Formy kwadratowe

=

n

X

k=1 n

X

l=1

S_i^kS_j^lF (e_k, e_l) =

n

X

k=1 n

X

l=1

S_i^kS_j^lF_kl.

• Z Wniosku 8.7. wynika, że następująca definicja jest poprawna:

Definicja 10.5 Rzędem formy dwuliniowej na skończenie-wymiarowej prze-strzeni liniowej V nazywamy rząd jej macierzy względem dowolnej bazy tej przestrzeni.

10.3 Formy kwadratowe

Definicja 10.6 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Formą kwadratową określoną na przestrzeni V nazywamy funkcję

f : V → K która ma następujące własności:

i. dla dowolnych α ∈ K, v ∈ V :

f (αv) = α²f (v) ; ii. wyrażenie

B(v, w) ≡ 1

2(f (v + w) − f (v) − f (w)) (37) jest formą dwuliniową na V .

Formę B nazywamy formą biegunową formy f . Uwagi:

1. Forma biegunowa jest symetryczna: B(v, w) = B(w, v).

2. Dla każdej formy dwuliniowej F : V × V → K funkcja F : V → K określona wzorem

f (v) = F (v, v)

jest formą kwadratową. Rzeczywiście, dla dowolnych α ∈ K, v ∈ V : f (αv) = F (αv, αv) = α²F (v, v) = α²f (v) . Funkcja:

B(v, w) = 1

2(f (v + w) − f (v) − f (w))

= 1

2(F (v + w, v + w) − F (v, v) − F (w, w))

= 1

2(F (v, w) + F (w, v)) ,

jest symetryczna więc wystarczy sprawdzić liniowość w pierwszym argumencie:

B(αu + βv, w) = 1

2(F (αu + βv, w) + F (w, αu + βv))

= 1

2(αF (u, w) + βF (w, u) + αF (v, w) + βF (w, v))

= α1

2(F (u, w) + F (w, u)) + β1

2(F (v, w) + F (w, v))

= αB(u, w) + βB(v, w) .

Definicja 10.7 Macierzą formy kwadratowej nazywamy macierz jej formy biegunowej. Rzędem formy kwadratowej nazywamy rząd jej ma-cierzy w dowolnej bazie.

Uwagi:

1. Niech {ei}ⁿ_i=1 będzie bazą w przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Niech [B^ij] = [B(e_i, e_j)] będzie macierzą formy biegunowej B formy kwadratowej f . Wtedy, dla dowolnego wektora

v =

n

X

i=1

vⁱe_i mamy

f (v) = B(v, v) =

n

X

i=1 n

X

j=1

Bijvⁱv^j ,

Ponieważ macierz [B_ij] jest symetryczna to

Powyższe wyrażenie możemy traktować jako ogólną postać formy kwadratowej.

2. Ponieważ forma biegunowa formy kwadratowej jest formą dwuliniową to macierz [B_ij] formy kwadratowej transformuje się przy zmianie bazy zgodnie z prawem:

B⁰ = S^TBS

jest formą kwadratową na przestrzeni liniowej Kⁿ. Rzeczywiście, pierwszy warunek wynika bezpośrednio z definicji f , a drugi z postaci formy biegunowej:

B(v, w) = 1

Macierzą formy kwadratowej f w bazie standardowej przestrzeni Kⁿ jest macierz jed-nostkowa:

Definicja 10.8 Niech f : V → K będzie formą kwadratową na przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Mówimy, że formę kwadratową f można sprowadzić do postaci kanonicznej jeżeli istnieje baza {e⁰_i}ⁿ_i=1 przestrzeni V taka, że

f (v) =

n

X

i=1

B_ii(vⁱ)² ,

dla każdego wektora v =

n

P

i=1

vⁱe_i ∈ V .

Uwagi:

1. Wprost z definicji, wynika, że forma kwadratowa jest sprowadzona do postaci kanonicznej w bazie {e_i}ⁿ_i=1 jeśli jej macierz w tej bazie jest diagonalna:

[B_ij] =

2. Załóżmy, że formę kwadratową f można sprowadzić do postaci kanonicznej, tzn.

istnieje baza, w której macierz [B_ij] formy kwadratowej jest diagonalna. Ponieważ rząd formy kwadratowej jest niezmiennikiem ze względu na zmianę bazy to jest on równy liczbie niezerowych elementów diagonalnych macierzy [B_ij]. Jeżeli r = rankf , to przez odpowiednie przenumerowanie elementów bazy macierz formy f można zapisać w postaci:

[B_ij] =

Twierdzenie 10.4 Niech V będzie n-wymiarową przestrzenią liniową nad cia-łem K. Każdą formę kwadratową f : V → K można sprowadzić do postaci kanonicznej.

