Struktura systemu a warunki dopuszczalności

Dostęp procesów do zasobów dzielo nych reg ulują lokalne reg uły rozstrzygania k o n flik tó w zasobowych. Sekwencje reg uł określają kolejn ość dostępu procesów do zasobów d zielo nych , zapew niając ty m sam ym rytm iczność pracy systemu. A b y zapew nić ustalony przebieg procesów, relacje pom iędzy regułam i rozstrzygania k o n flik tó w przypisanych do zasobów uw zglę dn ia ją w arunek bilansu systemu. Oznacza on, że je ż e li dla zadanych reguł rozstrzygania k o n flik tó w zasobowych i skończonych pojem ności m agazynów, w czasie odpow iadającym stałej w ie lo k ro tn o ś c i okresu systemu, liczba elem entów w p row a dzo nych do systemu odpow iada lic z b ie elem entów z systemu w y p ły w a ją c y c h , to spełniony je s t warunek bilansu w systemie [K ło s , M a jd z ik , Banaszak, 1996], [K ło s , G attner, M a jd z ik , 1997], [K ło s , G attner, Skołud, 1997], [K ło s , Skołud, Gattner, 1998].

Definicja 4.11. (W ektor względnych powtórzeń reguł) [K ło s , Skołud, Gattner, 1998]

W e k to r w zg lęd nych pow tórzeń reguł p rzyd zie lon ych do zasobów systemu ma postać:

X = [ X i. X2. - . X i Xra],

vi

e { l, 2 , .. . ,m } , & e N , (4.9)

gdzie Xi oznacza liczbę powtórzeń reguły w y b o ru p rio ry te tu O; przydzielonej do i-teg o zasobu w zględem pozostałych reguł przydzielonych do innych zasobów w systemie. I

W arunek bilansu systemu je s t podstawową zasadą determ inującą p rz e p ły w pro d u kcji w system ie w sp ó łb ie żn ych procesów produkcyjnych.

Definicja 4.12. (W arunek bilansu systemu) (por. [Skołud, Gattner, K ło s, 1997])

Jeżeli do zasobów dzielonych przydzielono takie reguły rozstrzygania k o n flik tó w zasobowych, że istnieje w e k to r w zględnych pow tórzeń procesów % spełniający w a ru n k i (4.9), to spełniony je s t w arunek bilansu systemu:

X l n i.l= X2n2,l = ..= Xini,l =•■•= Xmnm,i,

X l ni,2= X2n2,2 = ...= Xini,2 =••■= Xn.nm,2, ( 4 .10)

X l n i j = X2n2j = ...= Ximj = ...= XmnraJ,

X l n l.n” X2n2.n “ •••“ Xinu. — Xni^m.n, gdzie:

X - w e k to r w zględnych pow tórzeń reguł,

Xi - powtarzalność reguły przydzielonej do i-tego zasobu względem innych reguł w systemie,

n - liczba procesów operujących w systemie, m - liczba zasobów w systemie,

n jj - pow tarzalność j-te g o procesu w regule przydzielonej do i-tego zasobu. I Z założenia w iadom o, że parze zasobów sąsiadujących (Mj, Mk)j przyporządkow any jest m agazyn m iędzyoperacyjny o ograniczonej pojem ności różnej od zera. W przypadku gdy reguła przyd zie lon a do zasobu poprzedzającego „pro du kuje” szybciej elem enty, n iż „kon sum u je” je reguła przyd zie lon a do zasobu następującego (nie je st spełniony w arunek bilansu), to zapełnienie m agazynu nastąpi po skończonej liczb ie krokó w . Zapełnienie w szystkich m agazynów w system ie je s t równoznaczne z ich brakiem (zerow a sumaryczna pojem ność). B ra k m agazynów może b yć z k o le i pow odem w ystępow ania blokady. Zatem, by zapew nić rów now agę systemu, liczb a pow tórzeń reguł pom nożona przez krotność wystąpień tego samego procesu w ystępującego w ty c h regułach musi b y ć identyczna.

D any je s t system procesów w spółbieżnych (rys. 4.11). N a zasobach M |,

Rys. 4.11. System procesów w sp ółb ie żnych spełniający w arunek bilansu systemu; a) schemat przebiegu procesów, b) diagram Gantta

Rys. 4.12. System procesów współbieżnych o strukturze lin io w e j F ig. 4.12. Line ar structure o f system o f concurrent processes

W systemach o takiej strukturze m arszruty realizow anych procesów nie przecinają się, a tym sam ym nie o d d z ia łu ją na siebie.

