przekrojowo-czasowych
81Charakterystyczną cechą modeli opartych o próby przekrojowo‑czasowe jest wprowadzenie efektów grupowych. Pod tą nazwą kryją się wszystkie nieobser-wowalne czynniki różnicujące pomiędzy sobą poszczególne obiekty, przy czym zakłada się że są one stałe w czasie. W ogólnym przypadku mogą one obejmo-wać takie czynniki jak np.: różnice położenia geograficznego, instytucjonalne i kulturowe.
Tradycyjnie wyróżnia się dwa podejścia do budowy jednorównaniowych, statycznych modeli opartych o dane przekrojowo‑czasowe (por. np. M. Verbeek, 2004, s. 345‑351; por. też J. Wooldridge, 2002, s. 251‑261):
1) model z dekompozycją wyrazu wolnego (ang. fixed effects model)82:
(3.3)
i = 1,..., N t = 1,... ,T gdzie:
y — zmienna zależna,
x
— wektor zmiennych niezależnych,µ — efekty grupowe,
a — wyraz wolny,
ε — składniki losowe,
— wektor pozostałych parametrów strukturalnych.
W przypadku takiego modelu nieobserwowalne efekty grupowe są traktowa-ne jako nielosowe, wobec czego można je wyrazić poprzez zróżnicowanie wyra-zu wolnego pomiędzy obiektami.
Do estymacji takiego modelu stosuje się estymator wewnątrzgrupowy (ang. within estimator) bądź równoważny numerycznie estymator MNK ze zmienny-mi zerojedynkowyzmienny-mi dla poszczególnych obiektów (ang. Least Square Dummy Variable).
W celu przedstawienia sposobu estymacji parametrów przy pomocy estyma-tora wewnątrzgrupowego, przekształćmy model (3.3) obliczając średnią w cza-sie jego prawej i lewej strony:
(3.4)
Odjęcie stronami (3.3) i (3.4) prowadzi do równania, w którym nie występują efekty grupowe, co pozwala obliczyć (przekształcenie to nosi nazwę transfor-macji wewnątrzgrupowej — ang. within transformation):
81 Podrozdział ten powstał na podstawie artykułu: P. Baranowski (2006a).
82 W zapisie modeli IID(η, σ2) oznacza identyczny i niezależny rozkład (ang. Independent
Iden-ticall Distribution) o wartości oczekiwanej η oraz wariancji σ2, N — liczbę obiektów, T — długość
) ( ) ( ) ( , _ , , _ , , _ ,t − i⋅ = it − i⋅ + εit−εi⋅ i y y â x x (3.5)
Następnie oblicza się oszacowania wolnego oraz efektów grupowych
korzy-stając z N równań normalnych oraz warunku
normaliza-cji
∑
µi=0.2) model z dekompozycją składnika losowego (ang. random effects model):
(3.6) t i i t i, =µ +v, ε ~ (0, 2) ,t v i IID v σ ~ (0, 2) µ σ µi IID i = 1, ..., N, t = 1, ..., T gdzie: y — zmienna zależna,
x
— wektor zmiennych niezależnych,µ — efekty grupowe,
v
— pozostałe efekty losowe,a — wyraz wolny,
ε
— składniki losowe,— wektor pozostałych parametrów strukturalnych.
W modelu (3.6) składnik losowy składa się z dwóch składowych, efektów gru-powych (µi) oraz pozostałych efektów losowych (vi,t).
Kowariancje składników losowych można przedstawić następująco (zob. też np. G. Maddala, 2006, s. 645): 0 s dla 0 dla ) ( , ,
{
σσ22+σ2 ≠= = ε ε µ µ − s E v s t i t i (3.7)Jak wynika ze wzoru (3.7), że taka konstrukcja składników losowych spowo-dowała, że występuje autokorelacja składników losowych. Dlatego też do esty-macji parametrów takiego modelu używa się estymatora uogólnionej panelowej MNK (UMNK), zwanego również estymatorem Balestry‑Nerlove’a.
