1 0 0 0 0
0 −1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
7.3 Rozwiązywanie układów równań liniowych przy pomocy wzorów Cramera
Rozważmy układ równań liniowych o współczynnikach z ciała K:
A11x1 + A12x2 + . . . + A1nxn = C1 A21x1 + A22x2 + . . . + A2nxn = C2
... Am1 x1 + Am2 x2 + . . . + Amnxn = Cm
(12)
Korzystając z pojęcia rzędu macierzy Twierdzenie 7.1 można sformułować następująco:
Twierdzenie 7.7 (Kroneckera-Capelliego) Układ równań liniowych (12) jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy współczynników tego układu jest równy rzędowi jego macierzy rozszerzonej.
Załóżmy teraz, że warunek, o którym mowa w twierdzeniu Kroneckera-Capelliego jest spełniony i że rząd macierzy współczynników A = [Aij] jest równy r. Na mocy Tw.7.4 rząd macierzy A jest równy rzędowi największego nie znikającego minora tej macierzy. Bez utraty ogólności rozważań możemy założyć, że jest to minor główny:
D =
A11 A12 . . . A1r A21 A22 . . . A2r ... ... ... ... Ar1 Ar2 . . . Arr
6= 0 .
Istotnie, zmieniając kolejność równań i numerację niewiadomych możemy zawsze do-prowadzić do takiej sytuacji. Ponieważ wszystkie minory stopnia większego od r ma-cierzy rozszerzonej układu (12) są równe zeru to wiersze o numerach j = r + 1, . . . , m muszą być liniowymi kombinacjami pierwszych r wierszy. Oznacza to, że równania od r + 1 do m są liniowymi kombinacjami pierwszych r równań układu i możemy je pominąć.
Ograniczając się do pierwszych r równań i przenosząc na prawą stronę wyrazy z niewiadomymi xj, j = r + 1, . . . , n, otrzymujemy układ:
A11x1 + A12x2 + . . . + A1rxr = C1− A1r+1xr+1− . . . − A1nxn A21x1 + A22x2 + . . . + A2rxr = C2− A2r+1xr+1− . . . − A2nxn
...
Ar1x1 + Ar2x2 + . . . + Arrxr = Cr− Arr+1xr+1− . . . − Arnxn
(13)
Dla dowolnych ustalonych wartości niewiadomych xr+1, . . . , xn ∈ K układ ten można rozwiązać względem niewiadomych x1, . . . , xr korzystając ze wzorów Cramera. Wiemy z Tw.6.13, że takie rozwiązanie jest jedyne. A zatem ogólne rozwiązanie układu można przedstawić w postaci
x1(xr+1, . . . , xn) ...
xr(xr+1, . . . , xn) xr+1
... xn
gdzie niewiadome xr+1, . . . , xn są dowolne i możemy je traktować jako parametry, a pozostałe niewiadome są ich funkcjami określonymi jednoznacznie wzorami Cramera.
W szczególnym przypadku układu jednorodnego zbiór wszystkich rozwiązań tworzy podprzestrzeń liniową przestrzeni Km. W tym przypadku z omówionej wyżej metody Cramera wynika następujące twierdzenie.
Twierdzenie 7.8 Niech A = [Aij] ∈ Mm×n(K) będzie macierzą rzędu r.
Wtedy zbiór rozwiązań jednorodnego układu równań
Ai1x1+ Ai2x2 + . . . Ainxn = 0 , i = 1, . . . , m, jest n − r wymiarową podprzestrzenią liniową Kn.
Tw.7.8 razem z Tw.7.2 daje pełną charakterystykę przestrzeni rozwiązań układu niejednorodnego.
Przykład
Rozwiązać metodą Cramera układ równań
2x − y − z + 3u = 1
4x − 2y − z + u = 5
6x − 3y − z − u = 9
2x − y + 2z − 12u = 10
Rozszerzona macierz tego układu ma postać:
Zbadamy najpierw rząd tej macierzy. Skorzystamy w tym celu z operacji elementarnych i pierwszym wierszem zerujemy pierwszą kolumnę
Już na tym etapie możemy zauważyć, że pierwszy i drugi wiersz są liniowo niezależne, a wiersze trzeci i czwarty są proporcjonalne do wiersza drugiego. To samo dotyczy macierzy współczynników. Zatem rząd obu macierzy jest ten sam i wynosi 2.
