Twierdzenie 3.3 Niech A będzie niepustym zbiorem. Zbiór S(A) wszystkich bijekcji g : A → A ze składaniem odwzorowań jest grupą.
Dowód:
Ponieważ złożenie bijekcji jest bijekcją to składanie odwzorowań jest dobrze okre-ślonym działaniem w zbiorze S(A):
◦ : S(A) × S(A) 3 (f, g) → f ◦ g ∈ S(A) .
Na mocy Twierdzenia 2.6 składanie odwzorowań jest łączne, w szczególności dla do-wolnych bijekcji f, g, h ∈ S(A) mamy
f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h ,
a więc pierwszy warunek Def.3.5 jest spełniony. Wiemy już, że odwzorowanie toż-samościowe idA jest elementem neutralnym ze względu na składanie odwzorowań i oczywiście jest bijekcją, a zatem drugi warunek Def.3.5 jest także spełniony.
Pokazalismy także w przykładzie 7 poniżej Def.3.5, że elementem odwrotnym do bijekcji g : A → A ze względu na składanie odwzorowań jest odwzorowanie odrotne g−1 : A → A. Ponieważ odwzorowanie odwrotne do bijekcji jest bijekcją to także trzeci
warunek Def.3.5 jest spełniony co kończy dowód. •
Definicja 3.6 Niech A będzie niepustym zbiorem. Grupę (S(A), ◦) wszystkich bijekcji zbioru A ze składaniem odwzorowań jako działaniem grupowym nazy-wamy grupą symetryczną zbioru A.
Twierdzenie 3.4 Jeżeli zbiór A ma co najmniej 3 elementy to grupa syme-tryczna tego zbioru S(A) jest nieabelowa.
Dowód: Niech a, b, c ∈ A będą trzema parami różnymi elementami zbioru A. Roz-ważmy odwzorowania σ : A → A i τ : A → A zadane wzorami
σ(a) = b σ(b) = c σ(c) = a
σ(x) = x dla x 6= a, b, c
τ (a) = b τ (b) = a τ (c) = c
τ (x) = x dla x 6= a, b, c Oba odwzorowania są bijekcjami, a więc σ, τ ∈ S(A). Wprost z definicji mamy:
(σ ◦ τ )(a) = σ(τ (a)) = σ(b) = c (τ ◦ σ)(a) = τ (σ(a)) = τ (b) = a
a zatem σ ◦ τ 6= τ ◦ σ, c.b.d.o. • Definicja 3.7 Niech A = {a1, . . . , an}. Permutacją (przestawieniem) elementów zbioru A nazywamy bijekcję g : A → A zbioru A na siebie.
Uwagi:
1. Permutację elementów zbioru A = {a1, . . . , an} można zapisać w postaci tabelki σ =
a1 a2 . . . an aj1 aj2 . . . ajn
której dolny wiersz składa się z obrazów odpowiednich elementów górnego wiersza przez permutację σ, tzn.
aji = σ(ai) , i = 1, 2, . . . , n .
Ponieważ σ jest bijekcją dolny wiersz jest przestawieniem elementów górnego wiersza.
2. W zapisie permutacji nie jest ważne jakie są elementy zbioru A, a jedynie ich porządek. Dlatego badając permutacje wystarczy rozważać zbiory indeksów
A = In= {1, 2, . . . , n} . Dowolną permutację σ ∈ S(In) można zapisać w postaci
σ =
1 2 . . . n j1 j2 . . . jn
która jest wygodna szczególnie przy obliczaniu złożeń i permutacji odwrotnych.
W notacji tej jednak górny wiersz jest właściwie zbędny bowiem cała istotna informacja o σ zawarta jest w porządku elementów dolnego wiersza. Z tego powodu stosuje się często zapis
σ = (j1, j2, . . . , jn) .
Definicja 3.8 Grupą symetryczną stopnia n nazywamy grupę syme-tryczną zbioru In= {1, 2, . . . , n}. Oznaczamy ją symbolem Sn.
Przykład Rachunki na permutacjach zilustrujemy na przykładzie elementów grupy S4.
Składanie permutacji: Twierdzenie 3.5 Sn jest grupą skończoną rzędu n!.
Definicja 3.9 Permutację σ ∈ Sn nazywamy permutacją cykliczną rzędu k lub cyklem k-wyrazowym jeżeli w zbiorze In istnieje podzbiór J = {j1, j2, . . . , jk} taki, że
σ(j1) = j2 , σ(j2) = j3 , . . . , σ(jk) = j1 , σ( i ) = i , dla i /∈ J .
Uwaga: Cykl k-wyrazowy oznaczamy symbolem (j1, j2, . . . , jk) , pomijając elementy, które przechodzą na siebie.
