Zbiór liczb naturalnych N = {1, 2, 3, . . .} wydaje się strukturą prostą i dobrze znaną.
Można jednak zadać pytanie, które z powszechnie znanych własności tego zbioru można przyjąć za podstawowe, w tym sensie, że wszystkie pozostałe dają się z nich wyprowa-dzić na drodze rozumowania dedukcyjnego. Zagadnienie to badał min. Peano, który podał zespół takich własności zwanych aksjomatami Peano. Z aksjomatów Pe-ano (których sformułowanie wykracza poza zakres tego wykładu) wynikają wszystkie własności zbioru liczb naturalnych N takie jak wałasności działań w tym zbiorze czy własności jego uporządkowania. Wśród aksjomatów Peano znajduje się następujące stwierdzenie :
Zasada indukcji zupełnej Jeżeli A jest podzbiorem zbioru liczb natu-ralnych N, takim, że
• 1 ∈ A;
• ∀m ∈ N : m ∈ A ⇒ m + 1 ∈ A;
to A = N.
Pokażemy jak z tego aksjomatu wynika
Twierdzenie 2.12 Zasada indukcji matematycznej I.
Niech ω(n) będzie zdaniem logicznym dla każdej liczby naturalnej n ∈ N. Za-łóżmy, że spełnione są następujące warunki:
• początek indukcji zdanie ω(1) jest prawdziwe;
• krok indukcyjny
∀n ∈ N : ω(n) ⇒ ω(n + 1) ; Wtedy zdanie ω(n) jest prawdziwe dla każdego n ∈ N
Dowód: Niech A będzie zbiorem tych wszystkich liczb naturalnych n dla których zdanie ω(n) jest prawdziwe. Założenia twierdzenia oznaczają, że spełnione są oba
warunki występujące w zasadzie indukcji zupełnej, a więc na mocy tego postulatu
A = N. •
Uwaga: Jest jasne, że przyjmując powyższe twierdzenie jako aksjomat wyprowadzimy bez trudu zasadę indukcji zupełnej. Twierdzenie powyższe można więc uznać za rów-noważne sformułowanie piątego aksjomatu Peano. Z tego względu często zamiast o twierdzeniu o indukcji matematycznej mówi się o zasadzie indukcji matematycznej.
W ramach aksjomatyki Peano można udowodnić następującą wersję twierdzenia o in-dukcji
Twierdzenie 2.13 Zasada indukcji matematycznej II.
Niech ω(n) będzie zdaniem logicznym dla każdej liczby naturalnej n ∈ N. Za-łóżmy, że spełnione są następujące warunki:
• początek indukcji zdanie ω(1) jest prawdziwe;
• krok indukcyjny
∀n ∈ N : ω(1) ∧ ω(2) ∧ . . . ∧ ω(n) ⇒ ω(n + 1) ; Wtedy zdanie ω(n) jest prawdziwe dla każdego n ∈ N Przykład:
Jak prosty przykład rozważymy indukcyjny dowód wzoru Gaussa
n
X
i=1
i = n(n + 1)
2 .
Metoda dowodu przez indukcję polega na sprawdzeniu założeń twierdzenia o in-dukcji matematycznej.
Założenie „początek indukcji” jest spełnione bowiem zachodzi
1
X
i=1
i = 1 = 1(1 + 1)
2 .
Założenie „krok indukcyjny” jest również spełnione. Istotnie zakładając, że wzór Gaussa jest spełniony dla n mamy
n+1
X
i=1
i =
n
X
i=1
i + (n + 1) = n(n + 1)
2 + (n + 1)
= n(n + 1) + 2(n + 1)
2 = (n + 2)(n + 1) 2
a zatem dla każdego n prawdziwa jest implikacja
n
X
i=1
i = n(n + 1)
2 ⇒
n+1
X
i=1
i = (n + 1)(n + 2)
2 .
Ponieważ oba założenia twierdzenia o indukcji matematycznej (wersja I) są spełnione to na mocy tego twierdzenia wzór Gaussa jest słuszny dla dowolnego n ∈ N.
3 Grupy
3.1 Działanie w zbiorze
Definicja 3.1 Niech X będzie dowolnym zbiorem, działaniem w zbiorze X nazywamy dowolną funkcję
f : X × X → X . Przykłady:
1. Dodawanie w zborze liczb naturalnych N.
+ : N × N 3 (n, m) → n + m ∈ N . 2. Dodawanie w zbiorze liczb całkowitych Z.
3. Mnożenie w zbiorze liczb całkowitych Z:
· : Z × Z 3 (p, q) → p · q ∈ Z . 4. Odejmowanie w zbiorze liczb rzeczywistych R.
5. Niech Zn= {0, 1, . . . , n − 1} gdzie n jest liczbą naturalną.
Dodawanie modulo n jest w zbiorze Zn określone wzorem Zn× Zn 3 (r, s) → r +ns =reszta z dzielenia
r + s przez n
Ponieważ reszta z dzielenia przez n nie może być większa od n − 1 i mniejsza od zera, r +ns ∈ Zn.
