2.8. Wrażliwość probabilistyczna modeli konstrukcji inżynierskich
2.8.2. Techniki określania wrażliwości mające za podstawę metodę powierzchni odpowiedzi
Drugą znaczącą grupą metod probabilistycznej analizy wrażliwości jest rodzina technik, które mają u swoich podstaw założenia metody powierzchni odpowiedzi, lub które odwołują się do technik matematycznych używanych przy dopasowywaniu powierzchni odpowiedzi:
standardowej regresji liniowej, procedur aproksymacji kwadratowej oraz analizy pochodnych cząstkowych funkcji powierzchni odpowiedzi. Podejście takie nazywa się zbiorczo terminem technik oceny wrażliwości wywodzących się z analizy wariancji.
Jednym z najprostszych i najbardziej rozpowszechnionych podejść zaliczanych do tej grupy jest technika OAT (one-at-a-time), polegająca na przeprowadzaniu serii badań numerycznych biorących pod uwagę zmienność tylko pojedynczego czynnika na wynikową odpowiedź konstrukcji (pozostawiając resztę czynników niezmienną). Wrażliwość jest przy takim podejściu definiowana jako obserwowana (na drodze kalkulacji pochodnych cząstkowych lub regresji liniowej) zmiana danych wyjściowych, zachodząca na skutek zmiany poszczególnych danych wejściowych.
Takie podejście gwarantuje równocześnie możliwość porównania wyników obliczeń wrażliwości dla różnych niepewności, jako że wszystkie efekty dokonywania zmian w danych wejściowych można w prosty sposób odnieść do punktu centralnego przestrzeni realizacji.
Procedura OAT jest rozpowszechniona także z powodów czysto praktycznych, gdyż jej koszt obliczeniowy jest relatywnie niski, unika się efektów sprzęgania wpływu kilku niepewności, a także osiąga się pełną wiedzę na temat poziomu odchylenia zmiennych od średniej, które spowoduje przekroczenie określonego stanu granicznego modelu. Procedura OAT nie może być zastosowana, jak zasygnalizowano powyżej, jeśli sensem przeprowadzania analizy wrażliwości jest przeszukiwanie przestrzeni realizacji zmiennych pod kątem możliwości zaistnienia interakcji zmiennych wejściowych.
Techniki składowe procedury OAT mogą być równocześnie osobnymi metodami analizy wrażliwości. Kalkulacja wrażliwości modelu w jego określonym punkcie przestrzeni probabilistycznej x(0) za pomocą pochodnych cząstkowych funkcji stanu modelu ∂ ∂y xi x(0)
nazywana jest często metodą lokalną (podobnie do techniki OAT, metoda ta nie przeszukuje całej przestrzeni realizacji, a jedynie rozważa lokalne wpływy zmiennych wejściowych na zachowania się powierzchni odpowiedzi), natomiast technika polegająca na dopasowywaniu za pomocą regresji liniowej n – wymiarowej płaszczyzny do powierzchni odpowiedzi, używająca współczynników standardowej regresji liniowej jako wskaźników wrażliwości, nazywana jest metodą analizy regresji (działa ona najlepiej, jeśli powierzchnia odpowiedzi modelu jest liniowa lub wartości jej wielowymiarowych współczynników kierunkowych są pomijalnie małe).
Metody ściśle wynikające z analizy wariancji zmiennej wyjściowej to klasa podejść probabilistycznych, które po ilościowym określeniu niepewności wejściowe i wyjściowe modelu jako odpowiednie rozkłady prawdopodobieństwa są w stanie rozłożyć wariancję zmiennej wyjścia (dokonać jej dekompozycji) na części przypisane do poszczególnych zmiennych wejściowych i poszczególnych kombinacji tychże zmiennych. Wrażliwość zmiennej wyjścia na zmianę w niepewności wejściowej mierzona jest poprzez kalkulację wartości fragmentarycznej
Rozdział 2 – Metody określania niezawodności modeli konstrukcji inżynierskich 89 wariancji powstałej wskutek zmiany tejże danej początkowej. Zmiany te, nazywane cząstkową wrażliwością odpowiedzi na zmianę danej wejściowej xi mogą być wyrażone, jeśli przyjmie się model powierzchni odpowiedzi zadania w postaci
1 2 3
( ) ( ; ; ;...; )n
y ≡y x =f x x x x , za pomocą wzoru
( )
xi i
Var Exi y x (2.140)
gdzie: Var i[ ] oraz E i[ ] oznaczają kolejno operatory wariancji i wartości oczekiwanej.