Przykłady:
jest cyklem 3-wyrazowym (1, 3, 5).
Twierdzenie 3.6 Dowolna permutacja σ ∈ Snjest cyklem lub może być przed-stawiona w postaci złożenia cykli rozłącznych.
Dowód: (przez indukcję)
Dla n = 1 teza twierdzenia jest słuszna bowiem jedyna permutacja 1 1
∈ S1 jest cyklem 1-wyrazowym. A zatem założenie początek indukcji jest spełnione.
Wykażemy teraz, że drugie założenie twierdzenia o indukcji matematycznej – krok idukcyjny jest spełnione, tzn zakładając, że teza jest słuszna dla wszystkich k 6 n pokażemy, że jest ona słuszna także dla k = n + 1.
Rozważmy dowolną permutację σ ∈ Sn+1: σ =
1 2 . . . n n + 1 j1 j2 . . . jn jn+1
• Jeżeli j1 = 1 to permutacja σ jest całkowicie opisana przez permutację zbioru n-elementowego {2, . . . , n + 1}, a taką permutację na mocy założenia kroku in-dukcyjnego daje się rozłożyć na złożenie cykli rozłącznych. W tym przypadku więc permutacja σ rozkłada się na te same cykle rozłączne.
• Jeżeli j1 6= 1 to możemy zdefiniować ciąg
Ponieważ mamy tylko n + 1 elementów to w ciągu tym musi natąpić powtórzenie.
Załóżmy, że pierwsze powtórzenie pojawia się na miejscu r6 n + 1 tzn. istnieje taka liczba całkowita 06 s < r, że
kr = ks.
Pokażemy, że pierwszą powtarzającą się liczbą jest ks = 1, tzn. s = 0.
Załóżmy, że tak nie jest tzn. istnieje s > 0 takie, że kr = ks ⇒ σ(kr−1) = σ(ks−1) . Ale σ jest bijekcją, a zatem
σ(kr−1) = σ(ks−1) ⇒ kr−1 = ks−1 .
Ale to przeczy założeniu, że kr jest pierwszą liczbą, która się powtarza. Zatem pierwsze powtórzenie, rzeczywiście jest jedynką:
kr= 1 a to oznacza, że liczby
k0, k1, . . . , kr−1
tworzą cykl r-wyrazowy τ . Możemy więc przedstawić σ jako złożenie σ = τ ◦ σ1 .
cyklu τ i permutacji σ1, która jest tożsamościowa na zbiorze {k0, k1, . . . , kr−1}
możemy ją więc traktować jako permutację zbioru n − r elementowego. Na mocy założenia kroku indukcyjnego takie permutacje możemy przedstawić jako złożenie cykli rozłącznych
σ1 = τ1◦ . . . ◦ τm.
Zatem złożeniem cykli rozłącznych jest także permutacja σ:
σ = τ ◦ τ1◦ . . . ◦ τm .
Wykazaliśmy, że spełnione są założenia Tw.2.9 o indukcji matematycznej, a więc na mocy tego twierdzenia dla każdego n ∈ N dowolną permutację σ ∈ Snmożemy rozłożyć
na cykle rozłączne c.b.d.o. •
Uwaga: Ostatni dowód przedstawiliśmy przesadnie starannie, żeby zilustrować struk-turę logiczną metody indukcyjnej. Zwykle poprzestajemy na sprawdzeniu obu zało-żenie twierdzenia o indukcji, bowiem jego zastosowanie w sposób oczywisty wynika z kontekstu. Zwykle też, kolejne kroki dowodu przedstawiane są w bardziej lapidarnej postaci z pominięciem bardziej oczywistych implikacji.
Przykład: Korzystając z metody przedstawionej w dowodzie rozłożymy na cykle rozłączne następującą permutację
Definicja 3.10 Cykl 2-wyrazowy nazywamy transpozycją.
Twierdzenie 3.7 Dowolną permutację σ ∈ Sn, n > 1 można przedstawić jako złożenie pewnej liczby transpozycji.
Dowód: Na mocy Tw.3.6 wystarczy pokazać, że każdy cykl daje się przedstawić jako złożenie transpozycji. Udowodnimy przez indukcję, że dla dowolnego cyklu zachodzi następujący rozkład
(j1, j2, . . . , jk) = (j1, j2) ◦ (j2, j3) ◦ . . . ◦ (jk−2, jk−1) ◦ (jk−1, jk)
Dla k = 2 rozkład ten jest oczywisty. Załóżmy, że jest on prawdziwy dla cykli k-wyrazowych. Wtedy dla cyklu (k + 1)-wyrazowego mamy
(j1, j2, . . . , jk, jk+1) =
gdzie w ostatniej równości skorzystaliśmy z założenia kroku indukcyjnego. •
Uwaga:
Rozkład permutacji na iloczyn transpozycji nie jest jednoznaczny. Np.
