A .l. Form alizm algebry (max, +)
F o rm a liz m a lg e b ry (m a x ,+ ) opisano szeregiem d e fin ic ji [B a c e lli et a l., 1992] Poniżej p rz y to c z o n o n a jw a żniejsze z nich:
D e fin ic ja A . l
A lg e b ra (m a x ,+ ) (R , © , ® ) je s t z d e fin io w a n a następująco:
• R m a x = R w { - 00}.
g d z ie R je s t z b io re m lic z b rzecz y w is ty c h ;
• V a ,b e R m a x : a © b = m ax(a,b);
® - to o p e ra to r a d d y ty w n y (“ suma” ) będący operatorem m aksim um zg o d n ie z p o rz ą d k ie m lic z b rze czyw istych ;
• V a ,b € R m a x ■ a ® b = a + b
<8> to o p e ra to r m u ltip lik a ty w n y (“ ilo c z y n ” ) będący z w y k ły m d o d a w a n ie m , gd zie
V a e R m a x : a + ( -00) = (-00) + a = (-co). ■
A lg e b ra (m a x ,+ ) posiada następujące własności:
• łą c z n o ś ć i p rze m ien no ść operatora ad dytyw n eg o © ;
• łą czn o ść op era to ra m u ltip lik a ty w n e g o ® ,
• pra w a i le w a ro zd zie ln o ść © w zględem ® ;
• is tn ie n ie elem e ntu neutralnego (“ zera” ) dla © i absorbującego dla ® : e = (-00);
• is tn ie n ie ele m e n tu neutralnego (“ je d y n k i” ) dla ® : e = 0.
D o w o ln y elem e nt przestrzeni R m ax nie posiada elem entu o d w ro tn e g o w zględem op era to ra a d d y ty w n e g o , poniew aż rów na nie a © x = e posiada rozw ią za n ie ty lk o dla a= x = e.
O pe ra cje na m acierzach w algebrze (m a x ,+ ) zostały z d e fin io w a n e następująco:
• Jeżeli A , B e R m ax (g d zie A i B są m acierzam i o w y m ia ra c h m x n), to suma m acierzy je s t z d e fin io w a n a rów na nie m :
( A © B )ę = ac © b,j. ( A . l )
• Jeże li A , B e R m a x (g d z ie A ma ro z m ia r m x p zaś B ma ro z m ia r p x n), to ilo c z y n m a c ie rz y je s t z d e fin io w a n y rów n a n ie m :
( A ® B ) ? = ( A B ) , = © ( afk® b kj), (A . 2 )
g dzie, p o d o b n ie ja k w k la syczn e j algebrze lin io w e j, rezyg nu je się w zap isie ró w n a ń ze znaku op era to ra ® .
• R ó w n a n ie sp e ktra ln e w algebrze (m a x ,+ ) ma postać:
A ® x = X ® x. (A .3 )
W łaściw ości
• K a ż d a ścieżka z a m k n ię ta e ie2... e,,. dług ości lp > 3 o ró żn ych w ie rz c h o łk a c h X1X2... x n je s t c y k le m .
• Jeże li g r a f je s t spó jn y, to stow arzyszona z n im m acierz je s t nieredukow alna.
• D la g r a fó w s p ó jn y c h na jw y ż s z a średnia c y k lu , spośród w s z y s tk ic h c y k li gra fu , je s t ró w n a w a rto ś c i w ła s n e j m a c ie rz y stow arzyszonej.
P rz e d s ta w io n e d e fin ic je i w łasno ści, op isujące fo rm a liz m a lg e b ry (m a x ,+ ), u m o ż liw ia ją b u d o w ę m o d e lu system u, k tó ry cha rakteryzu je się c y k lic z n y m zach ow aniem . K o n s tru o w a n ie a lg e b ra ic z n e g o m o d e lu ro z p o c z y n a się od b u d o w y g ra fii po rzą d ku op e ra cji, k tó r y op isu je p rze strze ń sta n ó w system u.
