Notatki do wykładu z algebry
2007/08Zbigniew Jaskólski
1Instytut Fizyki Teoretycznej Uniwersytet Wrocławski
Spis treści
1 Elementy logiki formalnej 5
1.1 Zdania i operacje logiczne . . . 5
1.2 Tautologie . . . 8
1.3 Kwantyfikatory . . . 10
2 Elementy teorii mnogości 11 2.1 Zbiory . . . 11
2.2 Relacje . . . 15
2.3 Funkcje . . . 19
2.4 Zasada indukcji matematycznej . . . 26
3 Grupy 28 3.1 Działanie w zbiorze . . . 28
3.2 Grupa . . . 33
3.3 Grupa symetryczna, permutacje . . . 34
3.4 Podgrupy . . . 42
3.5 Dzielnik normalny i grupa ilorazowa . . . 45
3.6 Homomorfizmy grup . . . 49
4 Ciała 53 4.1 Definicja . . . 53
4.2 Rozwiązywanie równań i rozszerzanie ciała liczb rzeczywistych. . . 54
4.3 Ciało liczb zespolonych . . . 56
4.4 Reprezentacje liczb zespolonych . . . 61
4.5 Wielomiany . . . 65
5 Przestrzenie liniowe 73 5.1 Definicja . . . 73
5.2 Podprzestrzenie liniowe . . . 75
5.3 Wektory liniowo niezależne . . . 77
5.4 Baza i wymiar przestrzeni . . . 80
5.5 Przekrój i suma podprzestrzeni, suma prosta. . . 86
5.6 Przestrzeń ilorazowa . . . 89 6 Macierze i wyznaczniki 92 6.1 Macierze . . . 92 6.2 Wyznaczniki . . . 97 6.3 Własności wyznacznika . . . 106 6.4 Twierdzenie Cauchy’ego . . . 111
7 Układy równań liniowych 118
7.1 Twierdzenie Kroneckera-Capelliego . . . 118
7.2 Rząd macierzy . . . 121
7.3 Rozwiązywanie układów równań liniowych przy pomocy wzorów Cramera127 7.4 Metoda eliminacji Gaussa . . . 130
7.5 Zadania . . . 134
8 Przekształcenia liniowe. 144 8.1 Przekształcenia liniowe . . . 144
8.2 Izomorfizmy przestrzeni liniowych . . . 148
8.3 Macierz przekształcenia liniowego . . . 153
8.4 Zmiana bazy, macierz przejścia . . . 159
8.5 Automorfizmy i macierze nieosobliwe . . . 164
9 Struktura przekształceń liniowych 165 9.1 Podprzestrzenie niezmiennicze . . . 165
9.2 Wektory i wartości własne . . . 170
9.3 Diagonalizacja . . . 176
10 Formy liniowe, dwuliniowe i kwadratowe 185 10.1 Formy liniowe . . . 185
10.2 Formy dwuliniowe . . . 190
10.3 Formy kwadratowe . . . 192
10.4 Formy kwadratowe na przestrzeniach rzeczywistych . . . 202
11 Rzeczywiste przestrzenie liniowe z iloczynem skalarnym 207 11.1 Przestrzenie euklidesowe . . . 207
11.2 Baza ortonormalna w przestrzeni euklidesowej . . . 213
11.3 Przekształcenia ortogonalne . . . 219
11.4 Struktura przekształceń ortogonalnych . . . 223
11.5 Przestrzeń Minkowskiego . . . 230
12 Zespolone przestrzenie liniowe z iloczynem skalarnym 232 12.1 Hermitowskie formy dwuliniowe . . . 232
12.2 Przestrzenie unitarne . . . 237
12.3 Przekształcenia unitarne . . . 238
12.4 Sprzężenie hermitowskie przekształcenia liniowego . . . 240
13 Tensory 249
13.1 Tensory - własności transformacyjne . . . 249
13.2 Formy wieloliniowe . . . 254
13.3 Tensory symetryczne i antysymetryczne . . . 255
1
Elementy logiki formalnej
1.1
Zdania i operacje logiczne
W każdej teorii matematycznej występuje zespół pojęć pierwotnych, przy pomocy których można ściśle sformułować wszystkie inne pojęcia, aksjomaty i twierdzenia. Pojęć pierwotnych nie można precyzyjnie zdefiniować (wymagałoby to innych, jeszcze bardziej podstawowych pojęć), poprzestajemy więc na ich intuicyjnym określeniu.
W przypadku logiki formalnej, którą zajmiemy się w tym rozdziale pojęciami pier-wotnymi są zdania i operacje logiczne.
Zdaniem logicznym (lub zdaniem) nazywamy stwierdzenie, które jest
albo prawdziwe, albo fałszywe. Jeżeli zdanie jest prawdziwe to przypisu-jemu mu wartość logiczną 1, jeżeli jest fałszywe to ma wartość logiczną 0.
Uwagi:
1. Wartości logiczne 0, 1 to kwestia umowy, istotne jest to, że są tylko dwie. Z tego powodu omawianą logikę nazywa się czasem dwuwartościową.
2. Zdania będziemy oznaczać symbolami literowymi, np. p, q, r, s, . . ..
Przykłady:
1. “ Dzisiejszą datą jest 02 października 2006 roku.” jest zdaniem logicznym. 2. “ Liczba π jest liczbą wymierną.” jest zdaniem logicznym (fałszywym). 3. “ π jest literą alfabetu greckiego.” jest zdaniem logicznym (prawdziwym). 4. “Czy jutro jest środa?” nie jest zdaniem logicznym.
Operacją logiczną (lub funktorem zdaniotwórczym) nazywamy
ope-rację dzięki której ze zdań logicznych budujemy nowe zdania logiczne.
Przegląd definicji podstawowych operacji logicznych rozpoczniemy od operacji, któ-rej argumentem jest tylko jedno zdanie.
Definicja 1.1 Negacją zdania p nazywamy zdanie ∼ p, którego wartość
lo-giczną definiujemy następująco :
– jeżeli p ma wartość logiczną 1, to ∼ p ma wartość logiczną 0; – jeżeli p ma wartość logiczną 0, to ∼ p ma wartość logiczną 1.
Uwagi:
1. Zauważmy, że dzięki podanym w Def.1.1. regułom przyporządkowywania warto-ści logicznych, zdanie ∼ p ma dobrze określoną wartość logiczną tzn. jest albo prawdziwe albo fałszywe, a więc jest zdaniem logicznym. Negacja przekształca-jąca zdanie p w zdanie ∼ p jest, więc operacją logiczną.
2. Zdanie ∼ p oznacza “nieprawda, że p” lub po prostu “nie p”.
3. Regułę według której przyporządkowujemy zdaniu ∼ p wartości logiczne wygod-nie jest podać przy pomocy tabeli wartości:
p ∼ p
1 0
0 1
Zajmiemy się teraz operacjami logicznymi, które z dwóch zdań tworzą trzecie. Zde-finiujemy je przy pomocy tabelek wartości logicznych.
Definicja 1.2 Koniunkcją zdań p i q nazywamy zdanie p∧q, którego wartość
logiczną określa tabela:
p q p ∧ q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Uwagi:
1. Koniunkcja zdań p ∧ q oznacza zdanie “p i q”.
2. Koniunkcja zdań jest prawdziwa tylko wtedy gdy oba zdania są prawdziwe.
Definicja 1.3 Alternatywą zdań p i q nazywamy zdanie p ∨ q, którego
war-tość logiczną określa tabela:
p q p ∨ q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
Uwagi:
1. Alternatywa zdań p ∧ q oznacza zdanie “p lub q”.
2. Alternatywa zdań jest fałszywa tylko wtedy gdy oba zdania są fałszywe.
Definicja 1.4 Implikacją nazywamy zdanie p ∨ q utworzone ze zdań p i q,
którego wartość logiczną określa tabela:
p q p ⇒ q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
W implikacji p ⇒ q, zdanie p nazywamy założeniem, a zdanie q tezą impli-kacji.
Uwagi:
1. Implikacja p ⇒ q oznacza zdanie “jeżeli p to q”.
2. Implikacja jest fałszywa tylko wtedy gdy założenie jest prawdziwe, a teza jest fałszywa (z prawdy nie może wynikać fałsz).
Definicja 1.5 Równoważnością zdań p i q nazywamy zdanie p ⇔ q, którego
wartość logiczną określa tabela:
p q p ⇔ q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Uwagi:
1. Równoważność zdań p ⇔ q oznacza zdanie “p wtedy i tylko wtedy gdy q”. 2. Równoważność zdań jest prawdziwa tylko wtedy gdy oba zdania są jednocześnie
1.2
Tautologie
Definicja 1.6 Tautologią nazywamy zdanie logiczne, które jest zawsze
praw-dziwe.
Uwagi:
1. Wszystkie twierdzenia w matematyce są tautologiami.
2. Wykazanie czy dane zdanie jest tautologią nazywamy dowodem tautologii. 3. W ramach logiki formalnej tautologie konstruowane są najczęściej przy pomocy
operacji logicznych ze zdań, które mogą przybierać dowolne wartości logiczne. Dowód polega wtedy na obliczeniu wartości logicznej tautologii dla wszystkich możliwych wartości logicznych tworzących ją zdań.
Przykład: Sprawdzimy, czy zdanie p ∨ ∼ p jest tautologią. Skorzystamy w tym
celu z ostatniej uwagi. Obliczanie wartości logicznej zdania p ∨ ∼ q dla wszystkich możliwych wartości logicznych zdania p wygodnie jest zorganizować w postaci tabelki:
p ∼ q p ∨ ∼ p
0 1 1
1 0 1
Tautologie, które są szczególnie często wykorzystywane sformułujemy w postaci twierdzeń.
Twierdzenie 1.1 Następujące zdania są tautologiami:
i) (p ⇔ q) ⇔ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ii) (p ⇒ q) ⇔ ∼ (p ∧ ∼ q) iii) (p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒ ∼ p )
Uwagi:
1. Pierwsza tautologia wyraża dobrze znaną zasadę, że udowodnienie równoważności jest równoznaczne z udowodnieniem implikacji w “obie strony”.
2. Druga tautologia wyraża ideę dowodu przez sprowadzenie do absurdu. Mówi ona, że implikacja p ⇒ q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy koniunk-cja p ∧ ∼ q jest fałszywa. Żeby udowodnić implikację p ⇒ q wystarczy więc pokazać, że założenie prawdziwości p i nieprawdziwości q prowadzi do sprzeczno-ści.