Jeżeli struktura systemu zapewnia rów noległą realizację procesów, to zagwarantowane jest je g o ja k o ś c io w o dopuszczalne funkcjonow anie. W y n ik a to z niespełnienia w arunków

a) z a s o b y P ] M3

M j M, P2

b)

I Z L X Î

I X I I

D n i ]

□ c z a s p r z y g o t o w a w c z o - z a k o ń c z e n i o w y

□ p , H p ,

R y s .4 .13. System procesów współbieżnych o strukturze lin io w e j; a) schemat przebiegu procesów, b ) diagram Gantta

F ig. 4.13. L in e a r structure o f concurrent processes; a) structure o f the pro du ction flo w ,

b ) G a n tt’ s chart I

System o strukturze otwartej

System em o strukturze otw artej nazyw any je s t ta k i system, w k tó ry m m arszruty p ro d u k c y jn e nie zam yka ją się w c y k lu i posiadają przyn ajm n ie j je de n zasób dzielony.

Rys. 4.14. System procesów w spółbieżnych o strukturze otw artej F ig. 4.14. Open structure o f the system o f concurrent processes

W łaściwość 4.1. (W arunki dopuszczalnej realizacji produkcji w systemie o strukturze otwartej)

D a n y je s t m -zasobow y system w spółbieżnych procesów pro du kcyjnych o strukturze o tw artej. Jeżeli do zasobów dzielonych przyd zie lon o reg uły rozstrzygania k o n flik tó w zasobowych, to zapew nione je s t ja k o ś c io w o dopuszczalne fun kcjon ow a nie systemu. I

W ła ś c iw o ś ć ta w y n ik a z faktu, że ja ko ścio w o dopuszczalną realizację procesów (brak b loka d i zagłodzeń) gw arantuje odpow iedni p rz y d z ia ł reg uł rozstrzygania k o n flik tó w zasobow ych. S tru ktu ra otw arta nie tw o rz y c y k li zam kniętych, a tym samym nie dopuszcza do

pow stania c y k lu w zajem nych oczekiwań, co je st je dn ym z w a ru n k ó w koniecznych powstania blokady. P rz y d z ia ł reg uły rozstrzygania k o n flik tó w zasobowych, zgodnie z d e fin ic ją 4.1, nie dopuszcza do powstania zagłodzeń. Skończona liczba zasobów im p lik u je istnienie przebiegu nieustalonego. Zatem , są to w a run ki wystarczające, gwarantujące cykliczność systemu o strukturze o tw a rte j, a w ię c gwarantujące dopuszczalne ja k o ś c io w o je go fun kcjonow anie, a także osiągnięcie przebiegu ustalonego w skończonym czasie.

System o strukturze zamkniętej

Systemem procesów w spółbieżnych o strukturze zam kniętej nazywany je s t system, w k tó ry m m arszru ty pro du kcyjne tw o rz ą przynajm niej jeden cykl zam knięty.

C y k l zam kn ię ty w systemie w spółbieżnych procesów produ kcyjnych je st tw o rz o n y przez z b ió r m arszrut przebiegających przez skończoną liczbę zasobów w ta k i sposób, że startując z do w olnego zasobu i poruszając się w zd łuż m arszrut lub ich fragm entów , bez względu na kierunek ich przebiegu, m o ż liw y je st po w ró t do zasobu startowego, nie przechodząc dw ukrotnie przez tę samą marszrutę.

Rys. 4.15. System procesów w spółbieżnych o strukturze zam kniętej Fig. 4.15. Closed structure o f the system o f concurrent processes

Tw ierdzenie 4.1. (O pojemnościach magazynów międzyoperacyjnych) [K ło s, Skołud, G attner, 1998]

D a ny je s t system w spółbieżnych procesów pro du kcyjnych S = ({Mi, i = 1,2, ...,m }, {Pj, j = 1,2, ...n }, Cs). Reguły rozstrzygania k o n flik tó w przydzielone do zasobów dzielonych gw ara ntują istnien ie w e kto ra względnych powtórzeń reguł x . spełniającego w arunek bilansu systemu. Jeżeli do w o lne j parze (Mi, Mk)j zasobów sąsiadujących w systemie przydzielono pojem ność magazynu m iędzyoperacyjnego, spełniającą zależność (4.12), to istnieje taki p o c z ą tk o w y p rz y d z ia ł procesów do zasobów, dla którego zagwarantowana je s t ja kościo w o dopuszczalna realizacja procesów.