Szukamy w macierzy B niezerowego minora stopnia 2. Minor główny tego stopnia znika, łatwo jednak zauważyć, że różny od zera jest minor
A1,2
Ponieważ wiemy już, że rząd macierzy rozszerzonej wynosi 2 możemy pominąć równa-nia, które nie dają wkładu do minora A1,2
2,3. Otrzymujemy układ
2x − y − z + 3u = 1
4x − 2y − z + u = 5
który przekształcamy do postaci cramerowskiej, w której macierz współczynników od-powiada minorowi A1,2
2,3, a niewiadome x i u traktujemy jako parametry:
− y − z = 1 − 2x − 3u
− 2y − z = 5 − 4x − u
Korzystając z wzorów Cramera otrzymujemy
y =
z =
−1 (1 − 2x − 3u)
−2 (5 − 4x − u)
−1 −1
−2 −1
= −5 + 4x + u + 2 − 4x − 6u
−1
= 5u + 3
Ogólne rozwiązanie układu ma więc postać:
x 2x − 2u − 4 5u + 3 u
gdzie x i u są dowolnymi elementami ciała.
7.4 Metoda eliminacji Gaussa
Metoda rozwiązywania układów równań liniowych opisana w poprzednim podrozdziale jest żmudna rachunkowo i ma raczej znaczenie teoretyczne. Możemy np. na podstawie znajomości rzędu macierzy współczynników ocenić liczbę dowolnych parametrów w rozwiązaniu ogólnym.
Znacznie skuteczniejszą metodą jest metoda eliminacji Gaussa polegająca na przekształcaniu układu równań do postaci górno-trójkątnej. Opis tej metody rozpocz-niemy od wprowadzenia przekształceń elementarnych układu równań.
Definicja 7.6 Przekształcenie układu równań liniowych o macierzy rozsze-rzonej B ∈ Mm×(n+1)(K) do układu równań o macierzy rozszerzonej B0 ∈ Mm×(n+1)(K) nazywamy przekształceniem elementarnym jeżeli macierze B0 można otrzymać z macierzy B przez zastosowanie do wierszy tej macierzy jednej z operacji elementarnych opisanych w Def.7.5. tzn. poprzez:
i. przestawienie dwóch dowolnych wierszy macierzy B;
ii. pomnożenie dowolnego wiersza macierzy B przez skalar λ 6= 0;
iii. dodanie do wiersza dowolnej kombinacji liniowej pozostałych wierszy.
Twierdzenie 7.9 Układ równań liniowych otrzymany przez przekształcenie elementarne jest równoważny układowi pierwotnemu tzn. albo oba układy są sprzeczne, albo oba mają dokładnie taki sam zbiór rozwiązań.
Dowód: Na mocy twierdzenia Kronekera-Capelliego układ jest sprzeczny wtedy i tylko wtedy gdy macierz układu i rozszerzona macierz układu mają różne rzędy. Przekształ-cenia elementarne macierzy rozszerzonej układu B są jednocześnie przekształPrzekształ-ceniami elementarnymi macierzy współczynników układu. Ponieważ na mocy Tw.7.5. rząd macierzy jest niezmiennikiem operacji elementarnych pierwsza część twierdzenia jest udowodniona.
Załóżmy teraz, że oba układy są niesprzeczne. Jest oczywiste, że przekształcenia elementarne typu i. i ii. nie zmieniają układu równań. Oznaczmy przez O0 układ równań otrzymany z układu O przez dodanie do jednego z równań kombinacji liniowej pozostałych. Jest oczywiste, że wszystkie rozwiązania układu O są rozwiązaniami układu O0. Łatwo zauważyć, że również układ O można otrzymać z układu O0 przez dodanie do jednego z równań liniowej kombinacji pozostałych. A zatem na mocy poprzedniego argumentu wszystkie rozwiązania układu O0 są rozwiązaniami układu
O, co kończy dowód. •
Rozważmy układ równań liniowych o współczynnikach z ciała K:
A11x1 + A12x2 + . . . + A1nxn = C1 A21x1 + A22x2 + . . . + A2nxn = C2
... Am1 x1 + Am2 x2 + . . . + Amnxn = Cm
(14)
Metodę Gaussa można sformułować jako następujący algorytm:
1. Jeżeli wszystkie współczynniki Aij w i-tym równaniu są równe zeru, to spraw-dzamy, czy i-ty wyraz wolny Ci jest równy zeru. Jeżeli Ci = 0 to i-te równanie jest spełnione tożsamościowo dla dowolnych wartości niewiadomych xj i może być pominięte. Jeżeli Ci 6= 0 to i-te równanie jest sprzeczne i układ nie ma rozwiązań.
