Dobór optymalnej powierzchni odpowiedzi do zadania początkowego

W pierwszej kolejności, najistotniejszym elementem rozwiązania wykonywanego za pomocą programu autorskiego RSM–Win jest poprawny dobór powierzchni odpowiedzi dla wymogów zadania. Dobór ten jest wykonywany za pomocą standardowej analizy regresji, która to technika jest stosunkowo często spotykana, zarówno w przykładach zaczerpniętych w literaturze, jak i w programach komercyjnych. Uzupełnieniem analizy regresji jest wykorzystanie analizy wariancji metodą tabelaryczną (ANOVA), która w przejrzysty sposób prezentuje wymagane miary dopasowania zarówno współczynników kierunkowych powierzchni, jak i całościowe miary dopasowania powierzchni odpowiedzi dla danego zadania.

Na podstawie pracy Treharne’a dokonano sprawdzenia poprawności i jakości matematycznej doboru powierzchni odpowiedzi do danych początkowych zadania [Treharne, 1991].

W pracy [Treharne, 1991] zdefiniowano wyjściową funkcję stanu granicznego jako powierzchnię rzędu drugiego, dwóch zmiennych niezależnych, wyrażoną wielomianem stopnia drugiego z członami interakcyjnymi

Powierzchnia ta przedstawiona została na rys. 6.1.

Ze względu na zawarte w pracy [Treharne, 1991] wyraźne wskazanie na przyjęty model aproksymacyjny powierzchni zdecydowano się nie pokazywać w niniejszej rozprawie aproksymacji wykonanych w początkowym stadium analizy „słabszymi” modelami (wielomianami stopnia pierwszego oraz stopnia drugiego bez członów interakcji). Analizy takie zostały sporządzone, aby potwierdzić możliwość aproksymacji w takim podejściu, jednakże dla zadania sformułowanego w ten sposób, iż punkty pomiarowe są rozłożone foremnie w przestrzeni realizacji (bez celowego rozmieszczania punktów obliczeniowych

Rozdział 6 – Przykłady zastosowań podejścia probabilistycznego... 125 w sąsiedztwie równania funkcji granicznej), każde z osiągniętych przybliżeń miało gorszy współczynnik całkowitego dopasowania niż najgorszy wariant dopasowania dla modelu wyrażonego wielomianem stopnia drugiego z członami interakcyjnymi, co zdaje się potwierdzać zarówno słuszność działania programu, jak i skłaniać się do ustalonej w literaturze drogi postępowania aproksymacji powierzchni odpowiedzi (przedstawionej chociażby w rozdziale 3.3. niniejszej rozprawy).

Rys. 6.1. Wyjściowa powierzchnia rzędu drugiego zadania, dla dwóch zmiennych niezależnych, wyrażona wielomianem stopnia drugiego z członami interakcyjnymi, o równaniu

2 2

1 2 1 2 1 2

ˆ( ) 81 8 14 2 47 10

y x = + ⋅ +x ⋅x − ⋅x − ⋅x + ⋅x x , wg [Treharne, 1991].

Poniżej zostaną zatem przedstawione jedynie wyniki analizy wykonanej za pomocą

„bogatszej” funkcji aproksymacyjnej, tzn. wielomianu stopnia drugiego z członami interakcyjnymi. Analizę podjęto w zależności od dwóch ustalonych wcześniej parametrów – ilości punktów obliczeniowych rozmieszczonych regularnie w dwuwymiarowej przestrzeni realizacji zadania oraz parametru rozrzedzenia siatki (odległości pomiędzy punktami obliczeniowymi mierzonej względem osi wymiaru przestrzeni probabilistycznej). Wyniki tejże analizy można znaleźć w Tablicy 6.1.

W Tablicy 6.1. zakreślono kolorem czerwonym pole prezentujące najgorsze dopasowanie powierzchni odpowiedzi do danych początkowych zadania, a kolorem zielonym zakreślono pole prezentujące najlepsze dopasowanie.

Na podstawie Tablicy 6.1. zaobserwować można także, iż siatka prowadząca do najgorszej aproksymacji powierzchni odpowiedzi, spośród dwunastu zrealizowanych wariantów siatkowania, to siatka charakteryzująca się ilością punktów siatki na osi wymiaru równą 5 oraz odległością między punktami siatki na osi wymiaru wynoszącą jedną jednostkę wymiaru.

Powierzchnia aproksymowana przy użyciu takiego rozłożenia punktów obliczeniowych zadania przedstawia się równaniem

2 2

1 2 1 2 1 2

ˆ( ) 61,489 6,677 18,148 1,996 47,224 10,143

g x = + ⋅ +x ⋅x − ⋅x − ⋅x + ⋅x x (6.2)

126 Karol Winkelmann – Obliczanie niezawodności konstrukcji inżynierskich...

Dla tak wykonanej aproksymacji powierzchni odpowiedzi przywołać można wyciąg z tablicy analizy wariancji ANOVA (Tablica 6.2.), który wyraźnie potwierdza słabą jakość dopasowania. W tabeli wytłuszczono odpowiedni element (F_BD), który podkreśla, iż aproksymacja ta cechuje się bardzo dużym błędem (w tym przypadku e_F =0,1092437).

Całkowity błąd dopasowania określa średnią wartość błędu dopasowania obliczoną we wszystkich punktach obliczeniowych pomiędzy wartościami równania powierzchni zadania pochodzącymi z manualnego wprowadzenia na starcie pracy programu, a wartościami obliczonymi z równania powierzchni odpowiedzi, zaproponowanej po aproksymacji.