Dowód:

Dowód będzie polegał na podaniu algorytm pozwalającego sprowadzić dowolną formę kwadratową do postaci kanonicznej. Algorytm ten został podany przez La-grange’a i nosi nazwę metody LaLa-grange’a sprowadzania formy kwadratowej do po-staci kanonicznej.

Niech {e_i}ⁿ_i=1 będzie bazą przestrzeni V , w której forma kwadratowa f ma postać

f (v) =

Możliwe są dwa przypadki:

1. B_ii = 0 dla każdego i = 1, . . . , n;

2. istnieje taki wskaźnik i, że B_ii 6= 0.

Pokażemy, że przez odpowiedni wybór bazy, pierwszy przypadek można zawsze spro-wadzić do przypadku drugiego.

Jeśli forma f jest zerowa to ma postać kanoniczną w każdej bazie i twierdzenie jest wtedy udowodnione. Załóżmy więc, że jest niezerowa, tzn. istnieje para wskaźników (r, s) taka, że B_rs 6= 0. Wprowadzimy nowy układ wektorów:

e⁰_i = e_i gdy i 6= r, i 6= s e⁰_r = e_r+ e_s

e⁰_s = er− es

.

Układ ten tworzy bazę przestrzeni V wtedy i tylko wtedy gdy macierz przejścia S, zdefiniowana relacjami jest nieosobliwa. W rozważanym przypadku:

[S_ij] =

Korzystając z rozwinięcia Laplace’a łatwo sprawdzić, że det S = −2, a zatem układ wektorów {e⁰_i}ⁿ_i=1 jest bazą w przestrzeni V . Obliczając macierz formy kwadratowej f w tej bazie otrzymujemy

B_rr⁰ = B(e⁰_r, e⁰_r) = B(e_r+ e_s, e_r+ e_s) = B_rr+ B_rs+ B_sr+ B_ss= 2B_rs 6= 0 . A zatem w nowej bazie przynajmniej jeden element diagonalny jest różny od zera.

Przejdziemy do analizy drugiego przypadku. Bez ograniczenia ogólności rozważań możemy założyć, że B11 6= 0. Wydzielając w ogólnym wyrażeniu na formę f wyrazy zależące od współrzędnej v¹, można f zapisać w postaci:

f (v) = B₁₁(v¹)²+ 2v¹ Rozważmy liniową zamianę zmiennych:

v⁰¹ = B₁₁v¹+ B₁₂v²+ . . . + B_1nvⁿ

Ponieważ det A = B₁₁ 6= 0, macierz A jest nieosobliwa i istnieje macierz do niej od-wrotna A⁻¹. Z równania (40) i z prawa transformacyjnego dla współrzędnych wektorów

przy zmianie bazy (Tw.8.11) wynika, że zamianę zmiennych (39) możemy potraktować jako zmianę współrzędnych wektora v przy przejściu od bazy {e_i}ⁿ_i=1 do bazy

e⁰_i =

n

X

j=1

A⁻¹
j i e_j .

Z równania (38) wynika, że w bazie {e⁰_i}ⁿ_i=1 forma kwadratowa f ma postać:

f (v) = 1

B₁₁(v⁰¹)²+ f₁(v⁰) gdzie v⁰ =

n

P

i=2

v⁰ⁱe⁰_i =

n

P

i=2

vⁱe_i. Oznaczmy przez V₁ = span{e⁰₂, . . . , e⁰_n}. Wtedy funkcja f₁ jest obcięciem formy kwadratowej do podprzestrzeni V₁ jest więc formą kwadratową na przestrzeni (n − 1)-wymiarowej. Powtarzając rozumowanie dla formy f₁ otrzymamy formę f₂na podprzestrzeni (n−2)-wymiarowej itd. Ostatecznie po n krokach zapiszemy

formę f w postaci kanonicznej. •

Przykład:

Korzystając z metody Lagrange’a sprowadzimy do postaci kanonicznej formę okre-śloną w bazie {e₁, e₂, e₃} przestrzeni trójwymiarowej wzorem

f (v) = 2v¹v²+ 4v¹v³− (v²)² − 8(v³)² . Macierz formy f ma w tej bazie postać

B =





0 1 2

1 −1 0

2 0 −8



 .