3. Trzecia tautologia jest podstawą rozumowania zwanego dowodem nie wprost. Wynika z niej, że dla udowodnienia implikacji p ⇒ q wystarczy wykazać impli-kację “odwrotną” ∼ q ⇒ ∼ p.
Dowód:
Udowodnimy, że zdanie i) jest tautologią przez obliczenie jego wartości logicznej dla wszystkich możliwych wartości logicznych tworzących je zdań:
p q a p ⇒ q b q ⇒ p R a ∧ b L p ⇔ q L ⇔ R 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
ii) Postępujemy tak jak w punkcie pierwszym:
p q L p ⇒ q ∼ q a p ∧ ∼ q R ∼ a L ⇔ R 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1
iii) Dowód tego punktu pozostawiamy jako zadanie. •
Twierdzenie 1.2 Następujące zdania są tautologiami
i. prawa łączności
p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r
ii. prawa rozdzielności
p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
iii. prawa de Morgana
∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p) ∧ (∼ q) ∼ (p ∧ q) ⇔ (∼ p) ∨ (∼ q)
1.3
Kwantyfikatory
Definicje operacji logicznych zwanych kwantyfikatorami wymagają pojęcia zbioru. Zbiór
jest pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Zbiór rozumiemy intuicyjnie
jako coś co składa się ze swoich elementów. Będziemy stosować następujące oznaczenia:
A, B, C, . . . − zbiory
a ∈ A − a jest elementem zbioru A a należy do zbioru A a /∈ A − a nie jest elementem zbioru A
a nie należy do zbioru A
Definicja 1.7 Niech φ(a) będzie zdaniem dla każdego elementu a ze zbioru A. Kwantyfikatorem ogólnym nazywamy operację logiczną, która ze wszystkich
zdań φ(a) tworzy nowe zdanie
∀ a ∈ A : φ(a)
które jest prawdziwe tylko wtedy gdy dla każdego a ∈ A zdanie φ(a) jest praw-dziwe.
Uwagi:
1. Zdanie “∀ a ∈ A : φ(a)„ czytamy: dla każdego a ze zbioru A, φ(a). 2. Stosowane jest często inne oznaczenie na kwantyfikator ogólny:
^
a∈A
φ(a)
≡ ∀ a ∈ A : φ(a)
Definicja 1.8 Niech φ(a) będzie zdaniem dla każdego elementu a ze zbioru
A. Kwantyfikatorem szczególnym nazywamy operację logiczną, która ze
wszystkich zdań φ(a) tworzy nowe zdanie
∃ a ∈ A : φ(a)
które jest prawdziwe tylko wtedy gdy przynajmniej dla jednego
Uwagi:
1. Zdanie “∃ a ∈ A : φ(a)„ czytamy: istnieje takie a ze zbioru A, że φ(a). 2. Stosowane jest często inne oznaczenie na kwantyfikator szczególny:
_
a∈A
φ(a)
≡ ∃ a ∈ A : φ(a)
Twierdzenie 1.3 Prawa de Morgana
Następujące zdania są tautologiami
∼ (∀ a ∈ A : φ(a)) ⇔ ∃ a ∈ A : ∼ φ(a) ∼ (∃ a ∈ A : φ(a)) ⇔ ∀ a ∈ A : ∼ φ(a)
2
Elementy teorii mnogości
2.1
Zbiory
W poprzednim rozdziale, przy okazji definicji kwantyfikatorów, wprowadziliśmy pojęcie zbioru jako pojęcie pierwotne (a więc takie, którego nie definiujemy).
Zbiór rozumiemy intuicyjnie jako dowolną rodzinę obiektów zwanych ele-mentami tego zbioru.
Zgodnie z takim rozumieniem wskazanie konkretnego zbioru polega na wskazaniu wszystkich jego elementów.
W sytuacji gdy liczba elementów zbioru jest skończona zbiór możemy określić przez podanie wszystkich jego elementów a1, a2, . . . , an. Na oznaczenie takiego zbioru
uży-wamy symbolu
{a1, a2, . . . , an} .
Jeżeli chcemy taki zbiór oznaczyć jedną literą np. A to piszemy A = {a1, a2, . . . , an} .
W wielu przypadkach wyliczenie wszystkich elementów zbioru jest niewygodne lub niemożliwe (np. wtedy gdy liczba elementów jest nieskończona). Wtedy określamy
zbiór przez podanie własności, którą muszą spełniać jego elementy. Stosujemy wtedy oznaczenie:
{a : ω(a)}
gdzie ω(a) jest zdaniem logicznym zależnym od a, opisującym warunek jaki muszą spełniać elementy zbioru:
b ∈ {a : ω(a)} ⇔ ω(b)
Dla pewnych szczególnie ważnych zbiorów przyjęto standardowe oznaczenia, których będziemy przestrzegać. Dotyczy to przede wszystkim zbiorów liczbowych:
N − zbiór liczb naturalnych (bez zera) Z − zbiór liczb całkowitych
Q − zbiór liczb wymiernych R − zbiór liczb rzeczywistych
Definicja 2.1 Zbiorem pustym nazywamy zbiór, który nie zawiera żadnego
elementu. Zbiór pusty oznaczamy symbolem ∅.
Definicja 2.2 Zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B jeżeli
a ∈ A ⇒ a ∈ B .
Jeżeli A jest podzbiorem zbioru B to mówimy również, że A zawiera się w B i piszemy A ⊂ B.
Mówimy, że zbiory A, B są równe i piszemy A = B jeżeli
a ∈ A ⇔ a ∈ B .
Uwagi:
1. Zgodnie z definicją A ⊂ B wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru A należy do zbioru B.
2. Korzystając z podanych definicji i z Tw.1.1.i mamy A = B ⇔ (A ⊂ B ∧ B ⊂ A) . 3. Dla każdego zbioru A mamy:
Definicja 2.3 Podzbiory ∅, A zbioru A nazywamy niewłaściwymi podzbio-rami zbioru A. Wszystkie pozostałe podzbiory zbioru A nazywamy właści-wymi.
Omówimy teraz cztery podstawowe operacje na zbiorach.
Definicja 2.4
Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór
A ∪ B = {a : a ∈ A ∨ a ∈ B} .
Iloczynem lub przekrojem zbiorów A i B nazywamy zbiór
A ∩ B = {a : a ∈ A ∧ a ∈ B} . Suma i iloczyn zbiorów są przemienne, łączne i rozdzielne:
Twierdzenie 2.1 Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą następujące związki: i. przemienność A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A ii. łączność (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) iii. rozdzielność A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Dowód:
Twierdzenie wynika z przyjętych przez nas definicji sumy i iloczynu zbiorów oraz z Tw.1.2. Rozważmy jako przykład prawo rozdzielności sumy względem iloczynu:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) . (1) Oznaczmy, odpowiednio przez p, q, r zdania logiczne a ∈ A, a ∈ B, a ∈ C. Wtedy, zgodnie z Def.2.4.
a ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇔ p ∧ (q ∧ r) a ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Na mocy Tw.1.2. prawe strony powyższych równoważności są równoważne, a zatem a ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇔ a ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
co zgodnie z Def.2.2. oznacza równość zbiorów (1).
Równie łatwo dowodzimy pozostałych równości. •
Bezpośrednio z definicji dowodzimy także następującego twierdzenia:
Twierdzenie 2.2 Dla dowolnych zbiorów A, B zachodzą następujące związki:
A ⊂ A ∪ B A ∩ B ⊂ A
A ∪ ∅ = A A ∩ ∅ = ∅
A ∪ A = A A ∩ A = A
Dowód: Jako przykład rozważymy dowód równości A ∪ ∅ = A. Na mocy definicji
równości zbiorów (Def.2.2) A ∪ ∅ = A jeżeli
a ∈ A ∪ ∅ ⇔ a ∈ A . Z kolei, na mocy definicji sumy zbiorów (Def.2.4) mamy
a ∈ A ∪ ∅ ⇔ a ∈ A ∨ a ∈ ∅ .
A zatem A ∪ ∅ = A wtedy i tylko wtedy gdy następujące zdanie jest prawdziwe
a ∈ A ∨ a ∈ ∅ ⇔ a ∈ A . (2)
Zauważmy, że zgodnie z definicją zbioru pustego (Def.2.1), zdanie a ∈ ∅ jest zawsze fałszywe. A zatem, żeby sprawdzić czy zdanie (2) jest tautologią wystarczy wyliczyć jego wartość logiczną dla wszystkich możliwych wartości logicznych zdania a ∈ A:
a ∈ A a ∈ ∅ a ∈ A ∨ a ∈ ∅ a ∈ A ∨ a ∈ ∅ ⇔ a ∈ A
1 0 1 1
0 0 0 1
•
Operacje sumy i iloczynu mogą być uogólnione na dowolną rodzinę zbiorów:
Definicja 2.5 Niech A = {At : t ∈ T } będzie rodziną zbiorów
parametryzo-waną indeksem t ∈ T . [ t∈T At= {a : ∃t ∈ T : a ∈ At} . \ t∈T At= {a : ∀t ∈ T : a ∈ At} .
Definicja 2.6
Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór
A \ B = {a : a ∈ A ∧ a /∈ B} .
Często ograniczamy się do rozważania podzbiorów pewnego ustalonego zbioru X. W takich sytuacjach zbiór X nazywany jest przestrzenią.
Definicja 2.7
Dopełnieniem zbioru A ⊂ X w przestrzeni X nazywamy zbiór
Ac = {a ∈ X : a /∈ A} .
Wprost z definicji oraz z Tw.1.3. otrzymujemy
Twierdzenie 2.3 Prawa de Morgana
Dla dowolnych zbiorów A, B ⊂ X zachodzi
(A ∪ B)c = Ac∩ Bc
(A ∩ B)c = Ac∪ Bc
2.2
Relacje
Definicja 2.8 Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór
utworzony ze wszystkich par uporządkowanych (a, b) takich, że a ∈ A, b ∈ B:
A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B} .
