Kalkulacja i porównanie wskaźników niezawodności dla trójprzęsłowej belki ciągłej Lemaitre’a

W dalszej kolejności, bardzo ważnym elementem rozwiązania dokonywanego za pomocą programu autorskiego RSM–Win jest obliczanie wskaźników niezawodności problemu inżynierskiego, wykonywane przy użyciu wprowadzonych do pamięci procedury algorytmów.

Program zakodowane ma trzy różne algorytmy wyszukiwania wskaźnika niezawodności:

algorytm szukania wskaźnika Cornella (wskaźnika liniowego), możliwego do obliczenia tylko w przypadku wcześniejszego wyboru modelu wielomianu stopnia pierwszego jako bazy aproksymacyjnej oraz algorytmy szukania wskaźnika Hasofera – Linda (wskaźnika kwadratowego) i wskaźnika Hasofera – Linda – Rackwitza – Fiesslera (wskaźnika kwadratowego, iterowanego macierzowo), w przypadku wcześniejszego wyboru jako bazy aproksymacyjnej modelu wielomianu stopnia drugiego.

Na podstawie pracy [Lemaitre, 1986] dokonano sprawdzenia poprawności i zbieżności obliczania kwadratowych wskaźników niezawodności β_HL oraz β_HLRF.

W pracy [Lemaitre, 1986] zdefiniowano proste zadanie statycznie niewyznaczalnej trójprzęsłowej belki ciągłej, o schemacie przedstawionym na rys. 6.2.

Rys. 6.2. Statycznie niewyznaczalna trójprzęsłowa belka ciągła wg [Lemaitre, 1986].

Zmiennymi losowymi w tymże problemie inżynierskim są wartość obciążenia równomiernie rozłożonego q =const , moduł sprężystości Younga E oraz moment bezwładności przekroju poprzecznego J. Długość L pojedynczego przęsła belki jest stała i wynosi L =5 m.

Wartości oczekiwane i odchylenia standardowe zmiennych zadania, przyjęte wg pracy [Lemaitre, 1986], zostały zbiorczo zestawione w Tablicy 6.4.

Dla tak sformułowanego zadania metodami statycznymi można dokonać kalkulacji ugięcia maksymalnego, które wynosi 4,3125⋅q EJ.

Funkcją stanu granicznego jest kryterium stanu użytkowania, wyrażone jako zdefiniowany dopuszczalny poziom ugięć ( )w l , ustalony jako wartość wynoszącą ( )w l _dop =L 360.

Rozdział 6 – Przykłady zastosowań podejścia probabilistycznego... 129 Funkcję stanu granicznego konstrukcji można więc zapisać jako

(

)

Wyliczony w monografii kwadratowy wskaźnik niezawodności wyniósł β = 3,1730.

Tablica 6.4. Wartości oczekiwane i odchylenia standardowe zmiennych losowych zadania, przyjęte wg pracy [Lemaitre, 1986].

Wartość Zmienna losowa Wartość średnia Odchylenie standardowe q _{x 1} μ_q = μ_x1 =10, 0 kN/m σ_q =σ_x1 = 0, 4 kN/m E x 2 μ_E = μ_x2 =20000000 kN/m² σ_E =σ_x2 =5000000 kN/m² J x₃ μJ = μx₃ =0, 0008 m⁴ σJ =σx₃ =0, 00015 m⁴

Rozwiązanie programem autorskim nie wymaga w tym przypadku użycia modułu programu RSM–Win potrzebnego do aproksymacji powierzchni odpowiedzi konstrukcji.

Jak można zauważyć, funkcja stanu granicznego ma w rozpatrywanym zadaniu postać wielomianu stopnia drugiego ze składnikami interakcyjnymi, a więc dokładnie taką samą, jaką proponowany wielomian aproksymacyjny. Można więc przyjąć, że dane wprowadzone do programu są tożsame z odpowiedzią konstrukcji.

Program autorski dostosowano do możliwości pojawienia się takiej sytuacji i zawarto w nim opcję rezygnacji z aproksymacji powierzchni na rzecz manualnego lub zewnętrznego wprowadzenia współczynników kierunkowych ( , ,β β β_{0 i ij}) dla wielomianu modelowego.