G r a f p orząd k u op eracji i rów nanie stanu
A lg e b ra (m a x ,+ ) je s t n a tu ra ln ym fo rm a liz m e m op isu dla p ro c e s ó w k o m u n ik u ją c y c h się w try b ie s p o tk a n io w y m (randez-vous). System y w s p ó łb ie ż n y c h p ro c e s ó w p ro d u k c y jn y c h a n alizow an e w p ra cy ch a ra k te ry z u je w y k o n y w a n ie op era cji na zasobach d z ie lo n y c h . D o s tę p do ty c h z a s o b ó w je s t re a liz o w a n y w try b ie w za jem n eg o w y k lu c z a n ia . Z atem , aby za po m o c ą fo rm a liz m u a lg e b ry (m a x ,+ ) opisać w sp ółp racę pro cesó w w try b ie w z a je m n e g o w y k lu c z a n ia , w p ro w a d z o n o p o ję c ie procesu koo rdyn ują ceg o. Proces k o o rd y n u ją c y nie w y k o n u je rz e c z y w is te j p ra c y w system ie, p o zw a la je d y n ie zastąpić k o o rd y n a c ję p ro c e s ó w o p a rtą na p ro to k o le w z a je m n e g o w y k lu c z a n ia przez p ro to k ó ł s p o tka n io w y. Proces k o o rd y n u ją c y m usi re a liz o w a ć s p o tk a n ie z procesem rz e c z y w is ty m . R e alizacja spotkań p ro c e s ó w k o o rd y n u ją c y c h i rz e c z y w is ty c h m usi spe łn iać w a ru n e k w za jem n eg o w y k lu c z a n ia ty c h ostatnich. L ic z b a w p ro w a d z o n y c h p ro c e s ó w k o o rd y n u ją c y c h je s t do w o lna , ic h w y p a d k o w e d z ia ła n ie m usi z a p e w n ić w z a je m n e w y k lu c z a n ie oraz określoną, przez regułę ro z s trz y g a n ia k o n f lik t ó w
z aso bo w ych, k o le jn o ś ć dostępu procesów do zasobu dzielonego. Pojęcie procesu k o o rd y n u ją c e g o zostało ró w n ie ż w p row a dzo ne w pracach [S k o łu d , 1997b], [S k o łu d , 1997d],
W celu u tw o rz e n ia m odelu algebraicznego SW PP konieczne je s t ustalenie zależności czaso w ych , p o m ię d z y p o szczeg óln ym i operacjam i w sp ó łp ra c u ją c y c h procesów . Z ale żno ści te prze d sta w ia się w postaci gra fu porządku rozpoczynania op eracji, k tó re g o w ie rz c h o łk i rep re ze n tu ją poszczególne operacje procesów. W agi kraw ęd zi w y c h o d z ą c y c h z danego w ie rz c h o łk a oznaczają czasy w y k o n y w a n ia operacji, reprezentow anej przez ten w ie rz c h o łe k . K ra w ę d z ie w ch od zące do w ie rz c h o łk a okre śla ją w a ru n k i, ja k ie m uszą zaistn ie ć w system ie, aby proces m ó g ł w y k o n a ć daną operację. Dana operacja reprezentow ana przez w ie rz c h o łe k g ra fu m oże b y ć w yko na na, g d y zostaną zakończone w s z y s tk ie te operacje, k tó ry c h czasy w y k o n a n ia są w a g a m i k ra w ę d z i w ch od zących do danego w ierzcho łka .
D e fin ic ja A . 2
W e k to r stanu x (k ) określa m o m e n ty rozpoczęć poszczególnych operacji system u w s p ó łb ie ż n y c h pro c e s ó w p ro d u k c y jn y c h w k-tej itera cji. ■
Jako początek ite ra c ji p rz y ję to pew ien d o w o ln y m om ent c y k lic z n e j z m ia n y stanu system u. O kre śle n ie p o czą tku ite ra c ji polega na w yznaczeniu p o c z ą tk o w y c h operacji w s z y s tk ic h p ro c e s ó w w danej ite ra c ji. N a podstaw ie g ra fii porządku rozpoczęć operacji m ożna o d tw o rz y ć rów nane stanu (A .4 ), które opisuje dyn am ikę zm ian w e k to ra stanu w k o le jn y c h iteracjach.
