Generacja dwuwymiarowych i trójwymiarowych pól losowych
5.1. Generacja pól losowych za pomocą metody warunkowej akceptacji i odrzucania
Jak zauważono w rozdziale poprzedzającym, symulacja pól losowych jest ważnym elementem analizy niezawodności konstrukcji inżynierskich. Teoretyczne podstawy generacji pól losowych można znaleźć między innymi w pracach Adlera [Adler, 1981], Matherona [Matheron, 1975] oraz Shinozuki i współautorów [Shinozuka, 1987; Yamazaki i Shinozuka, 1990; Shinozuka i Deodatis, 1996], a implementacje tychże podstaw znajdują zastosowanie w zagadnieniach dyskretyzacji w szeregu różnych prac, m.in. w [Mignolet i Spanos, 1992]
oraz [Grigoriu i Balopoulou, 1993]. Rozwijane metody pozwalają zazwyczaj na generację pól jednorodnych i pól gaussowskich, wykorzystywanych w wielu różnorakich zagadnieniach, takich jak akustyka, trybologia, nauki o ziemi i wielu innych. Jednakże w literaturze światowej proponowane są także metody generacji pól niejednorodnych [Popescu i inni, 1998]
i pól niegaussowskich [Gomes i Awruch, 2002].
W niniejszej pracy stosowana jest warunkowa metoda generacji, opisana w licznych pracach Bielewicza, Walukiewicza i innych [Bielewicz i inni, 1985; Bielewicz i inni, 1987;
Bielewicz i inni, 1994; Walukiewicz i inni, 1995; Walukiewicz i inni, 1997]. Podsumowanie możliwości tej specyficznej metody generacji można znaleźć w pracy [Górski, 2006].
Metoda ta umożliwia generację dowolnych dwuwymiarowych i trójwymiarowych gaussowskich pól losowych. Wszechstronne analizy wykazały uniwersalność i przydatność warunkowej metody w generacji zarówno pól jednorodnych, jak i pól niejednorodnych.
Skuteczność tejże metody wykazały wszelkie przeprowadzone w wymienionych wyżej pracach testy, przeprowadzone dla pól opisanych nawet zaawansowanymi funkcjami korelacyjnymi Wienera lub Brauna. Specyfika metody warunkowej polega na wykorzystaniu w obliczeniach tylko pewnego fragmentu generowanego pola. W sposób warunkowy generowany jest zawsze tylko jeden punkt wspomnianego pola, opisany przez niewiadomą losową wartość. Algorytm pozwala na symulację pól o dowolnych rozmiarach.
Poniżej przedstawiono krótki zarys metody, przedstawiony w pracy [Górski, 2006].
W metodzie wykorzystywane jest dyskretne pole losowe, opisane w postaci wielowymiarowych zmiennych losowych zdefiniowanych w węzłach siatki definiowanego pola.
Pole to reprezentowane jest przez wektor losowy m zmiennych losowych, X(m×1), o średniej
(m×1)
X . Funkcja kowariancyjna pola reprezentowana jest macierzą kowariancyjną K(m m× ).
112 Karol Winkelmann – Obliczanie niezawodności konstrukcji inżynierskich...
Wektor losowy X(m×1) jest w metodzie generacji warunkowej rozdzielany na dwa bloki, składające się odpowiednio z elementów nieznanych Xu n( ×1) oraz elementów znanych Xk p( ×1), gdzie oczywiście n+ =p m.
Wektor losowy pola można wówczas przedstawić w postaci
u
oraz opisać go następującą łączną funkcją gęstości prawdopodobieństwa ( )f X , daną wzorem
( ) (
det) ( )
12 2 m2 exp 12( )
T 1( )
f = − ⋅ π − ⋅ − − − −
X K X X K X X (5.2)
Korzystając z założenia podziału wektora losowego X(m×1) na blok nieznany i znany, analogiczne założenie można przedsięwziąć w odniesieniu do macierzy kowariancyjnej K(m m× )
i wektora wartości oczekiwanych X(m×1) i je także podzielić na odpowiednie bloki:
11 12
Wektor nieznanych wartości losowych X wyznaczany jest na podstawie rozkładu u warunkowego [Devroye, 1986] zmiennych losowych X , wyrażaną wzorem k
( )
k(
det 22) ( )
12 2 p2 exp 12(
k k)
T 221(
k k)
gdzie podmacierz 0 oznacza macierz zerową.
W wyniku zastosowania uproszczeń, proponowanych w [Jankowski i Walukiewicz, 1997], otrzymuje się ostatecznie równość Devroye’a (5.7) w postaci
Rozdział 5 – Generacja dwuwymiarowych i trójwymiarowych pól losowych 113
gdzie K oznacza warunkową macierz kowariancyjną, natomiast c Xc oznacza warunkowy wektor wartości oczekiwanych, które to wartości przedstawić można zależnościami
1
11 12 22 21
c = − −
K K K K K (5.9)
oraz Xc =Xu +K K12 22−1
(
Xk −X k)
(5.10)W przypadku zastosowań inżynierskich wartości zmiennych losowych określone są zazwyczaj ściśle zdefiniowanym przedziałem. Na przykład moduł Younga nie może przyjmować wartości ujemnych, a wstępne imperfekcje geometryczne rzeczywistych konstrukcji nie powinny przekraczać wartości dopuszczanych przez normy.
