Podejścia symulacyjne i probabilistyczne, co zostało już podkreślone w rozprawie, dostarczają interesujących inżyniera wyników w sposób bardzo łatwy do realizacji i są obecnie jedną z podstawowych strategii szacowania niezawodności problemów inżynierskich. Jednakże zgodzić trzeba się z ogólnie utrwalonym stwierdzeniem, iż mimo wszystkich zalet bezpośredniego podejścia metody Monte Carlo, kwestią pożądaną w obliczeniach numerycznych jest zredukowanie liczby próbek losowych, jakie trzeba włączyć do analizy.
Trudno jest jednak przewidzieć, która z zasygnalizowanych technik redukcji wariancji jest najbardziej skuteczna, zależy to głównie od klasy problemu jaki jest rozważany.
Ilustracja tego wpływu zostanie wskazana w niniejszym rozdziale na numerycznym przykładzie poszukiwania stanu granicznego geometrycznie nieliniowego modelu prętowego masztu. Wpierw, w celu wprowadzenia w problematykę obliczeń przedstawiony zostanie model geometrycznie dwuwymiarowy z jednym stopniem swobody, a następnie, w celu wskazania wpływu technik redukcyjnych – model geometrycznie trójwymiarowy z dwoma stopniami swobody. W obu przypadkach, w modelach zakłada się wstępne imperfekcje odchylenia masztu od pionu i niepewności materiałowe stałej sprężystości odciągów.
Odchylenia te są traktowane jako początkowe zmienne losowe.
W pierwszej kolejności zostanie zaprezentowana skuteczność działania zarówno bezpośredniej metody Monte Carlo, jak i dobranych do zadań technik redukcji wariancji generowanych próbek. Analizowany jest wpływ redukcji populacji na szybkość osiągania zbieżności pierwszych trzech probabilistycznych momentów odpowiedzi: wartości oczekiwanej, odchylenia standardowego (badanie pierwszych dwóch momentów jest zadaniem obligatoryjnym w analizy niezawodności) oraz skośności (zadanie wykonywane kontrolnie).
Zbadana zostanie także zmienność wartości krytycznego obciążenia ściskającego masztu (podawanego jako mnożnik wyjściowego poziomu obciążenia), prowadzącego do awarii konstrukcji. Zadanie to wykonuje się ustalając wartość jednej wybranej imperfekcji, a następnie odczytując zakres zmienności odpowiedzi modelu konstrukcji (zachowania się ścieżek równowagi) dla najbardziej skrajnych przypadków wartości pozostałych zmiennych.
Jest to badanie wskazujące wpływ imperfekcji na uzyskiwane przez inżyniera rezultaty.
Pamiętać należy, że duże zróżnicowanie rezultatów płynących z modeli o małym stopniu skomplikowania może posłużyć jako wskaźnik skali problemu, z jakim można spotkać się w rzeczywistej inżynierii, posługującej się dużo bardziej skomplikowanymi modelami.
W literaturze dostrzec można dużą dostępność wielu różnorodnych, doskonale opisanych matematycznie, prostych modeli nieliniowych konstrukcji inżynierskich. Dwa przykłady, które zostały przedstawione w rozdziałach 2.6.3.1 oraz 2.6.3.2 [Bažant i Cedolin, 1991;
Hjelmstad, 2005] wybrane zostały z dostępnej puli modeli głównie ze względu na ich ścisłe nawiązanie do rzeczywistych konstrukcji inżynierskich, konkretnie do masztów z odciągami.
W obu przedsięwziętych do analizy modelach należy także wskazać ich stosunkowo nieskomplikowany ścisły opis matematyczny, co jest bardzo korzystne przy późniejszym porównawczym zestawianiu jawnie obliczonych krytycznych mnożników siły obciążającej z rezultatami otrzymanymi symulacyjnie.
62 Karol Winkelmann – Obliczanie niezawodności konstrukcji inżynierskich...
Poza tym, oba przykłady wykazują ciekawe zachowania niestateczne, prezentują bardzo interesujące z punktu widzenia inżyniera postkrytyczne ścieżki równowagi, co po pierwsze znacznie ułatwia precyzowanie interesujących rezultatów maksymalnych sił obciążenia, a po drugie bardzo widocznie różnicuje zachowanie się konstrukcji po przekroczeniu wartości krytycznej przez siłę ściskającą. Warto jednak w tym momencie wyraźnie odnotować, iż w zakresie możliwych do wystąpienia zmienności parametrów losowych, rozdzielić można regiony realizacji zmiennych generujące stabilne i niestabilne ścieżki rozwiązania (takie, dla których druga pochodna z energii modelu obliczana względem stopni swobody modelu kolejno jest albo nie jest skończona). W niniejszej analizie ograniczono się jedynie do rozwiązań, dla których wspomniana druga pochodna z energii jest skończona (ścieżek stabilnych) oraz założono dodatkowo, iż parametry zmienne nie mogą przybrać wartości ujemnych [Nemat–Nasser i inni, 1980; Ikeda i Murota, 1991; Tylikowski, 1991].