x(A:) = A x ( i - i ) © B x ( £ )
x (0 ) = x o (A .4 )
y (* ) = C *(*), gdzie:
B - m acierz o ro z m ia rz e n x n (ro z m ia r w e k to ra stanu), stow arzyszona z gra fe m po rząd ku rozp oczę ć o p e ra cji z w yłączen ie m kraw ęd zi, k tó re poprzedzają początek c y k lu . G ra f p o rz ą d k u rozpoczęć op era cji je s t z d e fin io w a n y przez parę z b io ró w (S ,Q , gdzie 3 je s t z b io re m w ie rz c h o łk ó w , a C, je s t zbiorem kraw ędzi. Jeżeli z b ió r kra w ę d zi po prze dzających c y k l o z n a c z y m y przez ę s, to g r a f G = ( 9 ,ę \{ ę s} ) je s t grafem stow a rzyszon ym z m acierzą B. M a c ie rz B zaw iera zatem elem enty bg > e w te d y i ty lk o w ted y, g d y w a ru n k ie m ro z p o c z ę c ia j- t e j op era cji je s t zakończenie w y k o n y w a n ia f-te j op era cji oraz j- t a operacja nie po prze dza bezpośrednio początku cyklu . W a rto ś c ią elem entu hę je s t czas w y k o n a n ia f-te j op era cji.
A - m a c ie rz o ro z m ia rz e n x n stow arzyszona z grafem po rząd ku rozp oczę ć o p e ra c ji z w y łą c z e n ie m k ra w ę d z i, k tó re nie poprzedzają początku c y k lu . M a c ie rz A zaw iera e le m e n ty aę > e w te d y i ty lk o w tedy, g d y w a ru n k ie m rozp oczę cia j- t e j o p e ra cji je s t za k o ń c z e n ie o p e ra c ji f-te j oraz j- ta operacja poprzedza bezpośrednio po czątek c yklu . W a rto ś c ią ele m e n tu ag je s t czas w y k o n a n ia f-te j operacji.
C - m a cie rz filtru ją c a , k tó ra usuw a z w e kto ra stanu x (k ) elem e nty zw iązane z operacjam i p ro c e s ó w k o o rd y n u ją c y c h pozostaw iając w w e k to rz e o d p o w ie d z i y ( k ) je d y n ie czasy ro z p o c z ę ć o p e ra c ji pro c e s ó w realnych. D la n -elem en tow e go w e k to ra stanu x (k ), gd zie m e le m e n tó w o d p o w ia d a m om e ntom rozpoczęć operacji pro cesó w rz e c z y w is ty c h , a p e le m e n tó w m o m e n to m rozpoczęć operacji pro cesó w k o o rd y n u ją c y c h . M a c ie rz C je s t ro z m ia ru n x m, zaś je j e le m e n ty p rz y jm u ją następujące w a rto ści:
C ę= e d la f = j,
Cq= e d la j, g d z ie f = l , 2, ...,n; j = l , 2, ..., m,
x (0 ) - w e k to r stanu z a w ie ra ją c y m o m e n ty rozpoczęć op eracji w zero w e j ite ra c ji.
R ó w n a n ie stanu ( A .4 ) je s t ró w n o w a ż n e ró w n a n iu x ( k ) = D x ( k - 1)
* ( 0 ) = * o (A . 5)
y ( * ) = C x ( * ) , gdzie:
A . ( A . 6)
,/=o )
N a le ż y zna le źć ro z k ła d rozpoczęć poszczególnych op era cji tak, aby została zachow ana k o le jn o ś ć dostępu określona p ro to k o łe m oraz okres pracy całego system u. Jeżeli przez d (k ) o zn aczo ny będzie p o s z u k iw a n y ro z k ła d rozpoczęć operacji, to podlega on ró w n a n iu (A . 7):
d (k ) = T d ( k - l) (A . 7)
d (0 ) = d„.
g d zie : T - o kre s system u,
d ( 0 ) - w e k to r, k tó re g o elem enty stanow ią m o m e n ty rozpoczęć o p e ra c ji w zerow ej ite ra c ji.
