Metoda Monte Carlo

2.6. Metody oparte na miarach prawdopodobieństwa

2.6.1. Metoda Monte Carlo

Metoda Monte Carlo została opracowana przez zespół Johna von Neumanna podczas II wojny światowej, w trakcie prac nad arsenałem jądrowym w Los Alamos. Von Neumann wykorzystał zaadaptowane przez niego podejście symulacyjne, aby opisać losową naturę ruchu cząstek (dyfuzji neutronów). Termin Monte Carlo został zaczerpnięty z nazwy pobliskiego kasyna – skojarzenie z hazardem miało wskazywać nie tylko na przypadkowy (losowy) charakter symulowanych zjawisk, ale także na świadomość niebezpieczeństwa kryjącego się za militarnymi eksperymentami nuklearnymi [Hammersley i Handscomb, 1964].

Rozdział 2 – Metody określania niezawodności modeli konstrukcji inżynierskich 47 Metoda Monte Carlo od dawna jest uznawana za technikę cechującą się największą dokładnością spośród wszystkich metod wymagających wiedzy o rozkładzie prawdopodobieństwa funkcji odpowiedzi konstrukcji opisanej za pomocą parametrów obarczonych losowymi niepewnościami. Pierwsze powojenne próby opisania podstaw teoretycznych metody Monte Carlo w odniesieniu do inżynierii lądowej datuje się już na początek drugiej połowy ubiegłego stulecia [Kahn, 1955; Hammersley i Handscomb, 1964;

Rubinstein, 1981; Hurtado i Barbat, 1988; Zio, 2008].

Metoda Monte Carlo znajduje zastosowanie w prawie wszystkich dziedzinach techniki, zajmujących się teorią niezawodności. Szczególną pozycję zajmuje w badaniach eksperymentalnych i numerycznych elementów żelbetowych [Hurtado i Barbat, 1988;

Pradlwarter i Schuëller, 1997; Johnson i inni, 1999; Wang, 1999; Schuëller, 2001].

Na przestrzeni czasu metoda ta jest w sposób ciągły udoskonalana i dopracowywana.

Najważniejszym obszarem precyzowania metody jest w czasach obecnych podejmowanie prób optymalizacji matematycznego opisu generowania wartości losowych, przy równoczesnej minimalizacji nakładu obliczeń, prowadzonej w celu ułatwienia modelowania lub symulacji złożonych konstrukcji, procesów i zjawisk, które zachodzą w sposób w pełni losowy.

Teoretyczne podwaliny metody Monte Carlo można przedstawić, opierając się na rozwinięciu informacji o stanie granicznym konstrukcji inżynierskiej obarczonej niepewnościami jej parametrów. Prawdopodobieństwo awarii takiej konstrukcji P można określić w sposób _f przedstawiony wcześniej, jako funkcję spełnienia marginesu bezpieczeństwa:

(

)

⁰

Pf =P g R S ≤  (2.79)

gdzie funkcja g R S( , ) jest funkcją stanu granicznego konstrukcji inżynierskiej, w której niepewności wyrażone są dwiema reprezentatywnymi podstawowymi zmiennymi losowymi wytrzymałości materiału i obciążenia.

Prosta postać funkcji stanu granicznego z powyższego zapisu może w przypadku ogólnym zostać wyrażona bezpośrednio jako zależność wszystkich zmiennych podstawowych i ich rozkładów prawdopodobieństwa, co można zapisać równaniem

( ) ( )

prawdopodobieństwa n –wymiarowego wektora podstawowych zmiennych losowych.

Jeśli zmienne podstawowe X={ ;X X X₁ ₂; ₃;...;X_n} są niezależne, to zapis funkcji gęstości prawdopodobieństwa można uprościć do postaci

( )

_iⁿ₁ ^Xⁱ

( )

^X¹

^{( )}

¹ ^X²

^{( )}

² ^X³

^{( )}

³ ^... ^Xⁿ

^{( )}

ⁿ

f^X ^x ⁼

∏

₌ f xi ⁼ f x ^⋅f x ^⋅f x ^{⋅ ⋅}f x ^(2.81) gdzie funkcje f_X_i( )x są kolejnymi cząstkowymi funkcjami gęstości prawdopodobieństwa _i podstawowych zmiennych X_i.

48 Karol Winkelmann – Obliczanie niezawodności konstrukcji inżynierskich...

Założyć można następującą całkę, będącą uogólnioną formą zapisu funkcji stanu granicznego

( )

I =

∫

g ^x dx ^(2.82)

gdzie D jest obszarem w przestrzeni n –wymiarowej, a g x( ) jest funkcją realizacji zmiennych losowych problemu inżynierskiego.