Przykład:
Niech A = {0, 1}, B = {x, y, z}. Wtedy zgodnie z definicją A × B = {(0, x), (0, y), (0, z), (1, x), (1, y), (1, z)}
Uwaga: Pojęcie iloczynu kartezjańskiego łatwo się uogólnia na dowolną skończoną
rodzinę zbiorów {A1, . . . , An}: n
Y
i=1
Jeżeli wszystkie czynniki iloczynu kartezjańskiego są identyczne tzn. Ai = A, i =
1, 2, . . . , n to stosujemy uproszczony zapis
An = A × A × . . . × A
| {z }
n razy
Definicja 2.9 Relacją określoną na zbiorach A i B nazywamy dowolny
pod-zbiór R iloczynu kartezjańskiego A × B.
O elementach a ∈ A, b ∈ B mówimy, że są w relacji R i piszemy aRb jeżeli
(a, b) ∈ R, tzn.
aRb ⇔ (a, b) ∈ R .
Jeżeli A = B to mówimy, że relacja R ⊂ A × A jest określona w A.
Uwaga: Podobnie jak wiele innych zbiorów relacje najczęściej definiujemy przez
po-danie warunku jaki muszą spełniać elementy a ∈ A i b ∈ B, żeby (a, b) ∈ R. Warunek taki ma postać zdania logicznego ω(a, b), które zależy od dwóch zmiennych a i b. Re-lacja jest wtedy jednoznacznie zadana poprzez warunek
aRb ⇔ ω(a, b) .
Przykłady:
1. Relacja prostopadłości ⊥ w zbiorze P wszystkich prostych na płaszczyźnie. s⊥ t ⇔ (prosta s jest prostopadła do prostej t)
⊥ = {(s, t) ∈ P2 : s⊥ t}
2. Relacja równoległości k w zbiorze P wszystkich prostych na płaszczyźnie. skt ⇔ (prosta s jest równoległa do prostej t)
k = {(s, t) ∈ P2 : skt} 3. Relacja podzielności | w zbiorze liczb wymiernych Q :
x| y ⇔ (liczba x jest dzielnikiem liczby y) | = {(x, y) ∈ Q2 : x| y}
Definicja 2.10 Relację R ⊂ A × A określoną na zbiorze A nazywamy:
• zwrotną jeżeli
∀a ∈ A : aRa ; • symetryczną jeżeli
∀a, b ∈ A : aRb ⇔ bRa ;
• przechodnią jeżeli
∀a, b, c ∈ A : (aRb ∧ bRc) ⇔ aRc ;
Relację R ⊂ A × A określoną na zbiorze A, która jest zwrotna, symetryczna i przechodnia nazywamy relacją równoważności.
Przykłady:
1. Relacja prostopadłości ⊥ w P jest symetryczna, ale nie jest ani zwrotna, ani przechodnia.
2. Relacja równoległości k w P jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.
3. Relacja podzielności | w Q jest zwrotna i przechodnia, ale nie jest symetryczna.
Uwaga: Relacje równoważności odgrywają w matematyce bardzo ważną rolę.
Po-zwalają organizować elementy zbiorów, na których są określone, w rozłączne klasy elementów równoważnych. Omówimy dokładniej na czym ten mechanizm polega.
Definicja 2.11 Niech R ⊂ A × A będzie relacją równoważności określoną na
zbiorze A. Klasą abstrakcji (warstwą) elementu b ∈ A względem relacji R nazywamy zbiór:
Twierdzenie 2.4 Niech R ⊂ A × A będzie relacją równoważności określoną
na zbiorze A. Klasy abstrakcji relacji R mają następujące własności: i. ∀a ∈ A : a ∈ [ a ]R ; ii. ∀a, b ∈ A : aRb ⇔ [ a ]R = [ b ]R ; iii. ∀a, b ∈ A : ∼ aRb ⇒ [ a ]R∩ [ b ]R= ∅ ;
Dowód: Własność i. jest spełniona ponieważ relacja równoważności jest zwrotna, a
zatem dla każdego a ∈ A, aRa i wobec definicji klasy abstrakcji a ∈ [ a ]R.
Niech aRb. Pokażemy, że wtedy [ a ]R ⊂ [ b ]R. Niech c ∈ [ a ]R, zatem cRa.
Ponieważ relacja R jest przechodnia to
cRa ∧ aRb ⇒ cRb
a zatem c ∈ [ b ]R. Rozumowanie to jest słuszne dla każdego c ∈ [ a ]R, a więc [ a ]R ⊂
[ b ]R. Przeprowadzając identyczne rozumowanie z zamianą a na b otrzymamy [ b ]R ⊂
[ a ]R, a więc [ a ]R= [ b ]R co kończy dowód własności ii..
W celu udowodnienia własności iii. posłużymy się metodą dowodu nie wprost. Zgodnie z tą metodą mamy wykazać implikację:
[ a ]R∩ [ b ]R6= ∅ ⇒ aRb
Załóżmy więc, że [ a ]R∩ [ b ]R 6= ∅. Oznacza to, że istnieje taki element c ∈ A, że
c ∈ [ a ]R i c ∈ [ b ]R. A zatem cRa i cRb i na mocy symetrii i przechodniości relacji R
otrzymujemy, że aRb, co kończy dowód metodą nie wprost. • Jako wniosek z Tw.2.4. otrzymujemy:
Twierdzenie 2.5 Zasada abstrakcji
Jeżeli relacja R ⊂ A × A określona na niepustym zbiorze A jest relacją rów-noważności to zbiór A jest sumą niepustych i rozłącznych klas abstrakcji tej relacji.
Definicja 2.12 Niech R ⊂ A × A będzie relacją równoważności określoną na
zbiorze A. Zbiór wszystkich (różnych) klas abstrakcji relacji R nazywamy
ilo-razem zbioru A przez relację R i oznaczamy symbolem A/R.
Przykład: Ilorazem zbioru P wszystkich prostych na płaszczyźnie przez relację
2.3
Funkcje
Definicja 2.13 Niech A, B będą niepustymi zbiorami. Relację f ⊂ A × B
nazywamy funkcją (lub odwzorowaniem) przekształcającą zbiór A w zbiór
B jeżeli dla każdego elementu a ∈ A istnieje dokładnie jeden element b ∈ B
taki, że af b.
Dla relacji, które są funkcjami stosujemy specjalny rodzaj zapisu:
piszemy f : A → B zamiast f ⊂ A × B piszemy f (a) = b zamiast af b
Element f (b) ∈ B nazywamy wartością funkcji f w punkcie a ∈ A. Zbiór
A nazywamy dziedziną funkcji f , zbiór B - przeciwdziedziną funkcji f , a
zbiór
f (A) = {b ∈ B : ∃a ∈ A : f (a) = b}
obrazem funkcji f .
Uwagi:
1. Czasami wprowadza się nieco ogólniejsze pojęcie odwzorowania, w którego de-finicji warunek istnienia dokładnie jednego elementu zamieniamy warunkiem
ist-nienia elementu. Przy takiej definicji odwzorowanie może mieć więcej niż jedną
wartość w punkcie a ∈ A. Funkcje odpowiadają wtedy odwzorowaniom jedno-wartościowym.
W ramach tego wykładu nie będziemy rozważać takich uogólnień i pojęcia
funk-cji, odwzorowania i przyporządkowania będziemy traktować jako syno-nimy.
2. Definicja funkcji wymaga określenia trójki: (A, B, f ) gdzie A jest dziedziną funk-cji, B jej przeciwdziedziną, a f “przepisem”, który każdemu elementowi dzie-dziny a ∈ A przyporządkowuje jakiś element przeciwdziedzie-dziny f (b) ∈ B. W szczególności trójki (A, B, f ) i (A, f (A), f ) odpowiadają różnym funkcjom, jeżeli zbiór wartości f (A) jest właściwym podzbiorem zbioru B (tzn. F (A) ⊂ B, ale F (A) 6= B).
Definicja 2.14 Niech A, B będą niepustymi zbiorami. Odwzorowanie f : A →
B nazywamy
• suriekcją (odwzorowaniem A na B) jeżeli f (A) = B ;
• injekcją (odwzorowaniem różnowartościowym) jeżeli ∀a1, a2 ∈ A : a1 6= a2 ⇒ f (a1) 6= f (a2) ;
• bijekcją (odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym) jeżeli jest suriekcją
i iniekcją.
Uwaga: Z Tw.1.1.iii wynika, że warunek
∀a1, a2 ∈ A : a1 6= a2 ⇒ f (a1) 6= f (a2)
jest równoważny warunkowi
∀a1, a2 ∈ A : f (a1) = f (a2) ⇒ a1 = a2 .
Przykłady:
1. Niech A, B będą niepustymi zbiorami, a b ∈ B ustalonym elementem zbioru B. Relacja fb ⊂ A × B zadana wzorem
fb = A × {b} = {(a, b) : a ∈ A}
jest funkcją. Nazywamy ją odwzorowaniem stałym o wartości b W zapisie funkcyjnym:
fb : A 3 a → fb(a) = b ∈ B .
Odwzorowanie stałe nie jest ani suriekcją ani bijekcją.
2. Niech A będzie niepustym zbiorem. Relacja idA⊂ A × A zadana wzorem
idA= {(a, a) : a ∈ A}
jest funkcją. Nazywamy ją odwzorowaniem tożsamościowym zbioru A na siebie. W zapisie funkcyjnym:
idA: A 3 a → idA(a) = a ∈ A .
3. Jeżeli relacja f ⊂ A × B jest funkcją to dla każdego niepustego podzioru A0 ⊂ A, relacja
fA0 = f ∩ (A0× B) ⊂ A0× B
jest także funkcją. Nazywamy ją obcięciem funkcji f do podzbioru A0. W zapisie funkcyjnym:
fA0 : A0 3 a → f (a) ∈ B .
Obcięcie odwzorowania tożsamościowego idA do niepustego podzbioru A0 ⊂ A:
I : A0 3 a → a ∈ A
nazywamy zanurzeniem ( zbioru A0 w zbiór A ). Zanurzenie jest injekcją, ale nie jest surjekcją.
Definicja 2.15 Niech f : A → B i g : B → C bedą odwzorowaniami. Superpozycją lub złożeniem odwzorowan f i g nazywamy odwzorowanie
f ◦ g : A → C określone wzorem
f ◦ g : A 3 a → f ◦ g(a) = f (g(a)) ∈ C .
Twierdzenie 2.6 Składanie odwzorowań jest operacją łączną, tzn. dla
dowol-nych trzech odwzorowań postaci:
f : A → B , g : B → C , h : C → D ,
zachodzi
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f .