Zgodnie z algorytmem szukamy niezerowego elementu diagonalnego. Wybierzmy ele-ment B₃₃= −8. Przepisujemy formę w postaci

f (v) = −8(v³)²+ 2v³(2v¹) + [−(v²)²+ 2v¹v²]

= −1

8(−8v³)²+ 2(−8v³)(2v¹) + (2v¹)² + 1

2(v¹)²− (v²)²+ 2v¹v²

= −1

8 −8v³+ 2v¹
2

+1

2(v¹)²− (v²)²+ 2v¹v²

Możemy teraz postąpić tak jak w dowodzie Twierdzenia, tzn. znaleźć odpowiednią transformację wektorów bazy, ale wygodniej jest wcześniej przeprowadzić podobne ra-chunki dla formy f₁, która w naszym przypadku ma postać:

f₁(v⁰) = 1

2(v¹)²− (v²)²+ 2v¹v² .

Ponieważ oba elementy diagonalne są różne od zera możemy wybrać dowolny z nich.

Jednak nieco łatwiejszy rachunkowo jest drugi element

f₁(v⁰) = −(v²)²− 2v¹v²+ (v¹)² + (v¹)²+1 2(v¹)²

= − v²− v¹
2

+3 2(v¹)² Ostatecznie formę f możemy zapisać w postaci

f (v) = −1

8 −8v³+ 2v¹
2

− v²− v¹
2

+3

2(v¹)² (41) skąd wynika postać odpowiedniej zamiany zmiennych

 Łatwo sprawdzić, że det A = −8 i że macierz odwrotna ma postać:

S = A⁻¹ = −1

Zamianie zmiennych opisanej macierzą A odpowiada więc zmiana bazy opisana macie-rzą przejścia S:

e⁰₁ = e₁+ e₂+¹₄e₃ e⁰₂ = e2

e⁰₃ = −¹₈e₃

Postać kanoniczną formy kwadratowej f w nowej bazie, mozemy odczytać bezpośrednio z równania (41) :

f (v) = 3

2(v⁰¹)²− (v⁰²)²− 1 8(v⁰³)²

lub wyliczyć przy pomocy prawa transformacyjnego dla form dwuliniowych:

B⁰ = S^TBS = Jako prosty wniosek z Tw.10.5. otrzymujemy

Wniosek 10.2 Niech V -będzie n-wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem K. Dla każdej symetrycznej formy dwuliniowej F : V × V → K istnieje taka baza w przestrzeni V , w której macierz formy F jest diagonalna.

Opiszemy teraz inny sposób sprowadzania formy kwadratowej do postaci kanonicz-nej, zwany metodą Jacobiego.

Twierdzenie 10.5 Niech V -będzie n-wymiarową przestrzenią liniową nad cia-łem K, a f : V → K formą kwadratową na V . Niech B = [Bij] będzie macierzą formy biegunowej formy f w bazie {ei}ⁿ_i=1:

f (v) =

k

X

i,j=1

B_ijvⁱv^k .

Jeśli wszystkie minory główne macierzy [B_ij]

∆_k =         

B₁₁ B₁₂ . . . B_1k B₂₁ B₂₂ . . . B_2k ... ... ......... ... B_k1 B_k2 . . . B_kk

        

, k = 1, 2, . . . , n,

są różne od zera, to istnieje baza {e⁰_i}ⁿ_i=1przestrzeni V , w której forma kwadra-towa ma postać

f (v) = ∆₀

∆₁ v⁰¹
2

+ ∆₁

∆₂ v⁰²
2

+ . . . + ∆_n−1

∆_n (v⁰ⁿ)² gdzie ∆₀ = 1 i v =

n

P

i=1

v⁰ⁱe⁰_i.

Dowód: Szukamy bazy {e⁰_i}ⁿ_i=1 w postaci e⁰₁ = S₁¹e₁ ,

e⁰₂ = S₂¹e₁+ S₂²e₂ , ...

e⁰_n = S₂¹e₁+ S₂²e₂+ . . . + S_nⁿe_n .

(42)

Niech B będzie formą biegunową formy kwadratowej f . Żeby sprowadzić formę f do postaci kanonicznej wystarczy tak wybrać współczynniki S_i^j, aby dla każdego j, 1 < j 6 n spełnione były równości

B(e⁰_i, e⁰_j) = B_ij⁰ = 0 dla i = 1, 2, . . . , j − 1. (43) Istotnie dzięki symetrii formy biegunowej różne od zera będą wtedy tylko elementy dia-gonalne. Poszukiwanie rozwiązań układu (43) nie jest wygodne ponieważ lewe strony

W dokumencie Moj ulubiony skrypt do algebry liniowej (Stron 192-200)