Kontyngencja kosztu i czasu Zmienne losowe

Zarządzanie projektami rozwinęło się dynamicznie na przełomie lat 70 i 80 zwra-cając baczną uwagę na planowanie, budżetowanie i przydzielanie zasobów.

W szczególności rozwijane były takie metody jak: metoda ścieżki krytycznej CPM lub metoda PERT. Z kolei w budżetowaniu znalazła zastosowanie tzw. krzywa „S”. Jej kształt wynika z pewnej prawidłowości, mianowicie podobnie kształtuje się postęp prac w realizacji przedsięwzięcia. Za pomocą tej krzywej można łatwo i przejrzyście stwier-dzić czy postęp (mierzony wydatkami i upływem czasu) jest zgodny z założeniami, lub też czy występują odchylenia (Marcinek, 2001, str.22). Krzywe „S” znalazły swoje miejsce przy tworzeniu esogramów – krzywych obrazujących narastanie zużycia danego zasobu. Zapotrzebowanie na zasoby wprowadza się do sieci podobnie jak czasy trwania dla każdej czynności (określając jego ilość i dzienne zużycie). Sumowanie zasobów od-bywa się w sposób kumulacyjny od początku do końca przedsięwzięcia. Jednakże ze względu na fakt występowania zapasów czasu dla wielu czynności w modelu sieciowym sumowanie zużycia zasobów przeprowadza się najpierw według najwcześniejszych, a następnie dla najpóźniejszych terminów rozpoczęcia wszystkich zadań w wyniku czego otrzymujemy dwie krzywe. Obszar zawarty pomiędzy tymi krzywymi zawiera cały zbiór krzywych, z których każda reprezentuje możliwy przebieg realizacji przedsięwzięcia (powinien oscylować pomiędzy nimi). Im mniejsze zapasy czasu mają czynności tym obszar miedzy krzywymi jest mniejszy. Wart odnotowania jest fakt, że przedsięwzięcie realizowane według najwcześniejszych terminów charakteryzuje się najwcześniejszym zapotrzebowaniem na zasoby (szybsze ich zamrożenie), natomiast według najpóźniej-szych cechuje mniejsza pewność, co do ukończenia przedsięwzięcia w terminie. W przypadku zbliżania się krzywej zużycia do krzywej granicznej górnej termin ukończe-nia przedsięwzięcia nie jest zagrożony. Może się to wiązać z rozpoczęciem robót na wie-lu frontach i koniecznością posiadania dodatkowych rezerw z uwagi na nadmiar robót i ewentualne ich spiętrzenie. Istotna w tym obszarze jest analiza krzywych „S” i interpre-tacja esogramu (Kapliński i Stefański, 1978). Temat kształtowania krzywych „S” jest chętnie podejmowany, głównie w literaturze zagranicznej. Badacze zwracają uwagę na probabilistyczne podejście w ich modelowaniu (Barazza, Back, Mata, 2004; Barazza, Back, Mata, 2007; Barazza, 2011), jak również analizują stopień dopasowania wybra-nych rozkładów do krzywej narastania środków. Wprowadzenie losowości w inżynierii przedsięwzięć budowlanych przyczyniło się do rozwoju różnych koncepcji i metod ana-lizy zmienności czasu i kosztu z uwagi na wpływ czynników losowych.

Niejednokrotnie w dysertacji poruszana była kwestia losowego charakteru produk-cji budowlanej. Dlatego też postuluje się, zarówno w literaturze krajowej, jak i zagranicznej, przyjmowanie kosztów oraz czasów trwania zadań jako zmiennych loso-wych o ustalonym rozkładzie prawdopodobieństwa. Literatura przedmiotu z zakresu wnioskowania statystycznego i probabilistyki wymienia kilka charakterystycznych roz-kładów, które z powodzeniem można zastosować do analizy w arkuszu kalkulacyjnym przy pomocy wbudowanych funkcji. Do najbardziej znanych rozkładów zaliczamy: roz-kład normalny, logarytmiczno-normalny, T-studenta, wyroz-kładniczy, jednostajny, trójkąt-ny. Stosowanie rozkładu logarytmiczno-normalnego zaleca się w momencie, gdy warto-ści są pozytywnie skośne tzn. gdy wartość nie może być poniżej zera natomiast może nastąpić ich wzrost poza granice oczekiwane (przykład – notowania akcji giełdowych).

Ekonomiści przyjmują zasadę współczynnika zmienności. Jeżeli współczynnik ten jest większy od 30%, wówczas istnieją podstawy do użycia rozkładu logarytmiczno-normalnego.