Dowód: Zgodnie z definicją składania odwzorowań, złożenia h◦(g ◦f ) i (h◦g)◦f mają
te same dziedziny i przeciwdziedziny. Pozostaje więc wykazać, że dla każdego a ∈ A wartości tych odwzorowań są identyczne. Wynika to z następującego ciągu równości:
h ◦ (g ◦ f )(a) = h(g ◦ f (a)) = h(g(f ((a)))
= (h ◦ g)(f (a)) = (h ◦ g) ◦ f (a) •
Uwagi:
1. Składanie odwzorowań nie jest na ogół przemienne tzn. f ◦ g 6= g ◦ f . 2. Jeżeli f : A → B jest odwzorowaniem to
Definicja 2.16 Niech f : A → B i g : B → A będą odwzorowaniami.
• Jeżeli f ◦ g = idB to mówimy, że g jest odwrotnością prawostronną
odwzorowania f .
• Jeżeli g ◦ f = idA to mówimy, że g jest odwrotnością lewostronną
odwzorowania f .
• Jeżeli g jest prawostronną i lewostronną odwrotnością odwzorowania f ,
to g nazywamy odwzorowaniem odwrotnym do odwzorowania f i oznaczamy symbolem f−1.
Uwagi:
1. Pokażemy, że jeżeli odwzorowanie odwrotne istnieje to jest on tylko jedno co usprawiedliwia przyjęcie oznaczenia f−1. W tym celu wystarczy pokazać, że jeśli istnieją dwa odwzorowania odwrotne to muszą być sobie równe. Załóżmy więc, że dla odwzorowania f : A → B istnieją dwa odwzorowania odwrotne g : B → A i g0 : B → A:
f ◦ g = f ◦ g0 = idB , g ◦ f = g0◦ f = idA .
Wtedy, korzystając z łączności składania odwzorowań mamy: g0 = idA◦ g0 = g ◦ f ◦ g0 = g ◦ idB = g .
A więc, g = g0, co kończy dowód.
2. Jeżeli odwzorowanie f−1 : B → A jest odwrotne do odwzorowania f : A → B to odwzorowanie f : A → B jest odwrotne do odwzorowania f−1 : B → A:
f−1−1 = f
Twierdzenie 2.7 Jeżeli odwzorowania f : A → B, g : B → A spełniają
równość
g ◦ f = idA ,
to f jest iniekcją, a g - suriekcją.
Dowód: Pokażemy, że f jest iniekcją, a więc odwzorowaniem różnowartościowym. W
tym celu skorzystamy z Uwagi poniżej Def.2.14. Załóżmy, że f (a) = f (a0). Wtedy: a = g ◦ f (a) = g(f (a)) = g(f (a0)) = g ◦ f (a0) = a0 .
Ponieważ rozumowanie to jest słuszne dla dowolnych dwóch elementów a, a0 zbioru A, to f jest iniekcją.
Pozostaje wykazać, że g jest suriekcją co z definicji oznacza, że dla każdego a ∈ A istnieje takie b ∈ B, że a = g(b). W rozważanym przypadku wystarczy przyjąć b =
f (a). •
Twierdzenie 2.8 Odwzorowanie f : A → B ma odwzorowanie odwrotne
wtedy i tylko wtedy gdy jest bijekcją (odwzorowaniem wzajemnie jednoznacz-nym).
Dowód: ⇒
Pokażemy najpierw, że istnienie odwzorowania odwrotnego implikuje bijektywność odwzorowania f . Istotnie, jeśli istnieje odwzorowanie odwrotne f−1 : B → A to
f ◦ f−1= idB oraz f−1◦ f = idA ,
a zatem obie pary odwzorowań f, f−1 i f−1, f spełniają założenia Tw.2.7. Na mocy tego twierdzenie f jest suriekcją i injekcją, a więc jest bijektywne.
⇐
Odwrotnie, załóżmy, że f jest bijekcją. Wtedy dla każdego elementu b ∈ B istnieje dokładnie jeden element a ∈ A taki, że f (a) = b. Przyjmując g(b) = a, otrzymujemy odwzorowanie g : B → A spełniające równości
f ◦ g = idB oraz g ◦ f = idA ,
a więc f−1 = g. •
Twierdzenie 2.9
i. Złożenie suriekcji jest suriekcją. ii. Złożenie iniekcji jest iniekcją. iii. Złożenie bijekcji jest bijekcją.
Dowód:
i. Jeżeli f : A → B i g : B → C są suriekcjami to f (A) = B i g(B) = C. Wtedy g ◦ f (A) = g(f (A)) = g(B) = C, a więc złożenie także jest suriekcją.
ii. Niech a, b ∈ A, jeżeli f ◦ g(a) = f ◦ g(b) to f (g(a)) = f (g(b)). f jest iniekcją, więc g(a) = g(b). Podobnie, z tego, że g jest iniekcją wynika, że a = b. Pokazaliśmy, że dla dowolnych a, b ∈ A z tego, że f ◦ g(a) = f ◦ g(b) wynika a = b, a zatem f ◦ g jest iniekcją c.b.d.o.
Z i. i ii. wynika natychmiast iii. • Odwzorowania bijektywne służą do porównywania liczebności zbiorów.
Definicja 2.17 Mówimy, że zbiory A i B są równoliczne (lub są równej mocy) jeżeli istnieje bijekcja zbioru A na zbiór B. Jeżeli zbiory A i B są
równoliczne to piszemy A ∼ B.
Posługując się własnościami odwzorowań bijektywnych łatwo udowodnić następujące
Twierdzenie 2.10 Relacja równoliczności zbiorów jest relacją
równoważno-ści.
Definicja 2.18 Klasy abstrakcji relacji równoliczności zbiorów nazywamy mo-cami zbiorów.
Definicja 2.19 Dla każdej liczby naturalnej n ∈ N niech Jn = {1, 2, . . . , n}
będzie zbiorem n elementowym. Mówimy, że zbiór
• A jest skończony, jeżeli jest zbiorem pustym lub istnieje takie n ∈ N, że A ∼ Jn;
• A jest nieskończony, jeżeli A nie jest skończony; • A jest przeliczalny, jeżeli ∼ N.
Przykłady:
1. Zbiór liczb całkowitych Z jest przeliczalny. Bijekcją wymaganą w definicji relacji równoliczności może być funkcja f : N → Z
f (n) = −
1
2(n − 1) gdy n jest nieparzyste 1
2n gdy n jest parzyste
wymiernych dodatnich jest przeliczalny. W tym celu rozważmy tablicę ułamków 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 . . . 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 . . . 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 . . . 4 1 4 2 4 3 4 4 . . . 5 1 5 2 5 3 . . . 6 1 6 2 . . . 7 1 . . .
Wymaganą bijekcję konstruujemy numerując kolejne ułamki liczbami natural-nymi, poruszając się po drodze zaznaczonej na rysunku i pomijając te ułamki, które już wystąpiły w poprzednich krokach.
W przytoczonych przykładach zbiór nieskończony jest równoliczny ze swoim pod-zbiorem także oczywiście nieskończonym. Sytuacja taka nie może się zdarzyć dla zbio-rów skończonych.
Twierdzenie 2.11 Jeżeli A jest zbiorem skończonym i odwzorowanie f : A →
A jest iniekcją to jest bijekcją.
Jeżeli A jest zbiorem skończonym i odwzorowanie f : A → A jest suriekcją to jest bijekcją.
Dowód:
Trzeba pokazać, że f jest suriekcją, tzn. dla każdego elemnetu a ∈ A istnieje taki element a0 ∈ A, że f (a0) = a. Niech a ∈ A. Rozważmy natępujący ciąg elementów
a0 = a , a1 = f (a) . . . , ak+1 = f (ak) , . . . , an = f (an−1)
gdzie n jest mocą zbioru A. Mamy n + 1 elementów ze zbioru n elementowego, a więc na pewno wystąpi co najmniej jedno powtórzenie, tzn. dla pewnych k, l, k > l:
ak = al .
Ale
ak = al ⇒ f (ak−1) = f (al−1)
a ponieważ f jest iniekcją to
Po l krokach otrzymujemy
f (ak−l) = f (a0) = f (a)
a stąd a = f (ak−l−1). Szukanym elementem jest więc a0 = ak−l−1.
Dowód drugiej części twierdzenia pozostawiamy jako ćwiczenie. •
2.4
Zasada indukcji matematycznej
Zbiór liczb naturalnych N = {1, 2, 3, . . .} wydaje się strukturą prostą i dobrze znaną. Można jednak zadać pytanie, które z powszechnie znanych własności tego zbioru można przyjąć za podstawowe, w tym sensie, że wszystkie pozostałe dają się z nich wyprowa-dzić na drodze rozumowania dedukcyjnego. Zagadnienie to badał min. Peano, który podał zespół takich własności zwanych aksjomatami Peano. Z aksjomatów Pe-ano (których sformułowanie wykracza poza zakres tego wykładu) wynikają wszystkie własności zbioru liczb naturalnych N takie jak wałasności działań w tym zbiorze czy własności jego uporządkowania. Wśród aksjomatów Peano znajduje się następujące stwierdzenie :
Zasada indukcji zupełnej Jeżeli A jest podzbiorem zbioru liczb
natu-ralnych N, takim, że • 1 ∈ A;
• ∀m ∈ N : m ∈ A ⇒ m + 1 ∈ A; to A = N.
Pokażemy jak z tego aksjomatu wynika
Twierdzenie 2.12 Zasada indukcji matematycznej I.
Niech ω(n) będzie zdaniem logicznym dla każdej liczby naturalnej n ∈ N. Za-łóżmy, że spełnione są następujące warunki:
• początek indukcji zdanie ω(1) jest prawdziwe; • krok indukcyjny
∀n ∈ N : ω(n) ⇒ ω(n + 1) ;
Wtedy zdanie ω(n) jest prawdziwe dla każdego n ∈ N
Dowód: Niech A będzie zbiorem tych wszystkich liczb naturalnych n dla których
warunki występujące w zasadzie indukcji zupełnej, a więc na mocy tego postulatu
A = N. •
Uwaga: Jest jasne, że przyjmując powyższe twierdzenie jako aksjomat wyprowadzimy
bez trudu zasadę indukcji zupełnej. Twierdzenie powyższe można więc uznać za rów-noważne sformułowanie piątego aksjomatu Peano. Z tego względu często zamiast o twierdzeniu o indukcji matematycznej mówi się o zasadzie indukcji matematycznej. W ramach aksjomatyki Peano można udowodnić następującą wersję twierdzenia o in-dukcji
Twierdzenie 2.13 Zasada indukcji matematycznej II.