Funkcję stanu granicznego przedstawić można zatem bezpośrednio w postaci proponowanej przez program autorski, jako wyrażenie

Dla powierzchni odpowiedzi zadanej tym wzorem, o tak wyznaczonym zbiorze współczynników kierunkowych wielomianu ( , ,β β β_{0 i ij} ⇒ β₁ = −4, 3125 ; β₂₃ =0, 01388888) przystąpić można do wyznaczania w programie autorskim kwadratowych wskaźników niezawodności β_HL oraz β_HLRF dla wyżej postawionego prostego problemu inżynierskiego.

Wykonując za pomocą autorskiego oprogramowania iteracyjną procedurę obliczania wskaźnika niezawodności Hasofera – Linda otrzymuje się wynik β_HL =3,1805.

130 Karol Winkelmann – Obliczanie niezawodności konstrukcji inżynierskich...

Bardzo ciekawym elementem rozwiązania algorytmu Hasofera – Linda jest towarzyszące każdej iteracji wyznaczanie współczynników wrażliwości α_i , które są miarą zależności końcowego rozwiązania od poszczególnych zmiennych.

Im większa (co do wartości bezwzględnej) jest wartość współczynnika wrażliwości, tym bardziej zmiana danej zmiennej losowej będzie miała wyraźniejszy wpływ na zmienną całkowitą odpowiedzi. Współczynniki wrażliwości można bowiem rozumieć jako wektory kierunkowe (rozkłady na poszczególne osie przestrzeni realizacji x ) wektora łączącego punkt początkowy analizy (gdzie x=0) z punktem projektowym zadania (miejscem kalkulacji wskaźnika niezawodności β ). Co za tym idzie, im większa jest wartość danego j – tego współczynnika wrażliwości, tym wymagane przemieszczenie się względem j – tego wymiaru przestrzeni realizacji, potrzebne do osiągnięcia punktu projektowego zadania jest większe.

Szczegóły iteracyjnych obliczeń wskaźnika niezawodności Hasofera – Linda β _HL oraz współczynników wrażliwości α_i , wraz z obliczonymi różnicami pomiędzy otrzymywanymi w kolejnych krokach iteracji wynikami, przedstawiono w Tablicy 6.5.

Uzyskiwanie zbieżności iteracyjnych obliczeń i spadek różnic pomiędzy otrzymywanymi w kolejnych krokach iteracji wynikami przedstawiono na rys. 6.3 oraz na rys. 6.4.

Jak zauważyć można na obu rysunkach, bardzo dobrą zbieżność uzyskiwanych wyników osiąga się już dla szóstej iteracji, co pozwala na określenie obliczeń jako szybko zbieżne i ekonomiczne pod względem czasu obliczeniowego. Wszystkie wyniki, uzyskane na drodze wykonywania procedury programu autorskiego, bardzo szybko się stabilizują i końcowo osiągają wyniki, które pokrywają się z rozwiązaniem monograficznym.

Błąd bezwzględny oszacowania wskaźnika niezawodności Hasofera – Linda β wynosi _HL

, ,

co jest wynikiem jakościowym bardzo dobrym, mniejszym od akceptowalnego poziomu 3,0% . Tablica 6.5. Szczegóły iteracyjnych obliczeń wartości wskaźnika niezawodności Hasofera – Linda β oraz współczynników wrażliwości _HL αⁱ, wraz z obliczonymi różnicami pomiędzy wynikami otrzymywanymi w kolejnych krokach iteracji.

Liczba iteracji

Rozdział 6 – Przykłady zastosowań podejścia probabilistycznego... 131

Rys. 6.3. Uzyskiwanie zbieżności iteracyjnych obliczeń wartości wskaźnika niezawodności Hasofera – Linda β oraz współczynników wrażliwości _HL αⁱ.

Rys. 6.4. Uzyskiwanie niwelacji różnic między otrzymywanymi w kolejnych krokach iteracji wynikami wskaźnika niezawodności Hasofera – Linda β i współczynników wrażliwości _HL αⁱ.

Wykonując natomiast za pomocą autorskiego oprogramowania iteracyjną procedurę obliczania wskaźnika niezawodności Hasofera – Linda – Rackwitza – Fiesslera otrzymuje się wynik β_HLRF = 3,1805, identyczny jak dla obliczeń wg Hasofera – Linda.