Tablica 6.1. Wyniki analizy sprawdzenia poprawności i jakości matematycznej doboru powierzchni odpowiedzi do danych początkowych zadania w zależności od ilości punktów obliczeniowych w dwuwymiarowej przestrzeni realizacji oraz parametru rozrzedzenia siatki.

ilość pkt.

siatki na osi jednego wymiaru

odległość między punktami siatki na osi jednego wymiaru przestrzeni realizacji

Natomiast, siatka prowadząca do najlepszej aproksymacji powierzchni odpowiedzi, spośród zrealizowanych wariantów siatkowania, to siatka charakteryzująca się ilością punktów siatki na osi wymiaru równą 101 oraz odległością między punktami siatki na osi wymiaru wynoszącą jedną jednostkę wymiaru. Powierzchnia aproksymowana przy użyciu takiego rozłożenia punktów obliczeniowych zadania przedstawia się równaniem

2 2

1 2 1 2 1 2

ˆ( ) 80.999 8.000 14.000 2.000 47.000 10.000

g x = + ⋅ +x ⋅x − ⋅x − ⋅x + ⋅x x (6.3)

Dla tak wykonanej aproksymacji powierzchni odpowiedzi ponownie przywołać można wyciąg z tablicy analizy wariancji ANOVA (Tablica 6.3.), który tym razem wyraźnie potwierdza doskonałą jakość dopasowania. W tabeli ponownie wytłuszczono element (F_BD), wskazujący na pomijalnie mały błąd aproksymacji (w tym przypadku e_F =0,00009447).

Rozdział 6 – Przykłady zastosowań podejścia probabilistycznego... 127 Tablica 6.2. Wyciąg z tablicy analizy wariancji ANOVA dla powierzchni odpowiedzi aproksymowanej przy użyciu siatkowania dwuwymiarowego z liczbą 5 punktów obliczeniowych na osi pojedynczego wymiaru oraz odległością między punktami siatki na osi wymiaru wynoszącą jednostkę. Wytłuszczono całkowity współczynnik dopasowania (F_BD).

TABELA ANALIZY WARIANCJI WEDLUG B11 1 0.1089826E+01 0.1089826E+01 0.1795500E-02 -0.1996409E+01 WEDLUG B22 1 0.6098007E+03 0.6098007E+03 0.4748198E-02 -0.4722423E+02 WEDLUG B12 1 0.4018840E+02 0.4018840E+02 0.1410714E-01 0.1014309E+02 REZYDUUM 19 0.6406903E+00 0.3372054E-01

BRAK DOPAS. 19 0.6406903E+00 0.3372054E-01 0.1092437E+00

Tablica 6.3. Wyciąg z tablicy analizy wariancji ANOVA dla powierzchni odpowiedzi aproksymowanej przy użyciu siatkowania dwuwymiarowego z liczbą 101 punktów obliczeniowych na osi pojedynczego wymiaru oraz odległością między punktami siatki na osi wymiaru wynoszącą jednostkę. Wytłuszczono całkowity współczynnik dopasowania (F_BD).

TABELA ANALIZY WARIANCJI

BRAK DOPAS. 10195 0.5112657E+03 0.5014867E-01 0.9446820E-04

Uzyskane rezultaty są w uznaniu autora potwierdzeniem poprawności działania programu.

Dla regularnego ułożenia punktów obliczeniowych siatki na planie kwadratu (co nie jest rozwiązaniem optymalnym, ale bardzo często wykorzystywanym w praktyce inżynierskiej) rzeczywiście powinno się uzyskiwać najgorsze rezultaty, jeśli założy się zbyt mało punktów obliczeniowych oraz nie zapewni się im należytego rozgęszczenia. Zauważyć też można, że taka sama liczba punktów założonych w szerszym rozstawie powoduje wzrost dokładności aproksymacji powierzchni. W przypadku średniego lub dużego pola rozmieszczenia większej ilości punktów obliczeniowych względem osi pojedynczego wymiaru przestrzeni realizacji można zauważyć jeszcze większą poprawę aproksymacji, w zupełności wystarczającą do szacowania późniejszych parametrów rozwiązania. Najdokładniejsze odwzorowanie uzyskuje się dla największej liczby punktów obliczeniowych na siatce, ale zaskakująco, wraz z przyrostem liczby punktów, poprawie aproksymacji sprzyja zmniejszanie się odległości między punktami siatki na osi pojedynczego wymiaru. Taki efekt jest wytłumaczalny ze względu na topografię powierzchni zadania. Krzywizna w obrębie szerokiego piku wierzchołkowego może być precyzyjnie aproksymowana tylko w przypadku zapewnienia dobrego obsadzenia jej punktami projektowymi. Zauważyć należy, iż dla powierzchni o innej topografii tendencja ta mogłaby być inna.

128 Karol Winkelmann – Obliczanie niezawodności konstrukcji inżynierskich...

Zasugerowane powyżej wnioski powinny przyświecać doborowi punktów obliczeniowych (tudzież wyborowi próbek metody Monte Carlo) we wszystkich późniejszych działaniach w środowisku programu. Powyższą analizą potwierdzono obostrzenie, jakie nakłada się na proces poszukiwania powierzchni odpowiedzi, tj. wymóg ścisłej kontroli procesu aproksymacji, wpierw w świetle przyjęcia prawidłowego (wystarczającego) modelu aproksymacyjnego, a później właściwego doboru geometrycznego i ilościowego liczby obserwacji (próbek).

6.1.2. Kalkulacja i porównanie wskaźników niezawodności