Niech ω(n) będzie zdaniem logicznym dla każdej liczby naturalnej n ∈ N. Za-łóżmy, że spełnione są następujące warunki:
• początek indukcji zdanie ω(1) jest prawdziwe; • krok indukcyjny
∀n ∈ N : ω(1) ∧ ω(2) ∧ . . . ∧ ω(n) ⇒ ω(n + 1) ;
Wtedy zdanie ω(n) jest prawdziwe dla każdego n ∈ N
Przykład:
Jak prosty przykład rozważymy indukcyjny dowód wzoru Gaussa
n
X
i=1
i = n(n + 1)
2 .
Metoda dowodu przez indukcję polega na sprawdzeniu założeń twierdzenia o in-dukcji matematycznej.
Założenie „początek indukcji” jest spełnione bowiem zachodzi
1
X
i=1
i = 1 = 1(1 + 1)
2 .
Założenie „krok indukcyjny” jest również spełnione. Istotnie zakładając, że wzór Gaussa jest spełniony dla n mamy
n+1 X i=1 i = n X i=1 i + (n + 1) = n(n + 1) 2 + (n + 1) = n(n + 1) + 2(n + 1) 2 = (n + 2)(n + 1) 2
a zatem dla każdego n prawdziwa jest implikacja n X i=1 i = n(n + 1) 2 ⇒ n+1 X i=1 i = (n + 1)(n + 2) 2 .
Ponieważ oba założenia twierdzenia o indukcji matematycznej (wersja I) są spełnione to na mocy tego twierdzenia wzór Gaussa jest słuszny dla dowolnego n ∈ N.
3
Grupy
3.1
Działanie w zbiorze
Definicja 3.1 Niech X będzie dowolnym zbiorem, działaniem w zbiorze X
nazywamy dowolną funkcję
f : X × X → X .
Przykłady:
1. Dodawanie w zborze liczb naturalnych N.
+ : N × N 3 (n, m) → n + m ∈ N .
2. Dodawanie w zbiorze liczb całkowitych Z. 3. Mnożenie w zbiorze liczb całkowitych Z:
· : Z × Z 3 (p, q) → p · q ∈ Z .
4. Odejmowanie w zbiorze liczb rzeczywistych R.
5. Niech Zn= {0, 1, . . . , n − 1} gdzie n jest liczbą naturalną.
Dodawanie modulo n jest w zbiorze Zn określone wzorem
Zn× Zn 3 (r, s) → r +ns =
reszta z dzielenia r + s przez n
Ponieważ reszta z dzielenia przez n nie może być większa od n − 1 i mniejsza od zera, r +ns ∈ Zn.
Dla n = 2 mamy Z2 = {0, 1} i
0 +21 = 1
1 +20 = 1
0 +20 = 0
1 +21 = 0
Dla zbiorów skończonych działanie może być zadane przez podanie jego wartości na wszystkich parach elementów. Wartości te wygodnie jest zapisywać przy pomocy tabelki. Np. dla (Z2, +2) mamy
+2 0 1
0 0 1 1 1 0
“tabliczka”
dodawania modulo 2
6. Mnożenie modulo n w zbiorze Zn określone jest wzorem
Zn× Zn3 (r, s) → r ·ns =
reszta z dzielenia r · s przez n
7. Niech X będzie dowolnym zbiorem, a F (X, X) zbiorem wszystkich funkcji f : X → X .
Składanie odwzorowań
◦ : F (X, X) × F (X, X) 3 (f, g) → f ◦ g ∈ F (X, X) jest działaniem w zbiorze F (X, X).
Uwaga: Działanie w zbiorze X zostało zdefiniowane jako funkcja
f : X × X 3 (a, b) → f (a, b) ∈ X ,
jednak w algebrze stosuje się zwyczajowo dla takich funkcji inne oznaczenia niż w analizie. Zamiast f (a, b) piszemy a b
: X × X 3 (a, b) → a b ∈ X .
Dla najczęściej spotykanych działań stosujemy na ogół tradycyjne oznaczenia: • + symbol dodawania liczb;
• · symbol mnożenia liczb;
• ◦ symbol składania odwzorowań.
Definicja 3.2 Działanie określone w zbiorze X nazywamy
• łącznym jeżeli
∀ a, b, c ∈ X : a (b c) = (a b) c ;
• przemiennym jeżeli
∀ a, b ∈ X : a b = b a .
Przykłady:
1. Działania z przykładów 1,2,3,5,6,7 są łączne.
2. Odejmowanie w zbiorze liczb rzeczywistych nie jest łączne. Rzeczywiście, dla c 6= 0
a − (b − c) = a − b + c 6= (a − b) − c = a − b − c .
Definicja 3.3 Niech będzie działaniem określonym w zbiorze X. Element
e ∈ X nazywamy elementem neutralnym względem działania jeżeli ∀ a ∈ X : a e = a = e a .
Przykłady:
1. W (N, +) nie ma elementu neutralnego. 2. W (Z, +) elementem neutralnym jest 0. 3. W (Z, .) elementem neutralnym jest 1. 4. W (R, −) nie ma elementów neutralnych:
x − 0 = x ale 0 − x = −x 6= x .
5. W (Zn, +n) elementem neutralnym jest 0.
7. W (F (M, M ), ◦) elementem neutralnym jest odwzorowanie tożsamościowe.
Twierdzenie 3.1 Niech : X × X → X będzie działaniem określonym na
X. Jeśli istnieje w X element neutralny e względem działania to jest on
wyznaczony jednoznacznie.
Definicja 3.4 Niech e będzie elementem neutralnym działania określonego
w zbiorze X. Element a−1 ∈ X nazywamy elementem odwrotnym do
ele-mentu a ∈ X względem działania jeżeli
a−1 a = a a−1 = e .
Przykłady:
1. W N nie można zdefiniować pojęcia elementu odwrotnego względem dodawania bo nie istnieje w N element neutralny względem tego działania.
2. W Z elementem neutralnym e względem dodawania jest zero. Elementem m−1 odwrotnym do elementu m ∈ Z względem dodawania jest element −m:
(−m) + m = m + (−m) = m − m = 0 . W rozważanym przykładzie mamy więc
e = 0 , m−1 = −m .
3. W Z elementem neutralnym e względem mnożenia jest jedynka. Niech m będzie różnym od zera elementem Z. Elementem m−1 odwrotnym względem mnożenia do elementu m jest element m1:
1 m · m = m · 1 m = m m = 1 . W rozważanym przykładzie mamy więc
e = 1 , m−1 = 1 m .
Uwaga: Symbole e i m−1 nie są w pełni jednoznaczne bo nie niosą in-formacji o tym, względem jakiego działania e jest elementem neutralnym, a m−1 odwrotnym (w tym samym zbiorze możemy mieć określone różne działania). W szczególności symbol m−1 oznacza m1 tylko wtedy gdy mamy na myśli element odwrotny względem mnożenia w zbiorze liczbowym. Na ogół nie prowadzi to do nieporozumień bo z kontekstu wiadomo o jakie działanie chodzi.
4. W zbiorze R nie ma elementu neutralnego ze względu na odejmowania, nie można więc zdefiniować elementów odrotnych ze wzgledu na to działanie.
5. W Zn elementem odwrotnym do m ∈ Zn względem dodawania modulo n jest
element
m−1 = n − m . Istotnie
m +n(n − m) = (n)n = 0 .
6. Tabelka mnożenia modulo 4 w zbiorze Z4 ma postać
· 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1
Odczytujemy z niej, że elementy 0 i 2 nie mają elementu odwrotnego względem mnożenia modulo n, natomiast elementy odwrotne względem tego działania mają dla pozostałych elementów postać:
1−1 = 1 , 3−1 = 3 .
7. W zbiorze odwzorowań F (M, M ) elementem odwrotnym do odwzorowania g : M → M względem składania odwzorowań jest odwzorowanie odwrotne (Def.2.16):
g−1◦ g = g ◦ g−1 = idM .
Na mocy Tw.2.8 element odrotny do g istnieje wtedy i tylko wtedy gdy g jest bijekcją.
Twierdzenie 3.2 Jeżeli działanie : X × X → X określone na X jest łączne
to dla dowolnego elementu m ∈ X istnieje co najwyżej jeden element odwrotny względem tego działania.
3.2
Grupa
Definicja 3.5 Grupą nazywamy parę (G, ) gdzie G jest niepustym zbio-rem, a : G × G → G działaniem określonym na G spełniającym następujące warunki
i. działanie jest łączne;
ii. istnieje element neutralny e ∈ G względem działania ;
iii. dla każdego elementu g ∈ G istnieje element g−1 do niego odwrotny wzglę-dem działania .
Jeżeli ponadto działanie jest przemienne to grupę nazywamy przemienną lub abelową.
Jeżeli liczba elementów grupy G jest skończona to nazywamy ją rzędem grupy.
Przykłady:
1. Zbiory liczb rzeczywistych R, wymiernych Q i całkowitych Z z działaniem doda-wania liczb są grupami abelowymi.
2. Zbiory liczb rzeczywistych bez zera R \ {0} i wymiernych bez zera Q \ {0} z działaniem mnożenia są grupami abelowymi.
3. Zbiór Zn z dodawaniem modulo n jest grupą abelową.
4. Zbiór {−1, 1} z mnożeniem jest grupą abelową rzędu 2.
5. Zbiór G4 wszystkich izometrii trójkąta jest grupą abelową ze względu na
skła-danie odwzorwań. G4 = {id, O2π 3 , O 4π 3 , S1, S2, S3} = {R0, R1, R2, S1, S2, S3} ◦ R0 R1 R2 S1 S2 S3 R0 R0 R1 R2 S1 S2 S3 R1 R1 R2 R0 S3 S1 S2 R2 R2 R0 R1 S2 S3 S1 S1 S1 S2 S3 R0 R1 R2 S2 S2 S3 S1 R1 R0 R1 S3 S3 S1 S2 R2 R1 R0
3.3
Grupa symetryczna, permutacje
Twierdzenie 3.3 Niech A będzie niepustym zbiorem. Zbiór S(A) wszystkich
bijekcji g : A → A ze składaniem odwzorowań jest grupą.
Dowód:
Ponieważ złożenie bijekcji jest bijekcją to składanie odwzorowań jest dobrze okre-ślonym działaniem w zbiorze S(A):
◦ : S(A) × S(A) 3 (f, g) → f ◦ g ∈ S(A) .