Ciekawym elementem rozwiązania algorytmu Hasofera – Linda – Rackwitza – Fiesslera jest natomiast kontynuowane w każdej iteracji bezpośrednie wyznaczanie wartości zmiennych losowych zadania x_i, które wyraźnie wskazują przemieszczanie się punktu projektowego w przestrzeni realizacji zadania. Jest to działanie analogiczne do wyznaczania współczynników wrażliwości, lecz w procesie stricte inżynierskim jest to technika bardziej otwarta dla eksperymentatora, dużo łatwiejsza w interpretacji.

Szczegóły obliczeń wskaźnika niezawodności Hasofera – Linda – Rackwitza – Fiesslera β_HLRF oraz wartości zmiennych losowych zadania x_i, wraz z obliczonymi różnicami pomiędzy otrzymywanymi w kolejnych krokach iteracji wynikami, przedstawiono w Tablicy 6.6.

-1,00

132 Karol Winkelmann – Obliczanie niezawodności konstrukcji inżynierskich...

Uzyskiwanie zbieżności iteracyjnych obliczeń i spadek różnic pomiędzy otrzymywanymi w kolejnych krokach iteracji wynikami przedstawiono na rys. 6.5 oraz na rys. 6.6.

Jak zauważyć można na obu rysunkach, bardzo dobrą zbieżność uzyskiwanych wyników osiąga się już dla piątej iteracji, co także pozwala na określenie obliczeń jako szybko zbieżne i ekonomiczne pod względem czasu obliczeniowego. Wszystkie wyniki pokrywają się z rozwiązaniem monograficznym.

Błąd bezwzględny oszacowania wskaźnika niezawodności Hasofera – Linda – Rackwitza – Fiesslera β_HLRF wynosi e_βHLRF =0, 2364% i z racji identyczności wyników β_HL oraz β_HLRF jest tożsamy z błędem bezwzględnym kalkulacji e_βHL.

Tablica 6.6. Szczegóły iteracyjnych obliczeń wartości wskaźnika niezawodności Hasofera – Linda – Rackwitza – Fiesslera β_HLRF oraz wartości zmiennych losowych zadania xⁱ, wraz z obliczonymi różnicami pomiędzy wynikami otrzymywanymi w kolejnych krokach iteracji.

Liczba iteracji

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

β 3,0000 2,5782 3,2896 3,2135 3,1821 3,1805 3,1805 3,1805 3,1805 3,1805 3,1805 q 51,5298 17,7277 9,9492 9,8005 10,0325 10,0432 10,0436 10,0435 10,0435 10,0435 10,0435 E 20000000 9690365 5369144 4540748 4418672 4380462 4371076 4368840 4368314 4368191 4368160 J 0,000800 0,000568 0,000575 0,000670 0,000705 0,000712 0,000713 0,000714 0,000714 0,000714 0,000714 błąd β - 14,0600 27,5933 2,3139 0,9774 0,0481 0,0028 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 błąd q - 65,5972 43,8779 1,4944 2,3677 0,1063 0,0040 0,0005 0,0002 0,0000 0,0001 błąd E - 51,5482 44,5930 15,4289 2,6884 0,8648 0,2143 0,0511 0,0120 0,0028 0,0007 błąd J - 28,9959 1,2906 16,4766 5,1958 0,9795 0,2187 0,0507 0,0119 0,0028 0,0007

Rys. 6.5. Uzyskiwanie zbieżności iteracyjnych obliczeń wartości wskaźnika niezawodności Hasofera – Linda – Rackwitza – Fiesslera β_HLRF oraz wartości zmiennych zadania xⁱ.

Dla przejrzystości rysunku posłużono się skalą logarytmiczną na osi wartości liczbowych.

0,00 0,01 1,00 100,00 10 000,00 1 000 000,00 100 000 000,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

liczba iteracji

β q E J

Rozdział 6 – Przykłady zastosowań podejścia probabilistycznego... 133

Rys. 6.6. Uzyskiwanie niwelacji różnic pomiędzy otrzymywanymi w kolejnych krokach iteracji wynikami wskaźnika niezawodności Hasofera – Linda – Rackwitza – Fiesslera β_HLRF oraz wartości zmiennych losowych zadania x_i.

6.1.3. Pełne rozwiązanie problemu niezawodności dla kolumny