Jednocześnie w e k to r d ( k ) m usi spełniać rów na nie stanu ( A . 5), co p ro w a d z i do rów n a n ia sp e ktra ln e g o m a c ie rz y D:
d ( k ) = D d ( k - l) = T d ( k - l) . (A . 8)
T a k w ię c ro z k ła d d ( k ) je s t w e k to re m w ła s n y m , a T - w a rto ś c ią w ła s n ą tej m acierzy. D la o k re ś lo n y c h p o je m n o ś c i b u fo ró w m ię dzyza sobo w ych i a lo k o w a n y c h re g u ł ro z s trz y g a n ia k o n f lik t ó w z aso bo w ych z ap rop ono w a ny m odel a lge braiczny p o zw a la w y z n a c z y ć okres pracy system u T i p o c z ą tk o w y ro z k ła d rozpoczęć poszczególnych op era cji pro cesó w d (0 ). Z nając okre s i w e k to r d ( 0 ) m o ż liw e je s t określenie stanu po szczególnych pro cesó w w k -te j ite ra c ji.
A .2. Zastosow ania form alizm u algebry (max,+)
R o z w a ż m y system p ro d u k c y jn y z ło ż o n y z czterech ob rab iare k C N C i, C N C2, C N C 3,C N C 4) ora z stacji m on ta żow ej ( Q A i) , co prze dstaw ion o na r y s . A .l. W system ie re a liz o w a n e są procesy: P i, P2> P3. M a rs z ru ty ty c h pro cesó w oraz czas re a liz a c ji p o s z c z e g ó ln y c h o p e ra c ji p rze dstaw ion o w tab eli A . l.
R ys. A . 1. P rzebieg pro cesó w w system ie w y tw ó rc z y m F ig . A . l . Processes f lo w in the m a n u fa ctu rin g system
T a b e la A . 1
C z a s y p o s z c z e g ó ln y c h o p e ra c ji
C N C 1 C N C 2 C N C 3 C N C 4 Q A 1
Pl 5 4 - - 3
p 2 - 3 1 2 2
P3 - - 2 1 2
a 3=( P2, P 2, P3, P3, P3), °5- ( P i , P 2, P2, P 3, P 3, P3)
Rys. A .2 . G r a f porządku op era cji system u F ig. A .2 . G r a f o f operations precedence
Zakłada się, że przeprowadzono proces syntezy struktury systemu. Zatem macierze marszrut alternatywnych jednoznacznie określają marszruty produkcyjne, wzdłuż których realizowane będą poszczególne zlecenia. W gnieździe produkcyjnym, na zasobach dzielonych (w szystkich z wyjątkiem zasobu C N C i) alokowano następujące reguły rozstrzygania konfliktów zasobowych: a2 = (Pi, P2, P2), o3- ( P 2, P2, P3, P3, P3), 04 = (P2, P2, P3, P3, P3), 05 = (Pi, P2. P2, P3, P3, P3). Założono ponadto, że pomiędzy poszczególnym i zasobami alokowano m agazyny m iędzyoperacyjne, wystarczające do zgromadzenia wszystkich elementów, które zostały w ytw orzone na zasobie podczas wykonania jednej reguły.
Pom iędzy każdą parą zasobów alokowano magazyny m iędzyoperacyjne, które um ożliw iają przechowanie takiej ilości elementów jaka zostanie wytw orzona na zasobie podczas wykonania jednej reguły.
Przy danych czasach operacji, regułach rozstrzygania konfliktów zasobowych oraz pojem nościach buforów m ożliwe jest utworzenie grafu porządku operacji. Sekwencje w ierzch ołków odpowiadają poszczególnym regułom rozstrzygania konfliktów zasobowych.
Poszczególne w ęzły grafu oznaczają operacje rozpoczęcia i zakończenia operacji w ykonyw anych na zasobach. Krawędzie grafu odpowiadające przejściu do bufora przyjmują w artość e. Założono, że w systemie został spełniony warunek bilansu systemu i w buforze jest m iejsce na ten element. Tym samym czasy oczekiwania na wejście do bufora mają wartość zero Linie przerywane (zamykające pętle) determinują cykliczne powtarzanie reguł rozstrzygania konfliktów zasobowych na poszczególnych zasobach.