Jednym z najważniejszych rozkładów w teorii prawdopodobieństwa jest rozkład normalny N(m,). Powszechnie przyjmuje się, że opisuje on wiele zjawisk naturalnych.

Dodatkowo wykres dystrybuanty podaje nam prawdopodobieństwo osiągnięcia danej wartości (pole powierzchni pod krzywą - rys. 4.10.).

Rys. 4.10. Graficzna interpretacja funkcji gęstości rozkładu normalnego. Źródło: opracowanie własne

Zaciemniony obszar powierzchni pod krzywą oznacza prawdopodobieństwo zakończe-nia czynności/przedsięwzięcia w terminie x co można przedstawić wzorem:

P(X ≤ x) =(x) gdzie: (4.29) X – zmienna losowa,

x – wartość zmiennej,

(x) – dystrybuanta.

Rys. 4.11. Graficzna interpretacja dystrybuanty. Źródło: opracowanie własne

Dystrybuanta rozkładu normalnego jest bardzo pomocna przy określaniu prawdo-podobieństwa np. realizacji zadania/przedsięwzięcia (rys.4.11.). Wykorzystywana w tym celu jest tzw. zmienna losowa standaryzowana, gdzie N(0,1).

𝑍 =𝑥 − 𝑚

 Oznaczenia: (4.30) Z – wartość zmiennej standaryzowanej,

x – wartość analizowanej zmiennej,

m – wartość oczekiwana analizowanej zmiennej,

 – odchylenie standardowe analizowanej zmiennej.

W tej materii pomocnym narzędziem, znanym aczkolwiek w niewielkim stopniu wykorzystywanym w praktyce, jest symulacja. Jest to metoda, w odróżnieniu od analizy wrażliwości, pozwalająca na badanie zmian wyniku końcowego z uwagi na kombinację wielu zmiennych. Wśród popularnych programów umożliwiających symulację, bazują-cych na wykorzystaniu arkusza kalkulacyjnego MS Excel, warto wymienić m.in. @Risk for Project, Crystal Ball.

Podejście PERT

Opracowana na potrzeby marynarki wojennej metoda planowania sieciowego PERT (Program Evaluation and Review Technigue) zapoczątkowała kierunek probabili-styczny. Metoda ta bazuje na deterministycznym modelu sieciowym, zaś czasy trwania czynności przyjmuje się jako zmienne losowe o rozkładzie beta, którego cechą charakte-rystyczną jest odchylenie krzywej prawdopodobieństwa w prawo (rys.4.12.). Jak pod-kreśla Biruk i in. (2007) oraz Kapliński i Stefański najwcześniejszy termin zakończenia przedsięwzięcia (dolną granicę) można przyjąć z prawdopodobieństwem 0,25,

najpóź-niejszy zaś z 0,6. Model sieciowy uważa się za poprawnie zbudowany, gdy prawdopo-dobieństwo ukończenia robót bliskie jest 0,5. Co prawda w metodzie tej rozkład beta przyjęto w sposób intuicyjny. Zastosowanie innych funkcji niekoniecznie zwiększa do-kładność wyników, natomiast istotne znaczenie ma właściwa ocena czasu optymistycz-nego (najkrótszy, możliwy termin zakończenia czynności), pesymistyczoptymistycz-nego (tj. najpóź-niejszy możliwy termin zakończenia czynności) i najbardziej prawdopodobnego. Dlate-go też postuluje się, żeby ocena czasu wynikała z wiedzy i doświadczenia osób zajmu-jących się bezpośrednio realizacją przedsięwzięć.

Kolejny etap wykorzystania podejścia PERT to określenie wartości oczekiwanej kosztu/czasu oraz odchylenia standardowego. Znając podstawowe parametry rozkładu można określić prawdopodobieństwo zakończenia przedsięwzięcia w dowolnym zada-nym czasie, analogicznie jak w przypadku symulacji.

Rys. 4.12. Graficzna interpretacja rozkładu beta dla czasu wykonania zadania. Źródło: opracowanie wła-sne

Koszt/czas realizacji:

E(koszt/czas) =𝑎 + 4𝑚 + 𝑏 6

=(𝑏 − 𝑎)² 36

gdzie dla rozkładu beta: (4.31) E (koszt/czas) – wartość oczekiwana,

a – czas/koszt minimalny,

m – czas/koszt najbardziej prawdopodobny, b – czas/koszt maksymalny.