1 2 3 4 5 2 5 4 3 1
= (3, 4) ◦ (1, 5) ◦ (1, 2)
= (1, 3) ◦ (3, 4) ◦ (4, 5) ◦ (2, 4) ◦ (1, 4) Istotnie zapisując wyniki kolejnych złożeń mamy
↓ 1 2 3 4 5
↓ 2 1 3 4 5
↓ 2 5 3 4 1 2 5 4 3 1
=
↓ 1 2 3 4 5
↓ 4 2 3 1 5
↓ 2 4 3 1 5
↓ 2 5 3 1 4
↓ 2 5 4 1 3 2 5 4 3 1
Twierdzenie 3.8 Transpozycja (i, j) jest złożeniem 2(j − i) − 1 transpozycji liczb bezpośrednio po sobie następujących.
Dowód: Dowolną transpozycję
(i, j) = . . . i i + 1 . . . j − 1 j . . . . . . j i + 1 . . . j − 1 i . . .
możemy przedstawić jako złożenie permutacji (i, j) = σ2◦ σ1 gdzie permutacja
σ1 = . . . i i + 1 . . . j − 1 j . . . . . . j i . . . j − 2 j − 1 . . .
= (i, i + 1) ◦ (i + 1, i + 2) ◦ . . . ◦ (j − 2, j − 1) ◦ (j − 1, j)
| {z }
j−i transpozycji
”przestawia“ liczbę j na miejsce i-te, a liczby i, i + 1, . . . , j − 1 ”przesuwa“ o jedno miejsce w prawo, a permutacja
σ2 = . . . i i + 1 . . . j − 1 j . . . . . . i i + 2 . . . j i + 1 . . .
= (j − 1, j) ◦ (j − 2, j − 1) ◦ . . . ◦ (i + 2, i + 3) ◦ (i + 1, i + 2)
| {z }
j−i−1 transpozycji
”przestawia“ liczbę i + 1 na miejsce j-te, a liczby i + 2, i + 3, . . . , j ”przesuwa“ o jedno
miejsce w lewo. •
Definicja 3.11 Niech σ ∈ Sn, n > 1. Mówimy, że liczby jr, js tworzą inwer-sję w permutacji
σ = . . . r . . . s . . . . . . jr . . . js . . .
jeśli r < s i jr> js.
Definicja 3.12 Permutację σ ∈ Sn, n > 1 nazywamy parzystą jeśli zawiera parzystą liczbę inwersji i nieparzystą gdy liczba jej inwersji jest nieparzysta.
Dla n = 1 jedyną permutację (1) ∈ S1 określimy jako parzystą.
Twierdzenie 3.9 Niech (r, s) będzie transpozycją w Sn, n > 1. Dla dowolnej permutacji σ ∈ Sn permutacje σ i σ ◦ (r, s), oraz permutacje σ i (r, s) ◦ σ różnią się parzystością.
Dowód:
Udowodnimy twierdzenie najpierw dla transpozycji postaci (r, r + 1), 0 < r < n. Niech σ ∈ Sn będzie dowolną permutacją, wtedy
σ ◦ (r, r + 1) = . . . r r + 1 . . . . . . jr jr+1 . . .
◦ (r, r + 1)
= . . . r r + 1 . . . . . . jr jr+1 . . .
◦ 1 . . . r r + 1 . . . n 1 . . . r + 1 r . . . n
= . . . r r + 1 . . . . . . jr+1 jr . . .
Jeśli jr, jr+1 tworzyły inwersję w permutacji σ to jr+1, jr już jej nie tworzą i na odwrót.
Ponieważ pozostałe inwersje nie ulegają zmianie liczba wszystkich inwersji zmienia się na skutek złożenia z transpozycją (r, r + 1) o jeden.
Na mocy Tw.3.8 każda transpozycja jest złożeniem nieparzystej liczby transpozycji typu (r, r + 1) a zatem złożenie jej (z prawej strony) z permutacją σ zmienia liczbę inwersji o liczbę nieparzystą.
Dowód dla złożenia z lewej strony przebiega podobnie. • Wniosek 3.1 Iloczyn m transpozycji jest permutacją o parzystości równej pa-rzystości liczby m.
Wniosek 3.2 W każdym rozkładzie permutacji na złożenie transpozycji parzy-stość liczby czynników jest taka sama i równa parzystości permutacji.
Definicja 3.13 Znakiem permutacji σ nazywamy liczbę
sgn(σ) =
1 gdy σ jest parzysta
−1 gdy σ jest nieparzysta
Wniosek 3.3
∀ σ, σ0 ∈ Sn : sgn(σ ◦ σ0) = sgn(σ)sgn(σ0)