W ę z ły g r a fu o z n a c z a ją n a s tę p u ją c e o p e ra c je 1 - Rozpoczęcie operacji procesu Pi na zasobie CNC2
2 - Zakończenie operacji procesu P| na zasobie CNC2 i przejście do magazynu międzyoperacyjnego 3 - Rozpoczęcie operacji procesu P| na zasobie CNC2
4 - Zakończenie operacji procesu P2 na zasobie CNC2 i przejście do magazynu międzyoperacyjnego 5 - Rozpoczęcie operacji procesu P2 na zasobie CNC2
6 - Zakończenie operacji procesu P2 na zasobie CNC2 i przejście do magazynu międzyoperacyjnego 7 - Rozpoczęcie operacji procesu P2 na zasobie CNC3
8 - Zakończenie operacji procesu P2 na zasobie CNC3 i przejście do magazynu międzyoperacyjnego 9 - Rozpoczęcie operacji procesu P2 na zasobie CNC3
10 - Zakończenie operacji procesu P2 na zasobie CNC3 i przejście do magazynu międzyoperacyjnego 11 - Rozpoczęcie operacji procesu P3 na zasobie CNC3
12 - Zakończenie operacji procesu P3na zasobie CNC3 i przejście do magazynu międzyoperacyjnego 13 - Rozpoczęcie operacji procesu P3na zasobie CNC3
14 - Zakończenie operacji procesu P3na zasobie CNC3 i przejście do magazynu między operacyjnego 15 - Rozpoczęcie operacji procesu P3na zasobie CNC3
16 - Zakończenie operacji procesu P3na zasobie CNC3 i przejście do magazynu międzyoperacyjnego 17 - Rozpoczęcie operacji procesu P2 na zasobie CNC4
18 - Zakończenie operacji procesu P2 na zasobie CNC4 i przejście do magazynu międzyoperacyjnego 19 - Rozpoczęcie operacji procesu P2 na zasobie CNC4
20 - Zakończenie operacji procesu P2 na zasobie CNC4 i przejście do magazynu międzyoperacyjnego 21 - Rozpoczęcie operacji procesu P3na zasobie CNC4
22 - Zakończenie operacji procesu P3na zasobie CNC4 i przejście do magazynu międzyoperacyjnego 23 - Rozpoczęcie operacji procesu P3na zasobie CNC4
24 - Zakończenie operacji procesu P3na zasobie CNC4 i przejście do magazynu międzyoperacyjnego 25 - Rozpoczęcie operacji procesu P3na zasobie CNC4
26 - Zakończenie operacji procesu P3na zasobie CNC4 i przejście do magazynu międzyoperacyjnego 27 - Rozpoczęcie operacji procesu Pi na zasobie QA1
28 - Zakończenie operacji procesu P| na zasobie QA1 i przejście do magazynu międzyoperacyjnego 29 - Rozpoczęcie operacji procesu P2na zasobie QA1
30 - Zakończenie operacji procesu P2na zasobie QA1 i przejście do magazynu międzyoperacyjnego 31 - Rozpoczęcie operacji procesu P2na zasobie QA1
32 - Zakończenie operacji procesu P2na zasobie QA1 i przejście do magazynu międzyoperacyjnego 33 - Rozpoczęcie operacji procesu P3na zasobie QA1
34 - Zakończenie operacji procesu P3na zasobie QA1 i przejście do magazynu międzyoperacyjnego 35 - Rozpoczęcie operacji procesu P3 na zasobie QA1
36 - Zakończenie operacji procesu P3na zasobie QA1 i przejście do magazynu międzyoperacyjnego 37 - Rozpoczęcie operacji procesu P3na zasobie QA1
38 - Zakończenie operacji procesu P3na zasobie QA1 i przejście do magazynu międzyoperacyjnego
Macierz A
M a c ie r z B
Na tej podstawie wyznaczono przebieg procesów współbieżnych w rozważanym systemie produkcyjnym, a przedstawiono go w postaci diagramu Gantta (rys. A.3.)
l i ;
12131