2. Jeżeli po wykonaniu pierwszego kroku nie okazało się, że któreś z równań jest sprzeczne to możemy założyć, że przynajmniej jeden ze współczynników w każ-dym z pozostałych równań jest różny od zera. Zmieniając numerację niewiado-mych można zawsze doprowadzić do sytuacji, w której A11 6= 0. Mnożąc pierwsze równanie przez
−Aj1 A11
i dodając do j-tego równania dla j = 2, 3, . . . , n otrzymujemy układ A11x1 + A12x2 + . . . + A1nxn = C1
D22x2 + . . . + Dn2xn = E2 ... D2mx2 + . . . + Dnmxn = Em
(15)
który, na mocy Tw.7.8 jest równoważny układowi wyjściowemu (14).
3. Kroki 1 i 2 powtarzamy dla układu
D22x2 + . . . + D2nxn = E2 ... Dm2 x2 + . . . + Dmnxn = Em
(16)
Zauważmy, że operacje zawarte w tych krokach nie zmieniają pierwszego równania układu (15), z wyjątkiem, być może zmiany numeracji niewiadomych x2, . . . , xn. 4. Po skończonej liczbie kroków, jeżeli układ nie jest sprzeczny, albo nie pozo-staje żadne równanie, albo otrzymujemy układ równoważny w postaci górno-trójkątnej:
K11x1 + K21x2 + . . . + Kr1xr + . . . + Kn1xn = L1 K22x2 + . . . + Kr2xr + . . . + Kn2xn = L2
... Krrxr + . . . + Knrxn = Lr
(17)
gdzie K11 6= 0, K22 6= 0, . . . , Krr 6= 0 .
5. W pierwszym przypadku dowolny ciąg skalarów x1, . . . , xn jest rozwiązaniem układu.
W drugim przypadku tzn. dla r ≥ 1 układ (17) można rozwiązać „od końca”wyznaczając niewiadomą xr z ostatniego równania
xr = Lr Krr −
n
X
j=r+1
Kjr Krrxj .
6. Wstawiając xr wyliczoną w poprzednim kroku do pozostałych równań układu otrzymujemy układ r − 1 równań w postaci górno-trójkątnej, do którego powtór-nie można zastosować postępowapowtór-nie z poprzedpowtór-niego kroku.
7. Po skończonej liczbie kroków otrzymamy rozwiązanie, w którym niewiadome x1, . . . , xrsą funkcjami niewiadomych xr+1, . . . , xn, które przyjmują dowolne war-tości i mogą być traktowane jako parametry.
Przykład
Dla porównania rozwiążemy metodą Gaussa przykład z poprzedniego podrozdziału.
Mamy znaleźć wszystkie rozwiązania układu:
2x − y − z + 3u = 1
4x − 2y − z + u = 5
6x − 3y − z − u = 9
2x − y + 2z − 12u = 10
Rozszerzona macierz tego układu ma postać:
B =
2 −1 −1 3 1
4 −2 −1 1 5
6 −3 −1 −1 9
2 −1 2 −12 10
Stosujemy metodę Gaussa:
• Pierwszym wierszem zerujemy pierwszą kolumnę
2 −1 −1 3 1
0 0 1 −5 3
0 0 2 −10 6
0 0 3 −15 9
• Drugim wierszem zerujemy wiersz trzeci i czwarty
2 −1 −1 3 1
0 0 1 −5 3
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
i otrzymujemy układ dwóch równań w postaci górnotrójkątnej 2x − y − z + 3u = 1
z − 5u = 3
• Drugie równanie możemy rozwiązać, albo względem niewiadomej z traktując drugą niewiadomą jako dowolny parametr, albo odwrotnie, względem u trak-tując z jako parametr. O wyborze decyduje zwykle prostota rachunków. W rozważanym równaniu łatwiej wyrazić z przez u:
z = 5u + 3 .
• Równanie na z wstawiamy do pierwszego równania:
2x − y − 5u − 3 + 3u = 2x − y − 2u − 3 = 1 .
Decydujemy, którą z niewiadomych x czy y wybrać jako dowolny parametr. Wy-bierając x otrzymujemy
y = 2x − 2u − 4 .
• Rozwiązanie ma więc postać:
Uwaga: W ostatnim kroku moglibyśmy wybrać jako parametr niewiadomą y i rozwiązać ostatnie równanie względem x:
x = 1
2y + u + 2 .
Przy takim wyborze parametrów rozwiązanie ogólne ma postać
gdzie y i u są dowolne. Jest to inna, ale oczywiście równoważna parametryzacja tego samego zbioru rozwiązań.