Aby spełnić ten warunek, zastosować należy ucięty rozkład normalny, opisany równością ( )
( )
t
f x f x
= P (5.11)
gdzie ( )f x jest funkcją gęstości rozkładu prawdopodobieństwa Gaussa jednej zmiennej losowej x , opisanej odchyleniem standardowym σ i wartością średnia x , opisaną równością
( )
a P jest polem rozkładu, ograniczonym przez parametr ograniczenia odchylenia standardowego s , przedstawianym zapisem
( )
gdzie wprowadzona funkcja erf s nazywana jest funkcją błędu:
( )
( )
2Wariancję zmiennej losowej x opisuje ostatecznie następujący wzór:
( ) ( )
2114 Karol Winkelmann – Obliczanie niezawodności konstrukcji inżynierskich...
Podstawiając do powyższego zapisu wyprowadzone wzory na ( )f x oraz P otrzymać można t
zapis proponowany w pracy [Jankowski i Walukiewicz, 1997], w postaci
( )
2 2
t 1
σ =σ −t (5.17)
gdzie wartość t nazywana jest parametrem ucięcia i wyrażana jest wzorem
2
Ostatecznie, podstawienie wyprowadzonych wartości opisujących ucięty rozkład normalny, prowadzi do otrzymania wzoru na łączną funkcję gęstości prawdopodobieństwa uciętego rozkładu Gaussa w postaci
Algorytm generacyjny wykorzystuje w swoim działaniu bazowe pole zmiennych losowych, opisanych na regularnej lub nieregularnej siatce.
Algorytm ten postępuje zgodnie ze schematem przedstawionym obrazowo na rys. 5.1.
Rys. 5.1. Proces symulacji pola – nadawanie wartości punktom pola za pomocą techniki przesuwania bloku generacji [Górski, 2006].
W procesie generacyjnym pole bazowe o zdefiniowanym rozmiarze, zwane także blokiem generacji, jest sukcesywnie przesuwane w taki sposób, aby pokryć ostatecznie cały obszar generowanego pola (M ×N), jak pokazano na rys. 5.1. Rozmiar pola bazowego (c d× )
Rozdział 5 – Generacja dwuwymiarowych i trójwymiarowych pól losowych 115 metodą generacji, maksymalny wymiar macierzy kowariancji zdefiniowany jest przez wymiar pola bazowego. Nieznane wartości zmiennych generowane są przy założeniu, że znane są jedynie dane w punktach obszaru pola bazowego. Generacja przebiega w trzech etapach.
W pierwszym etapie działania algorytmu generowane są cztery punkty wyjściowe (rys. 5.1.a).
Następnie, w drugim etapie generowane są kolejne punkty z pola bazowego (rys. 5.1.b), w nawiązaniu do czterech punktów wyjściowych. Kolejny etap działania powtarzany jest wielokrotnie. Pole bazowe jest przesuwane i generowane są kolejne pojedyncze punkty pola (rys. 5.1.c oraz rys. 5.1.d). Zauważyć należy, iż dla każdego kolejnego punktu pola i (5≤ ≤ ×i (c d)) jedyną nieznaną zmienną jest X , podczas gdy wszystkie wcześniej i
wygenerowane zmienne X1 ÷Xi−1 są już znane. Generacja pojedynczych zmiennych losowych znacznie upraszcza wzory traktujące o rozdziale wektora losowego oraz macierzy kowariancji na elementy znane i nieznane – należy w nich wówczas podstawić kolejno: m =i, n=1 oraz p = −i 1. Dokonana w ten sposób redukcja algorytmu do jednego wymiaru (Kc ≡Kc,
c ≡Xc
X ) w znaczny sposób przyspiesza obliczenia.
W procesie generacyjnym wykonywane są kolejno następujące operacje [Górski, 2006]:
1. Określenie lokalnej macierzy kowariancyjnej K( )i i× , znanego wektora zmiennych losowych
(( 1) 1) k i− ×
X oraz wektora wartości oczekiwanych X( 1)i× .
2. Obliczenie warunkowej wariancji K i wartości średniej c Xc
1
11 12 22 21
Kc =K −K K K − (5.20)
oraz Xc =Xu +K K12 22−1
(
Xk −Xk)
(5.21)3. Generacja zmiennej losowej X , dokonywana za pomocą równości i
( )
i i i i i
X =a + b −a ⋅u (5.22)
4. Generacja zmiennej losowej u z rozkładu równomiernego u∈[0;1] i wyznaczenie
( )
( 1)/2( )
1 2max Φ, Φ 1 i 2 c
f = ⋅u = −t − − π K⋅ − (5.23);(5.24)
5. Obliczenie funkcji gęstości prawdopodobieństwa (f X i)