Wyrażenie to mierzy wkład pojedynczej niepewności xi na całkowitą wariancję zmiennej odpowiedzi y (zakładając uśrednione wartości zmienności pozostałych zmiennych początkowych) i znane jest także pod nazwą wskaźnika wrażliwości pierwszego rzędu lub też wskaźnika efektu głównego zmiennej xi. Co ważne, tak skalkulowany wskaźnik nie mierzy wrażliwości zmiennej odpowiedzi na interakcje pomiędzy niepewnościami.
Dopiero całkowity wskaźnik efektu głównego, obliczany jako suma wskaźników pierwszego rzędu oraz wskaźników interakcji daje w rezultacie całkowitą wariancję zmiennej odpowiedzi y (dokonuje jej ponownej kompozycji). Obie te wartości mogą być także standaryzowane, co odbywa się poprzez podzielenie ich przez Var y[ ].
Należy jednakże pamiętać, że wykonanie pełnego procesu dekompozycji wariancji ma sens tylko wtedy, gdy zmienne wejściowe są od siebie niezależne.
Metody wyprowadzone z analizy wariancji umożliwiają pełne przeszukanie przestrzeni realizacji zmiennych wejściowych, co pozwala na znalezienie wszystkich interakcji i nieliniowych zachowań modelu obliczeniowego. Z tych względów metody te są szeroko stosowane tam, gdzie tylko jest to obliczeniowo możliwe. Jednakże, ponieważ metoda ta może obejmować konieczność rozważenia bardzo dużej ilość kombinacji wartości zmiennych podstawowych modelu, obliczenia takie mogą wymagać zastosowania podejścia Monte Carlo, co może nie być korzystne z punktu widzenia czasu i kosztu obliczeniowego. Redukcję kosztów obliczeniowych przynosi wówczas stosowanie innych technik, na czele z podejściem emulatorowym [Saltelli i inni, 2004].
Emulatory (znane również jako meta-modele, modele zastępcze lub powierzchnie odpowiedzi) są to stosunkowo prostej budowy funkcje matematyczne (emulatorowe), które jak najdokładniej przybliżają realne relacje zmiennych wejścia i wyjścia modelu.
W następstwie ich zastosowania tworzony jest całkowicie nowy model obliczeniowy (stąd nazwa meta-model, „model modelu”), który zamiast być reprezentowany przez bardzo złożony układ zależnych od siebie równań, bardzo kosztowny czasowo do rozwiązania, może być przybliżony jako jedna funkcja zmiennych wejściowych y ≡y( )x , utworzona na bazie wyników skalkulowanych poprzez uruchomienie modelu dla zaledwie kilku losowo dobranych punktów przestrzeni realizacji zmiennych wejściowych (najczęściej na drodze próbkowania warstwowego lub próbkowania hipersześcianu łacińskiego). Funkcja emulatorowa, oznaczana jako η x( )
(
η( )x ≅y( )x)
, pozwala na proste i szybkie obliczenie całkowitego wskaźnika wrażliwości, gdyż ilość realizacji meta-modelu potrzebnych do oceny tegoż wskaźnika jest zazwyczaj dużo mniejsza niż wymagana ilość realizacji modelu podstawowego.90 Karol Winkelmann – Obliczanie niezawodności konstrukcji inżynierskich...
Podstawowymi typami emulatorów stosowanych w analizie wrażliwości są między innymi:
procesy gaussowskie (kriging), środowisko drzew decyzyjnych (random forests), powierzchnie gradientowo ulepszone (gradient boosting), powierzchnie chaosu wielomianowego lub powierzchnie złożone z krzywych wygładzających (splining).