Ważnym założeniem modeli z dekompozycją składnika losowego (3.6) jest
brak skorelowania zmiennych objaśniających z efektami grupowymi83. W
mo-delu z dekompozycją wyrazu wolnego (3.3), takie założenie nie jest konieczne. Wybór modelu, a co za tym idzie także metody estymacji, zależy od tego czy wy-stępuje korelacja pomiędzy efektami grupowymi a zmiennymi objaśniającymi. Jeśli korelacja taka nie występuje, wówczas obydwa estymatory są zgodne i nie-obciążone, aczkolwiek UMNK jest efektywniejszy (por. np. M. Arellano, 2003, s. 39). W przypadku występowania takiej korelacji jedynie estymator wewnątrz-grupowy zachowuje pożądane własności, podczas gdy UMNK staje się niezgod-ny i obciążoniezgod-ny.
Estymacja parametrów w modelach przekrojowo-czasowych | 57
Test specyfikacji Hausmana pozwala wybrać odpowiednią metodę estyma-cji. Ideą tego testu jest badanie różnicy pomiędzy estymatorem wewnątrzgru-powym i UMNK. Przy założeniu, że efekty grupowe są niezależne od zmien-nych objaśniazmien-nych, obydwa estymatory są sobie asymptotycznie równe.
Hipote-zy testowe mają wówczas postać (M. Verbeek, 2004, s. 352)84:
(3.8) 0
1
: H~
H
(3.9)gdzie: — estymatory parametrów strukturalnych modeli
odpo-wiednio: z dekompozycją wyrazu wolnego (3.3) i z dekompozycją składnika lo-sowego (3.6).
Brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej (3.8) oznacza, że należy zasto-sować bardziej efektywny estymator UMNK, podczas gdy jej odrzucenie wska-zuje na konieczność zastosowania bardziej odpornego estymatora wewnątrz-grupowego.
Wspomnijmy również, iż różnice w konstrukcji powyższych modeli nie koń-czą się na własnościach estymatorów. Sięgają one tak daleko, że każdy z mode-li pozwala udziemode-lić odpowiedzi na nieco inne pytanie — także od strony eko-nomicznej. Model z dekompozycją wyrazu wolnego (3.3) opiera się wyłącznie na zmienności w obrębie poszczególnych obiektów, a więc pozwala oszacować wyłącznie efekty zmiany zmiennej w konkretnym obiekcie. Z kolei model z de-kompozycją składników losowych (3.6) uwzględnia dodatkowo zmienność po-między obiektami, zatem wskazuje także dlaczego poszczególne obiekty różnią się między sobą.
W dalszej kolejności można testować istotność efektów grupowych. Odpo-wiednie hipotezy mają postać:
gdzie: (3.10)
0 1
: H~
H
(3.11)Brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej (3.10) pozwala pominąć efek-ty grupowe, co oznacza że można zastosować klasyczną MNK. W przypadku modeli z dekompozycją składnika losowego, do weryfikacji powyższych hipotez należy zastosować modyfikację testu Breuscha‑Pagana, podczas gdy w przy-padku modeli z dekompozycją wyrazu wolnego stosuje się klasyczny test re-strykcji oparty na statystyce Fishera‑Snedeckora (B. Dańska, 2000, s. 40‑41).
Dodajmy, że efekty grupowe są w stanie obejmować szeroki zakres czynni-ków. W naszej opinii w badaniach obejmujących próby międzynarodowe można zaliczyć do nich przede wszystkim różnice lokalizacji, czynniki instytucjonalne i kulturowe. W ogólnym wypadku, od strony ekonomicznej najczęściej możemy się spodziewać zarówno istnienia takich czynników, jak i silnego ich związku ze zmiennymi objaśniającym. Zapewne to sprawia, że modele z dekompozycją wyrazu wolnego zyskały tak wielką popularność.