Csu s nij Xi, (4.12) gdzie:

Csu _ dostępna pojem ność magazynu międzyoperacyjnego,

n ij - kro tn o ść w ystąp ie nia j-te g o procesu w regule przydzielonej do i-te g o zasobu (elem ent m acierzy s tru k tu ry systemu M s),

j - proces p ro d u k c y jn y przebiegający przez magazyn m ię dzyo pera cyjn y Csi,k, i zasoby sąsiadujące (M j, M k)j,

Xi - lic z b a pow tórzeń reg uły w y b o ru p riorytetu przydzielonej do i-te g o zasobu (element w e k to ra w zg lęd nych pow tórzeń reguł).

D o w ó d :

B lo k a d a w rozw ażanym systemie może nastąpić w przypadku w ystąp ie nia c y k lu w za jem n ych oczekiw ań. Stan blokady systemu oznacza, że dla każdej pa ry sąsiadujących zasobów (M i, Mk)j, należących do cy k lu wzajem nych oczekiwań, Csi,k i zasób M i zostały zapełnione przez elem enty w ytw arzane w procesie Pj. P rz y jm ijm y stan po czątkow y ja k o p rzyd zie le n ie procesów do zasobów, przy opróżnionych m agazynach m iędzyoperacyjnych.

1. R o zw ażm y przypadek, gd y reguła ct; nie w ykonała się c a łk o w ic ie (nie w szystkie operacje w ystępujące w sekw encji tej reg uły zostały wykonane), zatem operacja j-te g o procesu na i- ty m zasobie została w ykonana pj razy, gdzie pi < n^. Z drugiej strony, aby zapełnić CsiJt i zająć zasób Mi, proces Pj musi w ykonać się pi razy na zasobie M; i pk razy na zasobie M*, p rz y c zym pi-pk = C s u +1. Stąd pi = Csi,k+pk+ l oraz pi < n^.

Z tw ie rd z e n ia w iado m o, że n ij Xi ^ Csj*. M ożna zatem przyjąć, że n ij X i+ L = Csik, gdzie L e N i L > 0. P oniew aż reguła O; nie w ykonała się ca łk o w ic ie (nie w szystkie procesy, które w ystę p u ją w sekw encji tej reg uły w y k o n a ły się na zasobie dzielonym , do którego reguła została przypisana), zatem X i= 1. Stąd otrzym ujem y sprzeczność, gd yż pi = Csik+pk+1, n,,k-Xi+

L = Csi>k i pi < n ij. C z y li z jednej strony p; < n jj, zaś z drugiej pi = Csi,k+pk+ l = n ij Xi+ L + p k+ l, zatem nawet w przypadku, gd y pk = 0 i L = 0, otrzym ujem y n ;j +1 < nij.

2. W przypadku, gd y reguła Oi w ykonała się dokładnie p; razy, reguła a k w y k o n a się pk razy, stąd w y n ik a , że pj-ny = P k ^ < Csi,k. N ie m o ż liw e je s t zatem zapełnienie magazynu m iędzyoperacyjnego C sj* i zasobu M i.

3. W szystkie inne przypadki m ożna sprowadzić do jednej z w y m ie n io n y c h m o ż liw o ś c i. I Z pow yższego tw ie rdze nia w yn ika, że przy zagw arantow aniu braku bloka d w system ie i p rz y d z ie lo n y c h regułach rozstrzygania k o n flik tó w zasobowych zapew niony je s t rów nież brak zagłodzeń.

M ożn a w n iosko w a ć, że je ż e li reguły rozstrzygania k o n flik tó w przydzielone do zasobów dzielo nych g w ara ntują spełnienie w arunku bilansu i dla każdej pary zasobów sąsiadujących spełniony je s t w arunek (4.12), to istnieje początkow y przyd zia ł procesów do zasobów, dla któreg o system w spółbieżnych procesów produkcyjnych charakteryzuje się c y k liczn ym przebiegiem ustalonym .