Dla n = 2 mamy Z2 = {0, 1} i
0 +21 = 1 1 +20 = 1 0 +20 = 0 1 +21 = 0
Dla zbiorów skończonych działanie może być zadane przez podanie jego wartości na wszystkich parach elementów. Wartości te wygodnie jest zapisywać przy pomocy tabelki. Np. dla (Z2, +2) mamy
+2 0 1 0 0 1 1 1 0
“tabliczka”
dodawania modulo 2
6. Mnożenie modulo n w zbiorze Zn określone jest wzorem Zn× Zn3 (r, s) → r ·ns =reszta z dzielenia
r · s przez n
7. Niech X będzie dowolnym zbiorem, a F (X, X) zbiorem wszystkich funkcji f : X → X .
Składanie odwzorowań
◦ : F (X, X) × F (X, X) 3 (f, g) → f ◦ g ∈ F (X, X) jest działaniem w zbiorze F (X, X).
Uwaga: Działanie w zbiorze X zostało zdefiniowane jako funkcja f : X × X 3 (a, b) → f (a, b) ∈ X ,
jednak w algebrze stosuje się zwyczajowo dla takich funkcji inne oznaczenia niż w analizie. Zamiast f (a, b) piszemy a b
: X × X 3 (a, b) → a b ∈ X .
Dla najczęściej spotykanych działań stosujemy na ogół tradycyjne oznaczenia:
• + symbol dodawania liczb;
• · symbol mnożenia liczb;
• ◦ symbol składania odwzorowań.
Definicja 3.2 Działanie określone w zbiorze X nazywamy
• łącznym jeżeli
∀ a, b, c ∈ X : a (b c) = (a b) c ;
• przemiennym jeżeli
∀ a, b ∈ X : a b = b a .
Przykłady:
1. Działania z przykładów 1,2,3,5,6,7 są łączne.
2. Odejmowanie w zbiorze liczb rzeczywistych nie jest łączne. Rzeczywiście, dla c 6= 0
a − (b − c) = a − b + c 6= (a − b) − c = a − b − c .
Definicja 3.3 Niech będzie działaniem określonym w zbiorze X. Element e ∈ X nazywamy elementem neutralnym względem działania jeżeli
∀ a ∈ X : a e = a = e a . Przykłady:
1. W (N, +) nie ma elementu neutralnego.
2. W (Z, +) elementem neutralnym jest 0.
3. W (Z, .) elementem neutralnym jest 1.
4. W (R, −) nie ma elementów neutralnych:
x − 0 = x ale 0 − x = −x 6= x . 5. W (Zn, +n) elementem neutralnym jest 0.
6. W (Zn, .n) elementem neutralnym jest 1.
7. W (F (M, M ), ◦) elementem neutralnym jest odwzorowanie tożsamościowe.
Twierdzenie 3.1 Niech : X × X → X będzie działaniem określonym na X. Jeśli istnieje w X element neutralny e względem działania to jest on wyznaczony jednoznacznie.
Definicja 3.4 Niech e będzie elementem neutralnym działania określonego w zbiorze X. Element a−1 ∈ X nazywamy elementem odwrotnym do ele-mentu a ∈ X względem działania jeżeli
a−1 a = a a−1 = e . Przykłady:
1. W N nie można zdefiniować pojęcia elementu odwrotnego względem dodawania bo nie istnieje w N element neutralny względem tego działania.
2. W Z elementem neutralnym e względem dodawania jest zero. Elementem m−1 odwrotnym do elementu m ∈ Z względem dodawania jest element −m:
(−m) + m = m + (−m) = m − m = 0 . W rozważanym przykładzie mamy więc
e = 0 , m−1 = −m .
3. W Z elementem neutralnym e względem mnożenia jest jedynka. Niech m będzie różnym od zera elementem Z. Elementem m−1 odwrotnym względem mnożenia do elementu m jest element m1:
1
m · m = m · 1 m = m
m = 1 . W rozważanym przykładzie mamy więc
e = 1 , m−1 = 1 m .
Element m = 0 ∈ Z nie ma elementu odwrotnego ze względu na mnożenie.
Uwaga: Symbole e i m−1 nie są w pełni jednoznaczne bo nie niosą in-formacji o tym, względem jakiego działania e jest elementem neutralnym, a m−1 odwrotnym (w tym samym zbiorze możemy mieć określone różne działania). W szczególności symbol m−1 oznacza m1 tylko wtedy gdy mamy na myśli element odwrotny względem mnożenia w zbiorze liczbowym.
Na ogół nie prowadzi to do nieporozumień bo z kontekstu wiadomo o jakie działanie chodzi.
4. W zbiorze R nie ma elementu neutralnego ze względu na odejmowania, nie można więc zdefiniować elementów odrotnych ze wzgledu na to działanie.
5. W Zn elementem odwrotnym do m ∈ Zn względem dodawania modulo n jest element
m−1 = n − m . Istotnie
m +n(n − m) = (n)n = 0 . 6. Tabelka mnożenia modulo 4 w zbiorze Z4 ma postać
· 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1
Odczytujemy z niej, że elementy 0 i 2 nie mają elementu odwrotnego względem mnożenia modulo n, natomiast elementy odwrotne względem tego działania mają dla pozostałych elementów postać:
1−1 = 1 , 3−1 = 3 .
7. W zbiorze odwzorowań F (M, M ) elementem odwrotnym do odwzorowania g : M → M względem składania odwzorowań jest odwzorowanie odwrotne (Def.2.16):
g−1◦ g = g ◦ g−1 = idM .
Na mocy Tw.2.8 element odrotny do g istnieje wtedy i tylko wtedy gdy g jest bijekcją.
Twierdzenie 3.2 Jeżeli działanie : X × X → X określone na X jest łączne to dla dowolnego elementu m ∈ X istnieje co najwyżej jeden element odwrotny względem tego działania.