W modelach ekonometrycznych często natrafiamy na problem endogenicz-ności zmiennych objaśniających. W takim wypadku wspomniane wyżej
matory parametrów strukturalnych (wewnątrzgrupowy i UMNK) przestają być
zgodne (J. Wooldridge, 2002, s. 83‑86)85. Stosuje się wówczas Metodę
Zmien-nych InstrumentalZmien-nych (ang. Instrumental Variable Estimator). W charakterze zmiennych instrumentalnych używa się zmiennej silnie skorelowanej z endoge-nicznym regresorem, lecz nie skorelowaną ze zmienną objaśnianą.
Dodajmy, że metoda ta jest często stosowana w analizach wpływu inflacji na wzrost gospodarczy. W tym przypadku problem endogeniczności dotyczy właś-nie stopy inflacji. Popularność tej metody, naszym zdawłaś-niem, wynika rówwłaś-nież z tego iż dla stopy inflacji udaje się znaleźć instrumenty silnie osadzone w teorii ekonomii. Do zagadnienia tego powrócimy w dalszej części pracy.
Warto jeszcze wspomnieć, iż dla modeli dynamicznych stosuje się inne me-tody estymacji. Największą popularność zyskały, będące rozwinięciem Meme-tody Zmiennych Instrumentalnych, estymatory należące do klasy Uogólnionej Meto-dy Momentów (ang. Generalized Method of Momenths).
W metodzie tych używa się większej, w stosunku do minimalnej, ilości in-strumentów. W efekcie równanie jest nadmiernie identyfikowalne, wobec czego należy oszacować optymalne wagi dla instrumentów. Ze względu na fakt, iż do-puszcza się (podobnie jak w potrójnej MNK) niesferyczność macierzy wariancji ‑kowariancji składników losowych, estymatory te zachowują dobre własności nawet przy bardzo ogólnych założeniach.
Przykładowo, w metodzie Arellano‑Bonda buduje się model w oparciu o pierwsze przyrosty:
(3.12)
Eliminuje to modelu efekty grupowe i stosuje instrumenty dla opóźnionego przyrostu zmiennej endogenicznej ∆yi, −t186. Naturalnymi propozyjami
instru-mentów dla tej zmiennej są jej opóźnione poziomy, począwszy od yi, −t 2. Wobec
faktu, że dysponujemy szeregami przekrojowo‑czasowymi, możemy dla każde-go t możemy wykorzystać różne ilości opóźnień (dla t=3 dysponujemy jedynie
jednym opóźnionym poziomem y,i1, natomiast dla t=4 dysponujemy już y,i2 i
1 ,i
y itd.)87.
Z kolei w metodzie Arellano‑Bovera buduje się system dwóch równań, z któ-rych jedno szacowane jest na przyrostach (podobnie jak w metodzie Arellano‑ Bonda), zaś drugie na poziomach.
Ze względu na fakt, iż metody te opierają się na wariancji międzygrupo-wej (zmienności pomiędzy obiektami), najlepsze własności osiągają w próbach o niewielkiej liczbie obserwacji w czasie, lecz znacznej ilości obiektów.
85 Zob. też. opis tego problemu w przypadku szeregów czasowych: A. Welfe (2003, s. 268 i nast.).
86 Takie podejście leży również u podstaw innych metod szacowania parametrów dynamicz-nych modeli opartych o szeregi przekrojowo‑czasowe. Wykorzystuje je np. estymator Andersena‑ Hsiao, Ameiya‑MaCurdy czy Breusha‑Mizona‑Schmidta (zob. C. Hsiao, 2003, s. 85 i nast.).
87 Wykorzystanie jednego opóźnienia prowadzi do estymatora zgodnego, lecz nieefektywnego.
Wpływ inflacji na wzrost w świetle dotychczasowych badań empirycznych | 59