Z tw ie rd ze n ia 4.1 w yn ika, że spełnienie w arunku bilansu systemu i w a run ku na m inim alne pojem ności m agazynów m iędzyoperacyjnych gw arantuje fun kcjo n o w a n ie systemu w sp ółb ie żnych procesów produkcyjnych o strukturze zam kniętej, pozbawione blokad i zagłodzeń. Spełnienie w arunku bilansu systemu determ inuje istnienie w e k to ra względnych p o w tórze ń reguł. W e k to r ten zapewnia z kolei periodyczne zachowanie systemu.

System w sp ółb ie żnych procesów produkcyjnych posiada zatem przebieg c y k lic z n y w tedy i ty lk o w ted y, gd y spełnia w a runki ja kościo w o dopuszczalnej rea liza cji procesów oraz charakteryzuje się przebiegiem ustalonym . W przebiegu ty m każdy proces składow y w yko nu je się taką samą liczbę razy na zasobach z je go m arszruty (tzn. spełniony je s t w arunek bilansu systemu). Czas trw a n ia jednego cy k lu przebiegu ustalonego jest okresem p ra c y system u T.

4.3.1.2. O d p o rn o ś ć na z a kłó ce n ia

Zadanie synch ron izacji procesów w systemie polega na zdobyciu in fo rm a c ji o innych procesach w sp ółb ie żnych w celu koordynacji ich wzajem nych oddziaływ ań. Jeżeli przebiegi w szy s tk ic h procesów są zsynchronizowane, system znajduje się w przebiegu ustalonym .

Jeżeli, bez w zg lęd u na stan początkow y, system może w skończonej liczb ie krokó w osiągnąć przebieg ustalony, to ma własność samosynchronizacji [D ijk s tria , 1974]. W systemie charakteryzującym się sam osynchronizacją spełnione są w arunki:

• b ra k w ystęp ow ania blokad,

• bra k w ystęp ow ania zagłodzeń,

• każde przejście ze stanu dopuszczalnego systemu przeprowadza go w in ny stan dopuszczalny,

• dla każdej pary stanów dopuszczalnych istnieje sekwencja stanów, pozwalająca na przejście z jedn ego stanu w drugi.

System w sp ółb ie żnych procesów produkcyjnych ma własność sam osynchronizacji w ted y i ty lk o w tedy, gd y niezależnie od stanu początkowego i p rio ry te tó w określonych dla kolejnych przejść system zawsze przechodzi do stanu ustalonego po skończonej lic z b ie przejść.

W ła ś c iw o ś c i

1. Jeżeli system w spółbieżnych procesów produkcyjnych posiada strukturę lin io w ą lub otw artą i zagwarantow ana je st w nim ja kościow o dopuszczalna realizacja procesów, to posiada on

w ła ś c iw o ś ć sam osynchronizacji. Systemy o strukturze otw artej i lin io w e j m ają charakter c y k lic z n y . W ychod ząc ze stanu dopuszczalnego zawsze osiągniem y in n y stan dopuszczalny po skończonym okresie czasu.

2. D a n y je s t m .-zasobow y system współbieżnych procesów pro du kcyjnych . D o zasobów d z ie lo n y c h p rz y d z ie lo n o reguły rozstrzygania k o n flik tó w zasobowych, któ re gw arantują is tn ie n ie w e k to ra w zg lę d n ych pow tórzeń reguły, spełniającego w a run ek bilansu. Jeżeli po je m ności m agazynów m iędzyoperacyjnych spełniają zależność (4.12), to system ma własność sam osynchronizacji.

S am osynchronizacja systemu u m o ż liw ia p o w ró t systemu do przebiegu ustalonego po ustąpieniu zakłócenia. N o w y stan ustalony systemu może charakteryzow ać się in nym okresem po w tarza lno ści lub in ną kolejn ością realizacji procesów w cyklu.

W ła ś c iw o ś ć 2 określa w a ru n ki wystarczające, k tórych spełnienie g w ara ntuje c y kliczn o ść systemu w s p ó łb ie ż n y c h procesów produkcyjnych o strukturze zam kniętej. C y k l systemu po ustąpieniu z akłóce nia może b yć in n y n iż przed je go pojaw ieniem się.

W dokumencie Planowanie wieloasortymentowej produkcji rytmicznej (Stron 40-44)