Na mocy Twierdzenia 2.6 składanie odwzorowań jest łączne, w szczególności dla do-wolnych bijekcji f, g, h ∈ S(A) mamy
f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h ,
a więc pierwszy warunek Def.3.5 jest spełniony. Wiemy już, że odwzorowanie toż-samościowe idA jest elementem neutralnym ze względu na składanie odwzorowań i
oczywiście jest bijekcją, a zatem drugi warunek Def.3.5 jest także spełniony.
Pokazalismy także w przykładzie 7 poniżej Def.3.5, że elementem odwrotnym do bijekcji g : A → A ze względu na składanie odwzorowań jest odwzorowanie odrotne g−1 : A → A. Ponieważ odwzorowanie odwrotne do bijekcji jest bijekcją to także trzeci
warunek Def.3.5 jest spełniony co kończy dowód. •
Definicja 3.6 Niech A będzie niepustym zbiorem. Grupę (S(A), ◦) wszystkich
bijekcji zbioru A ze składaniem odwzorowań jako działaniem grupowym nazy-wamy grupą symetryczną zbioru A.
Twierdzenie 3.4 Jeżeli zbiór A ma co najmniej 3 elementy to grupa
syme-tryczna tego zbioru S(A) jest nieabelowa.
Dowód: Niech a, b, c ∈ A będą trzema parami różnymi elementami zbioru A.
Roz-ważmy odwzorowania σ : A → A i τ : A → A zadane wzorami σ(a) = b σ(b) = c σ(c) = a σ(x) = x dla x 6= a, b, c τ (a) = b τ (b) = a τ (c) = c τ (x) = x dla x 6= a, b, c Oba odwzorowania są bijekcjami, a więc σ, τ ∈ S(A). Wprost z definicji mamy:
(σ ◦ τ )(a) = σ(τ (a)) = σ(b) = c (τ ◦ σ)(a) = τ (σ(a)) = τ (b) = a
a zatem σ ◦ τ 6= τ ◦ σ, c.b.d.o. •
Definicja 3.7 Niech A = {a1, . . . , an}. Permutacją (przestawieniem)
elementów zbioru A nazywamy bijekcję g : A → A zbioru A na siebie.
Uwagi:
1. Permutację elementów zbioru A = {a1, . . . , an} można zapisać w postaci tabelki
σ =
a1 a2 . . . an
aj1 aj2 . . . ajn
której dolny wiersz składa się z obrazów odpowiednich elementów górnego wiersza przez permutację σ, tzn.
aji = σ(ai) , i = 1, 2, . . . , n .
Ponieważ σ jest bijekcją dolny wiersz jest przestawieniem elementów górnego wiersza.
2. W zapisie permutacji nie jest ważne jakie są elementy zbioru A, a jedynie ich porządek. Dlatego badając permutacje wystarczy rozważać zbiory indeksów
A = In= {1, 2, . . . , n} .
Dowolną permutację σ ∈ S(In) można zapisać w postaci
σ =
1 2 . . . n j1 j2 . . . jn
która jest wygodna szczególnie przy obliczaniu złożeń i permutacji odwrotnych. W notacji tej jednak górny wiersz jest właściwie zbędny bowiem cała istotna informacja o σ zawarta jest w porządku elementów dolnego wiersza. Z tego powodu stosuje się często zapis
σ = (j1, j2, . . . , jn) .
Definicja 3.8 Grupą symetryczną stopnia n nazywamy grupę
syme-tryczną zbioru In= {1, 2, . . . , n}. Oznaczamy ją symbolem Sn.
Przykład Rachunki na permutacjach zilustrujemy na przykładzie elementów grupy
Składanie permutacji: (2 4 3 1) (3 1 4 2) = 1 2 3 4 2 4 3 1 1 2 3 4 3 1 4 2 = 1 2 3 4 3 2 1 4 = (3 2 1 4) Obliczanie permutacji odwrotnej
(2 4 3 1)−1 = 1 2 3 4 2 4 3 1 −1 = 2 4 3 1 1 2 3 4 = 1 2 3 4 4 1 3 2 = (4 1 3 4)
Twierdzenie 3.5 Sn jest grupą skończoną rzędu n!.
Definicja 3.9 Permutację σ ∈ Sn nazywamy permutacją cykliczną rzędu
k lub cyklem k-wyrazowym jeżeli w zbiorze In istnieje podzbiór J =
{j1, j2, . . . , jk} taki, że
σ(j1) = j2 , σ(j2) = j3 , . . . , σ(jk) = j1 ,
σ( i ) = i , dla i /∈ J .
Uwaga: Cykl k-wyrazowy oznaczamy symbolem
(j1, j2, . . . , jk) ,
pomijając elementy, które przechodzą na siebie.
Przykłady:
1. Permutacja tożsamościowa (1, 2, . . . , n) jest cyklem rzędu jeden (np. J = {1}). 2. Permutacja q 1 q 3 ? * q 2 q 2 ? q 3 q 5 ? * q 4 q 4 ? q 5 q 1 ? X X X X X X X X X X X X y q 6 q 6 ? 1 2 3 4 5 6 3 2 5 4 1 6
jest cyklem 3-wyrazowym (1, 3, 5). 3. Permutacja q 1 q 2 ? q 2 q 1 ? @ @ @ I q 3 q 5 ? * q 4 q 3 ? @ @ @ I q 5 q 6 ? q 6 q 4 ? H H H H H H Y 1 2 3 4 5 6 2 1 5 3 6 4
nie jest cyklem.
Twierdzenie 3.6 Dowolna permutacja σ ∈ Snjest cyklem lub może być
przed-stawiona w postaci złożenia cykli rozłącznych.
Dowód: (przez indukcję)
Dla n = 1 teza twierdzenia jest słuszna bowiem jedyna permutacja 1 1
∈ S1 jest
cyklem 1-wyrazowym. A zatem założenie początek indukcji jest spełnione.
Wykażemy teraz, że drugie założenie twierdzenia o indukcji matematycznej – krok
idukcyjny jest spełnione, tzn zakładając, że teza jest słuszna dla wszystkich k 6 n
pokażemy, że jest ona słuszna także dla k = n + 1. Rozważmy dowolną permutację σ ∈ Sn+1:
σ =
1 2 . . . n n + 1 j1 j2 . . . jn jn+1
• Jeżeli j1 = 1 to permutacja σ jest całkowicie opisana przez permutację zbioru
n-elementowego {2, . . . , n + 1}, a taką permutację na mocy założenia kroku in-dukcyjnego daje się rozłożyć na złożenie cykli rozłącznych. W tym przypadku więc permutacja σ rozkłada się na te same cykle rozłączne.
• Jeżeli j1 6= 1 to możemy zdefiniować ciąg
k0 = 1 , k1 = σ(k0) = σ(1) , k2 = σ(k1) = σ2(1) , .. . kn = σ(kn+1) = σn+1(1) .
Ponieważ mamy tylko n + 1 elementów to w ciągu tym musi natąpić powtórzenie. Załóżmy, że pierwsze powtórzenie pojawia się na miejscu r6 n + 1 tzn. istnieje taka liczba całkowita 06 s < r, że
kr = ks.
Pokażemy, że pierwszą powtarzającą się liczbą jest ks = 1, tzn. s = 0.
Załóżmy, że tak nie jest tzn. istnieje s > 0 takie, że kr = ks ⇒ σ(kr−1) = σ(ks−1) .
Ale σ jest bijekcją, a zatem
σ(kr−1) = σ(ks−1) ⇒ kr−1 = ks−1 .
Ale to przeczy założeniu, że kr jest pierwszą liczbą, która się powtarza. Zatem
pierwsze powtórzenie, rzeczywiście jest jedynką: kr= 1
a to oznacza, że liczby
k0, k1, . . . , kr−1
tworzą cykl r-wyrazowy τ . Możemy więc przedstawić σ jako złożenie σ = τ ◦ σ1 .
cyklu τ i permutacji σ1, która jest tożsamościowa na zbiorze
{k0, k1, . . . , kr−1}
możemy ją więc traktować jako permutację zbioru n − r elementowego. Na mocy założenia kroku indukcyjnego takie permutacje możemy przedstawić jako złożenie cykli rozłącznych
σ1 = τ1◦ . . . ◦ τm.
Zatem złożeniem cykli rozłącznych jest także permutacja σ: σ = τ ◦ τ1◦ . . . ◦ τm .
Wykazaliśmy, że spełnione są założenia Tw.2.9 o indukcji matematycznej, a więc na mocy tego twierdzenia dla każdego n ∈ N dowolną permutację σ ∈ Snmożemy rozłożyć
Uwaga: Ostatni dowód przedstawiliśmy przesadnie starannie, żeby zilustrować
struk-turę logiczną metody indukcyjnej. Zwykle poprzestajemy na sprawdzeniu obu zało-żenie twierdzenia o indukcji, bowiem jego zastosowanie w sposób oczywisty wynika z kontekstu. Zwykle też, kolejne kroki dowodu przedstawiane są w bardziej lapidarnej postaci z pominięciem bardziej oczywistych implikacji.
Przykład: Korzystając z metody przedstawionej w dowodzie rozłożymy na cykle
rozłączne następującą permutację
q 1 q 3 ? * q 2 q 2 ? q 3 q 6 ? 1 q 4 q 8 ? : q 5 q 1 ? X X X X X X X X X X X X y q 6 q 4 ? H H H H H H Y q 7 q 10 ? 1 q 8 q 5 ? P P P P P P P P P i q 9 q 7 ? H H H H H H Y q 10 q 11 ? q 11 q 9 ? H H H H H H Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 2 6 8 1 4 10 5 7 11 9 = (1, 3, 6, 4, 8, 5) ◦ (7, 10, 11, 9)
Definicja 3.10 Cykl 2-wyrazowy nazywamy transpozycją.
Twierdzenie 3.7 Dowolną permutację σ ∈ Sn, n > 1 można przedstawić jako
złożenie pewnej liczby transpozycji.
