więc w tej bazie postać

det(A − λI) = (α₁ − λ) · . . . · (α_n− λ) ,

z której wynika pozostała część tezy. •

10 Formy liniowe, dwuliniowe i kwadratowe

10.1 Formy liniowe

Definicja 10.1 Niech V będzie przestrzenią linową nad ciałem K. Przestrzeń linową L(V, K) wszystkich odwzorowań liniowych z przestrzeni V w przestrzeń K nazywamy przestrzenią dualną lub przestrzenią sprzężoną do prze-strzeni V i oznaczamy symbolem V^∗. Elementy przestrzeni V nazywamy for-mami liniowymi lub funkcjonałami liniowymi na przestrzeni V .

Uwagi:

1. Odwzorowanie F : V → K jest formą liniową wtedy i tylko wtedy gdy

∀α, β ∈ K, ∀u, v ∈ V : f(αu + βv) = αf(u) + βf(v) .

2. Zazwyczaj terminu forma liniowa używamy na określenie elemnentu przestrzeni dualnej V^∗ wtedy gdy przestrzeń V jest skończenie wymiarowa, a terminu funk-cjonał liniowy – wtedy gdy wymiar V jest nieskończony.

Przykłady:

1. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, {ei}ⁿ_i=1bazą w tej przestrzeni.

Dla każdego wektora v ∈ V mamy jednoznaczny rozkład względem wektorów bazy:

v =

n

X

i=1

vⁱe_i .

Rzutem na i-ty wektor bazy {ei}ⁿ_i=1 będziemy nazywać odwzorowanie eⁱ : V → K, które każdemu wektorowi v ∈ V przyporządkowuje jego i-tą współrzędną względem bazy {e_i}ⁿ_i=1:

eⁱ : V 3 v → eⁱ(v) ≡ vⁱ ∈ K .

Sprawdzimy, że tak zdefiniowane odwzorowanie jest formą liniową. Niech u =

n

X

i=1

uⁱe_i , v =

n

X

i=1

vⁱe_i .

Wtedy dla dowolnych skalarów α, β ∈ K:

αu + βv = α

n

X

i=1

uⁱe_i+ β

n

X

i=1

vⁱe_i

=

n

X

i=1

(αuⁱ+ βvⁱ)e_i

i wobec jednoznaczności rozkładu wektora względem bazy eⁱ(αu + βv) = αuⁱ+ βvⁱ = αeⁱ(u) + βeⁱ(v) .

Uwaga: Rzutowanie na i-ty wektor bazy zależy od wszystkich wektorów two-rzących bazę w przestrzeni V .

2. Niech F ([a, b], R) będzie przestrzenią liniową wszystkich funkcji rzeczywistych określonych na odcinku [a, b]. Dla każdego x ∈ [a, b] odwzorowanie δ_x określone wzorem:

δ_x : F ([a, b], R) 3 ϕ → δx(ϕ) ≡ ϕ(x) ∈ R

jest funkcjonałem linowym na przestrzeni F ([a, b], R). Wynika to bezpośrednio z definicji dodawania i mnożenia przez skalar w przestrzeni F ([a, b], R). Dla dowolnych funkcji ϕ, ψ ∈ F ([a, b], R) i dowolnych liczb rzeczywistych α, β ∈ R mamy bowiem

δ_x(αϕ + βψ) = (αϕ + βψ)(x) = αϕ(x) + βψ(x) = αδ_x(ϕ) + βδ_x(ψ) .

Twierdzenie 10.1 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, a {e_i}ⁿ_i=1 – bazą w tej przestrzeni. Wtedy rzuty eⁱ na wektory bazy {e_i}ⁿ_i=1 tworzą bazę {eⁱ}ⁿ_i=1 przestrzeni dualnej V^∗.

Dowód:

Pokażemy najpierw, że układ form {eⁱ}ⁿ_i=1 rozpina całą przestrzeń V^∗. Dla dowolnej formy liniowej f ∈ V^∗ i dowolnego wektora v ∈ V mamy

f (v) = f

n

X

i=1

vⁱe_i

!