Jeżeli zostaną wygenerowane symulacyjnie (z obszaru D ) niezależne i pochodzące z rozkładu równomiernego realizacje zmiennych losowych x x x₁, , ,...,₂ ₃ x_n, to przybliżenie przedstawionej powyżej wartości I może być zapisane w postaci

( )

ˆ_MC 1 ... _n

I g g g g

n  

= ⋅ x + x + x + + x  (2.83)

Zgodnie z prawem wielkich liczb, średnia wielu niezależnych zmiennych losowych z jednakową wartością średnią i skończonymi wariancjami stabilizuje się w ich wspólnej średniej limˆ_MC ,

n I I

→∞ = z prawdopodobieństwem równym jedności.

Stopień zbieżności rozwiązania tego problemu może być obliczony na podstawie centralnego twierdzenia granicznego

(

^ˆ^{MC m}^,

) ^{( )}

^0, ²

m I −I →N σ (2.84)

gdzie wariancja rozkładu jest związana z funkcją stanu granicznego – σ² =Var g[ ( )]x .

W przypadku analizy niezawodności konstrukcji inżynierskich powyższa procedura oznacza, iż każdy wektor realizacji zmiennych losowych x_i jest generowany losowo, aby otrzymać pojedynczą wartość realizacji tzw. próbki losowej xˆ_i, dla której sprawdza się później spełnienie równania stanu granicznego konstrukcji inżynierskiej g( ) 0.xˆ_i =

Jeśli stan graniczny jest przekroczony, tj. jeśli g( ) 0xˆ_i ≤ , to zakłada się wówczas, że dla danej próbki konstrukcja uległa awarii.

Eksperyment z pojedynczą próbką powtarza się wielokrotnie, zależnie od założeń procesu projektowego określonego przez inżyniera. Jeśli przeprowadzony zostanie on N razy, prawdopodobieństwo całkowite awarii jest w przybliżeniu równe

( ( )

^ˆⁱ ⁰

)

ta ma bardzo duży wpływ na dokładność oszacowania całkowitego prawdopodobieństwa awarii konstrukcji P , zatem musi być dobrana z należną odpowiedzialnością. _f

Wartość P oszacowana metodą Monte Carlo jest często zwana wartością estymowaną _f lub estymatorem prawdopodobieństwa awarii J_MC,dla odróżnienia tejże wartości od prawdopodobieństwa awarii obliczonego za pomocą zamkniętych procedur.

Rozdział 2 – Metody określania niezawodności modeli konstrukcji inżynierskich 49 Bardzo często w literaturze spotyka się zapis estymatora prawdopodobieństwa awarii dokonany za pomocą wprowadzonej zewnętrznie dwupunktowej funkcji charakterystycznej, przedstawiany w następujący sposób:

gdzie funkcja charakterystyczna wyrażana jest wzorem

( ( ) ) ^{( )} _{( )}

Błąd estymatora prawdopodobieństwa awarii wyraża się za pomocą jego wariancji, którą w przypadku zastosowania zapisu z użyciem funkcji charakterystycznej obszaru awarii zapisać można równością

Wówczas, dokładność oszacowania wykonanego metodą Monte Carlo może zostać wyrażona za pomocą współczynnika zmienności estymatora, który można przedstawić jako

ˆ_MC ^P^f

e V

= P (2.90)

lub odwrotnie, na podstawie przekształcenia równania – liczbę symulacji, jaką należy wykonać, aby otrzymać estymator o żądanym współczynniku zmienności (odpowiadający oczekiwanemu przez projektanta zadanemu prawdopodobieństwu awarii) można określić jako

ˆ_MC 1 ^f metodologii Monte Carlo w szeroko pojętej inżynierii.

Podsumowując – aby stosować metodę Monte Carlo w praktyce inżynierskiej, koniecznie należy rozwinąć technikę symulacji próbek podstawowych zmiennych losowych xˆ_i, określić szacunkową liczbę próbek potrzebnych do poprawnego oszacowania wspomnianego powyżej prawdopodobieństwa awarii konstrukcji P (co w niektórych przypadkach wiąże się z celową _f i zaplanowaną redukcją populacji próbek, mającą zaoszczędzić czasu i mocy obliczeniowej narzędzia komputerowego, poprzez tzw. techniki redukcyjne) oraz uwzględnić efekt złożoności tego wyboru na obliczenie funkcji stanu granicznego g x( )ˆ_i [Melchers, 1999].

50 Karol Winkelmann – Obliczanie niezawodności konstrukcji inżynierskich...

W dokumencie Obliczanie niezawodności konstrukcji inżynierskich metodami symulacyjnymi oraz metodą powierzchni odpowiedzi : rozprawa doktorska (Stron 52-56)

2.6. Metody oparte na miarach prawdopodobieństwa

2.6.1. Metoda Monte Carlo

(

)

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

∏

( )

∫

( )

( )

( )

( )

(

) ( )

( ( )

)

( ( ) ) ( ) ( )

^{( )}

^{( )}

^{( )}

^{( )}

) ^{( )}

( ( ) ) ^{( )} _{( )}