Dowód: Na mocy Tw.3.6 wystarczy pokazać, że każdy cykl daje się przedstawić jako
złożenie transpozycji. Udowodnimy przez indukcję, że dla dowolnego cyklu zachodzi następujący rozkład
(j1, j2, . . . , jk) = (j1, j2) ◦ (j2, j3) ◦ . . . ◦ (jk−2, jk−1) ◦ (jk−1, jk)
Dla k = 2 rozkład ten jest oczywisty. Załóżmy, że jest on prawdziwy dla cykli k-wyrazowych. Wtedy dla cyklu (k + 1)-wyrazowego mamy
(j1, j2, . . . , jk, jk+1) = = . . . j1 . . . j2 . . . jk . . . jk+1 . . . . . . j2 . . . j3 . . . jk+1 . . . j1 . . . = . . . j1 . . . j2 . . . jk . . . jk+1 . . . . . . j2 . . . j3 . . . j1 . . . jk+1 . . . ◦ (jk, jk+1) = (j1, j2, . . . , jk) ◦ (jk, jk+1) = (j1, j2) ◦ (j2, j3) ◦ . . . ◦ (jk−2, jk−1) ◦ (jk−1, jk) ◦ (jk, jk+1)
Uwaga:
Rozkład permutacji na iloczyn transpozycji nie jest jednoznaczny. Np. 1 2 3 4 5
2 5 4 3 1
= (3, 4) ◦ (1, 5) ◦ (1, 2)
= (1, 3) ◦ (3, 4) ◦ (4, 5) ◦ (2, 4) ◦ (1, 4) Istotnie zapisując wyniki kolejnych złożeń mamy
↓ 1 2 3 4 5 ↓ 2 1 3 4 5 ↓ 2 5 3 4 1 2 5 4 3 1 = ↓ 1 2 3 4 5 ↓ 4 2 3 1 5 ↓ 2 4 3 1 5 ↓ 2 5 3 1 4 ↓ 2 5 4 1 3 2 5 4 3 1
Twierdzenie 3.8 Transpozycja (i, j) jest złożeniem 2(j − i) − 1 transpozycji
liczb bezpośrednio po sobie następujących.
Dowód: Dowolną transpozycję
(i, j) = . . . i i + 1 . . . j − 1 j . . . . . . j i + 1 . . . j − 1 i . . .
możemy przedstawić jako złożenie permutacji (i, j) = σ2◦ σ1 gdzie permutacja σ1 = . . . i i + 1 . . . j − 1 j . . . . . . j i . . . j − 2 j − 1 . . . = (i, i + 1) ◦ (i + 1, i + 2) ◦ . . . ◦ (j − 2, j − 1) ◦ (j − 1, j) | {z } j−i transpozycji
”przestawia“ liczbę j na miejsce i-te, a liczby i, i + 1, . . . , j − 1 ”przesuwa“ o jedno miejsce w prawo, a permutacja
σ2 = . . . i i + 1 . . . j − 1 j . . . . . . i i + 2 . . . j i + 1 . . . = (j − 1, j) ◦ (j − 2, j − 1) ◦ . . . ◦ (i + 2, i + 3) ◦ (i + 1, i + 2) | {z } j−i−1 transpozycji
”przestawia“ liczbę i + 1 na miejsce j-te, a liczby i + 2, i + 3, . . . , j ”przesuwa“ o jedno
miejsce w lewo. •
Definicja 3.11 Niech σ ∈ Sn, n > 1. Mówimy, że liczby jr, js tworzą
inwer-sję w permutacji
σ = . . . r . . . s . . . . . . jr . . . js . . .
jeśli r < s i jr> js.
Definicja 3.12 Permutację σ ∈ Sn, n > 1 nazywamy parzystą jeśli zawiera
parzystą liczbę inwersji i nieparzystą gdy liczba jej inwersji jest nieparzysta. Dla n = 1 jedyną permutację (1) ∈ S1 określimy jako parzystą.
Twierdzenie 3.9 Niech (r, s) będzie transpozycją w Sn, n > 1. Dla dowolnej
permutacji σ ∈ Sn permutacje σ i σ ◦ (r, s), oraz permutacje σ i (r, s) ◦ σ różnią
się parzystością.
Dowód:
Udowodnimy twierdzenie najpierw dla transpozycji postaci (r, r + 1), 0 < r < n. Niech σ ∈ Sn będzie dowolną permutacją, wtedy
σ ◦ (r, r + 1) = . . . r r + 1 . . . . . . jr jr+1 . . . ◦ (r, r + 1) = . . . r r + 1 . . . . . . jr jr+1 . . . ◦ 1 . . . r r + 1 . . . n 1 . . . r + 1 r . . . n = . . . r r + 1 . . . . . . jr+1 jr . . .
Jeśli jr, jr+1 tworzyły inwersję w permutacji σ to jr+1, jr już jej nie tworzą i na odwrót.
Ponieważ pozostałe inwersje nie ulegają zmianie liczba wszystkich inwersji zmienia się na skutek złożenia z transpozycją (r, r + 1) o jeden.
Na mocy Tw.3.8 każda transpozycja jest złożeniem nieparzystej liczby transpozycji typu (r, r + 1) a zatem złożenie jej (z prawej strony) z permutacją σ zmienia liczbę inwersji o liczbę nieparzystą.
Dowód dla złożenia z lewej strony przebiega podobnie. •
Wniosek 3.1 Iloczyn m transpozycji jest permutacją o parzystości równej
Wniosek 3.2 W każdym rozkładzie permutacji na złożenie transpozycji
parzy-stość liczby czynników jest taka sama i równa parzystości permutacji.
Definicja 3.13 Znakiem permutacji σ nazywamy liczbę
sgn(σ) =
1 gdy σ jest parzysta −1 gdy σ jest nieparzysta
Wniosek 3.3
∀ σ, σ0 ∈ Sn : sgn(σ ◦ σ0) = sgn(σ)sgn(σ0)
3.4
Podgrupy
Definicja 3.14 Niech (G, ) bedzie grupą. Niepusty podzbiór H zbioru G
na-zywamy podgrupą grupy G jeżeli i. (H × H) ⊂ H;
ii. (H, |H×H) jest grupą gdzie |H×H oznacza zawężenie działania do
zbioru H × H:
|H×H : H × H 3 (a, b) → a b ∈ H .
Jeśli H jest podgrupą grupy (G, ) to piszemy (H, ) ⊂ (G, ).
Uwagi:
1. Element neutralny eH podgrupy H ⊂ G jest identyczny z elementem neutralnym
eG całej grupy G. Rzeczywiście, ponieważ G jest grupą to istnieje w G element
odwrotny e−1H do eH, w szczególności:
eG = eH e−1H .
Ponieważ eH elementem neutralnym w H to eH = eH eH, a zatem
eG= (eH eH) e−1H = eH (eH e−1H ) = eH eG .
Ale eG jest elementem neutralnym w G, więc
2. Z poprzedniej uwagi wynika, że
eH = a a−1 = a−1 a = eG ,
a więc element odwrotny do a w grupie H jest elementem odwrotnym do a w grupie G i odwrotnie.
Twierdzenie 3.10 Niepusty podzbiór H ⊂ G grupy (G, ) jest podgrupą wtedy
i tylko wtedy gdy
i. ∀a, b ∈ H : a b ∈ H ; ii. ∀a ∈ H : a−1 ∈ H .
Dowód: To, że oba warunki są konieczne wynika wprost z definicji podgrupy.
Poka-żemy, że są one także dostateczne.
Warunek i jest identyczny z pierwszym warunkiem definicji, a więc obcięcie dzia-łania do podzbioru H definiuje w nim działanie łączne. Warunek ii oznacza, że dla każdego a ∈ H także a−1 ∈ H. Wtedy z i wynika, że a a−1 = e ∈ H. •
Uwaga:
Podzbiory {e} ⊂ G i G ⊂ G są podgrupami grupy (G, ).
Definicja 3.15 Podgrupy {e} ⊂ G i G ⊂ G nazywamy niewłaściwymi grupami grupy (G, ). Wszystki inne podgrupy grupy (G, ) nazywamy pod-grupami właściwymi.
Przykłady:
1. (Z, +) ⊂ (Q, +) ⊂ (R, +) 2. (Q \ {0}, ·) ⊂ (R \ {0}, ·)
3. W grupie izometrii trójkąta równobocznego obroty {R0, R1, R2} tworzą
pod-grupę. Podgrupami są także podzbiory {R0, S1}, {R0, S2}, {R0, S3}. Są to
wszystkie podgrupy właściwe tej grupy.
4. Pozbiór An permutacji parzystych grupy symetrycznej Sn stopnia n jest
Twierdzenie 3.11 Niech (H, ) będzie podgrupą grupy (G, ). Relacja R
okre-ślona w G wzorem
aRb ⇔ a b−1 ∈ H
jest relacją równoważności.
Dowód:
i. Zwrotność. Dla każdego a ∈ G
a a−1 = e ∈ H ⇒ aRa . ii. Symetryczność. Dla dowolnych dwóch elementów a, b ∈ G:
aRb ⇒ a b−1 ∈ H ⇒ a b−1−1= b a−1 ∈ H ⇒ bRa . ii. Przechodniość. Dla dowolnych trzech elementów a, b, c ∈ G:
(aRb ∧ bRa) ⇒ (a b−1 ∈ H ∧ b c−1 ∈ H)
⇒ a b−1 b c−1 = a c−1∈ H ⇒ aRc .
•
Definicja 3.16 Ilorazem grupy (G, ) przez podgrupę (H, ) ⊂ (G, )
nazywamy zbiór G/H klas abstrakcji relacji R, określonej w G wzorem
aRb ⇔ a b−1 ∈ H .
Klasę abstrakcji [ a ]Relementu a ∈ G względem tej relacji nazywamy warstwą
prawostronną elementu a i oznaczamy symbolem Ha.
Uwaga: Nazwa „warstwa prawostronna” oraz oznaczenie Ha mają następujące
uza-sadnienie:
[ a ]R = {b ∈ G : bRa} = {b ∈ G : a b−1 ∈ H}
= {b ∈ G : b a−1 ∈ H}
= {b ∈ G : ∃c ∈ H : b = c a} = Ha .
Twierdzenie 3.12 Niech (H, ) będzie podgrupą grupy (G, ). Klasy
abstrak-cji relaabstrak-cji R:
aRb ⇔ a b−1 ∈ H
Dowód: Zgodnie z Def.2.17 wystarczy wykazać, że dla dowolnego a ∈ G istnieje
bijekcjia fa: [ e ]R = H → [ b ]R = Ha. Rozważmy odwzorowanie
fa: H 3 b → b a ∈ Ha .