=

n

X

i=1

vⁱf (e_i) =

n

X

i=1

f (e_i)eⁱ(v) ,

a zatem

f =

n

X

i=1

f (e_i)eⁱ .

Dowolna forma liniowa na przestrzeni V jest więc kombinacją liniową elementów układu {eⁱ}ⁿ_i=1 i

V^∗ = span{e¹, . . . , eⁿ} . Pokażemy, że układ {eⁱ}ⁿ_i=1 jest liniowo niezależny. Niech

α₁e¹+ α₂e²+ . . . + α_neⁿ= Θ . Wtedy dla każdego wektora v ∈ V

α₁e¹(v) + α₂e²(v) + . . . + α_neⁿ(v) = 0 . Podstawiając v = ei, otrzymujemy:

α₁e¹(e_i) + α₂e²(e_i) + . . . + α_neⁿ(e_i) = α_ieⁱ(e_i) = α_i = 0 .

dla każdego i, a więc warunek występujący w definicji układu liniowo niezależnego jest

spełniony. •

Uwaga: W dowodzie Tw.10.1. skorzystaliśmy z następującej własności rzutów eⁱ na wektory bazy {ei}ⁿ_i=1:

e^k(e_j) = δ_jⁱ . (34)

Przypomnijmy, że każde przekształcenie liniowe jest jednoznacznie wyznaczone przez swoje wartości na elementach bazy przestrzeni na której jest określone. Wynika stąd, że relacje (34) definiują jednoznacznie rzuty eⁱ na wektory bazy {e_i}ⁿ_i=1 przestrzeni V .

Powyższa Uwaga oraz Tw.10.1. uzasadniają następującą definicję

Definicja 10.2 Niech V będzie n-wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem K, a {ei}ⁿ_i=1 – bazą w tej przestrzeni. Bazę {eⁱ}ⁿ_i=1 przestrzeni V^∗ zadaną relacjami

eⁱ(ej) = δ_jⁱ nazywamy bazą dualną do bazy {e_i}ⁿ_i=1.

Z Tw.10.1. i z Wn.8.2 otrzymujemy

Wniosek 10.1 Niech V będzie skończenie-wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem K. Wtedy przestrzenie V i V^∗ są izomorficzne.

Twierdzenie 10.2 Niech {ei}ⁿ_i=1, {e⁰_j}ⁿ_j=1 będą bazami w przestrzeni liniowej

Dowód: Z dowodu Twierdzenia 10.1. wynika, że współczynniki rozkładu formy f ∈ V^∗ względem baz {eⁱ}ⁿ_i=1, {e^0j}ⁿ_j=1

są wartościami tej formy na odpowiednich elementach baz dualnych:

f_i = f (e_i) , f_j⁰ = f (e⁰_j) .

Podstawiając do równania na f_j⁰ otrzymujemy

co w zapisie macierzowym daje równanie (35). •

Uwaga: Prawa transformacyjne dla współrzędnych wektorów i współrzędnych form (35) przy przejściu od bazy do bazy mają w zapisie macierzowym postać

 W zwykłym zapisie prawa te opisane sa równaniami

v⁰ⁱ =

Zarówno współrzędne wektora jak i formy tworzą n-ki uporządkowane elementów ciała K czyli elementy przestrzeni Kⁿ. Ich własności transformacyjne przy zmianie bazy są jednak zupełnie różne. Zmianę współrzędnych charaktrystyczną dla wektorów przyjęło się nazywać zmianą kontrawariantną lub przeciwzmienniczą, a zminę współrzęd-nych charakterystyczną dla form - zmianą kowariantną lub współzmienniczą. W celu łatwego rozróżnienia własności transformacyjnych korzystamy z konwencji zapisu, zgodnie z którą współrzędne z ideksem górnym transformują się kontrawariantnie (jak współrzędne wektora), a współrzędne z indeksem dolnym – kowariantnie (jak współ-rzędne formy).

W dokumencie Moj ulubiony skrypt do algebry liniowej (Stron 176-190)