2.6.3.1. Model 2-D
W pierwszej kolejności podejmuje się w rozprawie analizę modelu dwuwymiarowego geometrycznie, o jednym stopniu swobody
Rozważa się nieskończenie sztywny (EA[kN]= ∞ ;EJ [kNm ]2 = ∞) pionowy element prętowy o długości l [m] (maszt), który u dołu jest zamocowany przegubowo w podłożu, a u szczytu podparty liniową, poprowadzoną pod kątem α[rad] sprężyną (odciągiem), zaczepioną przegubowo zarówno do podłoża, jak i do samego elementu prętowego. Sprężyna ma zadaną sztywność liniową, równą k [kN m]. Punkty podparcia sprężyny i elementu prętowego są oddalone od siebie o dystans równy a [m]. Maszt obciążony jest u szczytu siłą pionową o wartości P [kN].
Konstrukcję przedstawiono na rys. 2.18.
Pozycję sztywnego elementu prętowego masztu można zdefiniować wyłącznie jednym stopniem swobody – kątem obrotu elementu względem kierunku pionu, oznaczanego φ [rad].
Zakłada się jednak, że maszt ma pewną niezamierzoną niedoskonałość wykonania, która objawia się utratą jego pionowości. Imperfekcję tą opisuje się za pomocą kąta początkowego pochylenia elementu φ0 [rad]. Jest ona jedną z imperfekcji losowych w układzie, obok wspomnianej sztywności liniowej sprężyny odciągu k.
W modelu zakłada się, iż nie dopuszcza się powstawania w sprężynie sił ściskających, co powoduje, iż rzeczywiście można mówić o sprężynach jako o typowych odciągach masztów.
Ponadto założyć można bliźniaczy model, gdzie u szczytu zamocowane są dwie sprężyny, a nie jedna, jak w tym przypadku (przy czym całość układu pozostaje w płaszczyźnie geometrycznie dwuwymiarowej), co dawałoby pełen, rzeczywisty obraz masztu poprawnego w sensie inżynierskim. Zaprezentowany w pracy przypadek jest w tym świetle pewnego rodzaju uproszczeniem dla modelu z dwiema sprężynami, wykorzystującym symetrię rzeczywistej pracy tychże konstrukcji (zakładając ich dwuwymiarowość).
Rozdział 2 – Metody określania niezawodności modeli konstrukcji inżynierskich 63 Przykład ten posłuży wyłącznie prezentacji toku obliczeń, jakie muszą być wykonane, aby możliwe było szacowanie interesującej odpowiedzi konstrukcji, w zależności od przyjętych wartości realizacji zmiennych losowych imperfekcji modelu oraz zasygnalizowanie, jaka wartość wynikowa jest uważana za odpowiedź konstrukcji.
Rys.2.18. Dwuwymiarowy geometrycznie model nieskończenie sztywnego elementu prętowego (masztu), podpartego za pomocą jednej sprężyny (odciągu).
Najistotniejszą wartością liczbową analizy jest krytyczna siła ściskająca Ncr, którą można obliczyć z prostego równania równowagi momentów względem punktu zamocowania ( ).A Równość ta ma postać
0 Δ Δ 0
MA = ⇒ P⋅ x − ⋅k s r⋅ =
∑
(2.108)gdzie: Δx = ⋅l sinφ jest przemieszczeniem poziomym szczytu masztu (ramieniem siły P ), r jest ramieniem siły panującej w sprężynie odciągu, a Δs – osiowym wydłużeniem odciągu.
Wydłużenie sprężyny Δs można opisać równaniem
Δs =sφ −sφ0 (2.109)
gdzie s jest długością sprężyny rozciągniętej obrotem o kąt φ , a φ s jest długością sprężyny φ0 rozciągniętej niezamierzonym obrotem o kąt φ0.
Zakładając trygonometryczne zależności a2+l2 =s2 dla obu stanów wychylenia masztu:
(
a+Δaφ0) (
2 + −l Δlφ0)
2 =sφ02 ;(
a+Δaφ) (
2+ −l Δlφ)
2 =sφ2 (2.110);(2.111) otrzymać można równość( ) (
2)
2(
0) (
2 0)
2Δs = a +Δaφ + −l Δlφ − a +Δaφ + −l Δlφ (2.112)
64 Karol Winkelmann – Obliczanie niezawodności konstrukcji inżynierskich...
Rozwijając kolejno składniki przyrostów długości rzutów sprężyny:
0 0 lub, w uproszczeniu, podstawiając wyjściowy kąt pochylenia sprężyny (α=a l), jako
(
2 2 0)
Δs= ⋅l α +2α⋅sinφ+ −1 α +2α⋅sinφ +1 (2.115) Ramię siły panującej w sprężynie podczas jej rozciągnięcia obrotem o kąt φ można obliczyć wykorzystując funkcje trygonometryczne kąta kierunkowego sprężyny:
Δφ sin φ oraz zależność (2.111), rozwinąć kolejno do postaci