Z definicji tego przekształcenia wynika, że jest suriekcją. Załóżmy, że fa(b) = fa(c) dla
b, c ∈ H wtedy z definicji fa:
b a = c a
skąd, mnożąc obustronnie przez a−1 otrzymujemy b = c. Zatem fa jest także injekcją,
co kończy dowód. •
Twierdzenie 3.13 Lagrange’a Rząd podgrupy grupy skończonej jest
podziel-nikiem rzędu grupy.
Dowód: Niech (G, ) będzie skończona i niech (H, ) ⊂ (G, ). Z zasady abstrakcji
(Tw.2.5) wynika, że zbiór G jest rozłączną sumą warstw G = H ∪ Ha1 ∪ . . . ∪ Han−1
Ale wszystkie warstwy są równoliczne, a zatem
rankG = n × rankH . •
3.5
Dzielnik normalny i grupa ilorazowa
Definicja 3.17 Podgrupę (H, ) grupy (G, ) nazywamy podgrupą nie-zmienniczą, lub dzielnikiem normalnym grupy G jeżeli
∀a ∈ G : aHa−1 = H
gdzie
aHa−1 = {g ∈ G : ∃ b ∈ H : g = a b a−1} .
Uwaga: Żeby pokazać, że H jest podgrupą niezmienniczą wystarczy wykazać, że
∀a ∈ G : aHa−1 ⊂ H .
Istotnie z warunku tego wynika, że
∀a ∈ G : a−1 H a−1−1 ⊂ H , a więc
∀a ∈ G : H ⊂ aHa−1 .
1. Dla dowolnej grupy (G, ) jej podgrupy niewłaściwe {e} i G są podgrupami nie-zmienniczymi.
2. W grupie abelowej każda podgrupa jest niezmiennicza.
3. Rozważmy grupę symetryczną stopnia n Sn i grupę alternującą An jako jej
pod-grupę. Dla dowolnych permutacji σ ∈ Sn, τ ∈ An mamy
sgn(σ ◦ τ ◦ σ−1) = sgn(σ)sgn(τ )sgn(σ−1) = sgn(σ)2sgn(τ ) = sgn(τ ) . Zatem
∀σ ∈ Sn : σAnσ−1 ⊂ {A}
a więc An jest podgrupą niezmienniczą grupy Sn.
4. H = {(123), (132)} jest podgrupą grupy symetrycznej S3, ale nie jest podgrupą
symetryczną. Rzeczywiście dla transpozycji σ = (12), τ = (23) mamy σ ◦ τ ◦ σ−1 = 1 2 3 2 1 3 1 2 3 1 3 2 1 2 3 2 1 3 = 1 2 3 3 2 1 ∈/ H .
Definicja 3.18 Niech (G, ) będzie grupą, a ∼ relacją w zbiorze G. Mówimy,
że relacja ∼ jest zgodna z działaniem jeżeli
∀ a, b, c, d ∈ G : (a ∼ b ∧ c ∼ d) ⇒ a c ∼ b d .
Twierdzenie 3.14 Niech (H, ) będzie podgrupą grupy (G, ). Relacja R
okre-ślona w zbiorze G wzorem
aRb ⇔ a b−1 ∈ H ,
jest zgodna z działaniem wtedy i tylko wtedy gdy H jest podgrupą niezmien-niczą.
Dowód:
⇐. Niech (H, ) będzie podgrupą niezmienniczą. Wtedy aRb ⇔ a b−1 = g ∈ H cRd ⇔ c d−1 = h ∈ H
A zatem istnieją takie elementy g, h ∈ H, że
a = g b , c = h d
a c = (g b) (h c) = g (b h b−1) b d a c (b d)−1 = g (b h b−1) .
Ponieważ (H, )jest podgrupą niezmienniczą to b h b−1 ∈ H, a więc także a c (b d)−1 ∈ H
i a c R b d.
⇒. Niech R będzie zgodna z działaniem . Dla dowolnych a, b ∈ G, h ∈ H mamy więc (aRa ∧ bRe) ⇒ a bRa e ⇒ a bRa ⇒ a b a−1 ∈ H .
A zatem
∀ a ∈ G : aHa−1 ⊂ H •
Twierdzenie 3.15 Niech (G, ) będzie grupą, a R relacją na zbiorze G zgodną
z działaniem . Wtedy istnieje podgrupa niezmiennicza (H, ) grupy (G, ) taka, że
∀ a, b ∈ G : aRb ⇔ a b−1 ∈ H .
Dowód: Pokażemy, że zbiór
H = {a ∈ G : aRe} jest podgrupą (G, ).
i Niech a, b ∈ H, wtedy aRe i bRe, a ponieważ R jest zgodna z działaniem to (aRe ∧ bRe) ⇒ a bRe ⇒ a b ∈ H .
Zatem (H × H) ⊂ H.
ii Jeżeli a ∈ H to aRe. Ale R jest relacją zwrotną więc a−1Ra−1 i ponieważ jest
zgodna z , to
a a−1Ra−1 ⇒ eRa−1 ⇒ a−1 ∈ H . Pokażemy teraz, że
∀ a, b ∈ G : aRb ⇔ a b−1 ∈ H . ⇒ Niech aRb, ponieważ R jest zwrotna to b−1Rb−1 i
⇐ Niech a b−1 ∈ H. Wtedy, korzystając ze zwrotności relacji R i jej zgodności z
a b−1Re ⇒ aRb .
To, że podgrupa H jest niezmiennicza wynika z Tw.3.14. •
Twierdzenie 3.16 Niech (H, ) będzie podgrupą niezmienniczą grupy (G, ).
Odwzorowanie
◦ : G/H × G/H 3 (Ha, Hb) → Ha ◦ Hb = H(a b) ∈ G/H
jest dobrze określonym działaniem w ilorazie G/H. Iloraz G/H z działaniem
◦ jest grupą.
Dowód: Zgodnie z Def.3.16 G/H jest zbiorem warstw prawostronnych – klas
abstrak-cji relaabstrak-cji R:
aRb ⇔ a b−1 ∈ H . Pokażemy, że definicja działania na warstwach
[ a ]R◦ [ b ]R = [ a b ]R
jest dobrze określona, tzn. nie zależy od wyboru reprezentanta w każdej z warstw. Niech a0 ∈ [ a ]R i b0 ∈ [ b ]R będą dowolnymi reprezentantami warstw Ha = [ a ]R,
Hb = [ b ]R. Ponieważ R jest zgodna z działaniem otrzymujemy
(a0 ∈ [ a ]R∧ b0 ∈ [ b ]R) ⇔ (a0Ra ∧ b0Rb)
⇒ a0 b0Ra b
⇔ [ a0 b0]R = [ a b ]R .
Wykażemy, że (G/H, ◦) jest grupą. i Działanie ◦ w G/H jest łączne.
Ha ◦ (Hb ◦ Hc) = Ha ◦ H(b c) = H(a (b c)) = H((a b) c) = H(a b) ◦ Hc = (Ha ◦ Hb) ◦ Hc .
ii Elementem neutralnym jest warstwa He = H:
∀ a ∈ G : He ◦ Ha = Ha = Ha ◦ He .
iii Elementem odwrotnym do warstwy Ha jest warstwa (Ha)−1 = Ha−1: Ha−1◦ Ha = Ha ◦ Ha−1 = He . •
Definicja 3.19 Grupę (G/H, ◦) o której mowa w Tw.3.16 nazywamy grupą ilorazową grupy G przez podgrupę niezmienniczą H.
Uwagi:
1. Twierdzenie 3.16 dostarcza uzasadnienia dla terminu dzielnik normalny, używa-nego czasem na określenie podgrupy niezmienniczej.
2. Iloraz grupy przez podgrupę i grupa ilorazowa to dwa różne pojęcia. Pierwsze z nich oznacza zbiór warstwa i istnieje dla dowolnej podgrupy, drugie oznacza zbiór warstw z określonym w nim działaniem grupowym i istnieje tylko w przypadku podgrup niezmienniczych.
3.6
Homomorfizmy grup
Definicja 3.20 Odwzorowanie h : G → H grupy (G, ) w grupę (H, •)
nazy-wamy homomorfizmem grup (lub krótko homomorfizmem ) jeżeli
∀ a, b ∈ G : h(a b) = h(a) • h(b) .
Homomorfizmy nazywamy monomorfizmem jeśli jest injekcją,
epimorfi-zmem jeśli jest suriekcją i izomorfiepimorfi-zmem jeśli jest bijekcją.
Przykład: Dla n > 0 odwzorowanie
h : Sn3 σ → sgn(σ) ∈ {−1, 1}
jest epimorfizmem. Jest ono monomorfizmem tylko dla n = 2.
Definicja 3.21 Grupę (G, ) nazywamy izomorficzną z grupą (H, •) jeżeli
ist-nieje izomorfizm grup h : G → H.
Twierdzenie 3.17 Relacja ∼ określona w zbiorze wszystkich grup wzorem
G ∼ H ⇔ G jest izomorficzna z H
Uwaga: Relacja, o której mowa w twierdzeniu dzieli zbiór wszystkich grup na
roz-łączne klasy grup ze sobą izomorficznych. Z punktu widzenia własności algebraicznych grupy izomorficzne niczym się nie różnią.
Twierdzenie 3.18 Jeśli h : G → H jest homomorfizmem grup to
i. h(eG) = eH ;
ii. ∀ a ∈ G : h (a−1) = (h(a))−1 .
Definicja 3.22 Jądrem homomorfizmu grup h : G → H nazywamy zbiór
ker h = {a ∈ G : h(a) = eH} .
Obrazem homomorfizmu grup h : G → H nazywamy zbiór
im h = {b ∈ H : ∃ a ∈ G : b = h(a)} .
Twierdzenie 3.19 Obraz homomorfizmu grup h : G → H jest podgrupą grupy
H, a jego jądro jest podgrupą niezmienniczą grupy G.
Twierdzenie 3.20 Niech (G, ) będzie grupą, a (H, ) jej podgrupą
niezmien-niczą. Odwzorowanie
π : G 3 a → Ha ∈ G/H
jest epimorfizmem grup.
Dowód: Wynika natychmiast z definicji działania grupowego w przestrzeni warstw:
∀ a, b ∈ G : π(a b) = H(a b) = Ha ◦ Hb = π(a) ◦ π(b) . •
Definicja 3.23 Epimorfizm π, o którym mowa w Tw.3.20 nazywamy homo-morfizmem kanonicznym grupy G na grupę ilorazową G/H.