Ważność poszczególnych czynników ryzyka ma kluczowe znaczenie przy szaco-waniu kosztów i czasów trwania czynności, gdzie parametry traktuje się jako zmienne losowe. Skorupka (2007) zaproponował uwzględnienie ryzyka przy określaniu kosz-tu/czasu pesymistycznego w metodzie PERT. Szacowaniem czasów w ujęciu

probabili-stycznym zajmowali się również: Milian, (2005); Marcinkowski,(2002); Biruk (2007);

Będkowski i Pownuk, (2005).

Kontyngencja

Wprowadzenie losowości do planowania i programowania przedsięwzięć przyczy-niło się do rozwinięcia koncepcji kontyngencji. Moselhi (1997) kontyngencję definiuje jako kwotę (rezerwę, budżet awaryjny) przeznaczoną na pokrycie dodatkowych wydat-ków związanych z wystąpieniem czynniwydat-ków losowych. Jednocześnie zwraca uwagę na pokrewieństwo technik wykorzystywanych do szacowania kontyngencji z metodami analizy ryzyka (m.in. statystyka, symulacja Monte Carlo). Zagadnienie kontyngencji stosunkowo przejrzyście przedstawił Nassar (2002). Autor wykorzystał podejście PERT do określenia oczekiwanego kosztu i jego wariancji, sugerując wykorzystanie w tym celu rozkładu beta jako najlepiej oddającego układ kosztów w budownictwie. Poza tym polecał wykorzystanie danych z poprzednich realizacji do ustalenia kosztu: min, max i najbardziej prawdopodobnego w celu określenia kosztu oczekiwanego. Krok kolejny obejmował wykorzystanie własności i podstawowych statystyk rozkładu normalnego do określenia prawdopodobieństwa przekroczenia zakładanego kosztu całkowitego przed-sięwzięcia. Podstawą wykorzystania standaryzowanego rozkładu normalnego N(0,1) jest określenie zmiennej standaryzowanej według ustalonego schematu (zagadnienie zostało już przez autorkę omówione wcześniej). Dla każdej wartości kosztów można wyznaczyć odrębną krzywą kontyngencji (rys.4.13.).

Rys. 4.13. Graficzna interpretacja krzywych kontyngencji. Źródło: opracowanie własne na podstawie Nassar 2002

Wartość kontyngencji jest równoważna poziomowi ryzyka dla danej wartości kosztu. Na wielkość ryzyka ma także wpływ kształt krzywej. Im bardziej stroma krzywa tym wpływ na wynik przedsięwzięcia spowodowany niewielkimi zmianami w kosztach jest znaczący. Natomiast krzywa o niskim gradiencie wzrostu oznacza, że dowolna zmiana w koszcie całkowitym przedsięwzięcia spowoduje mniejsze ryzyko przekrocze-nia budżetu (Nassar, 2002).

Rys. 4.14. Krzywe kontyngencji kosztów realizacji robót budowlanych. Źródło: opracowanie własne

Krzywych kontyngencji może być kilka. Na rys. 4.14. przedstawiono krzywe, któ-re wyznaczają obszar zmienności oczekiwanego kosztu oraz prawdopodobieństwo jego przekroczenia. Rzeczywiste wartości kosztu mieścić będą się w obszarze ograniczonym przez te krzywe, wyznaczone dla warunków optymistycznych i pesymistycznych. Jak podkreśla Kasprowicz (2007) analiza kontyngencji to badanie możliwych zmian kosztu realizacji przedsięwzięcia na skutek jakościowych i ilościowych, bezpośrednio nieprze-widywalnych oddziaływań losowych. Dopuszczalne wartości kosztu oraz przedziały zmian tych wartości wyznaczane są w zależności od skłonności inwestora i wykonawcy do akceptacji ryzyka wystąpienia negatywnych rezultatów opóźnienia i zwiększenia kosztów przedsięwzięcia. Podejście to zostało wykorzystane przez autorkę w dalszej części rozprawy do budowy i analizy krzywych kontyngencji oraz w celu wyznaczenia prawdopodobieństwa dla poszczególnych wartości kosztów i czasów trwania. Analiza prawdopodobnych kosztów przedsięwzięcia, zgodnie z sugestią Kasprowicza (2002), może stanowić podstawę podejmowanych decyzji dotyczących budżetu, wielkości re-zerwy oraz działań zmierzających do minimalizacji kosztów. Autor „Inżynierii

przed-sięwzięć budowlanych” poleca również pełną analizę statystyczną (w tym estymację parametryczną) kosztów przedsięwzięcia, która możliwa jest do wykonania na podsta-wie dysponowania odpopodsta-wiednią bazą danych. Pogląd ten stał się przyczynkiem do pod-jęcia przez autorkę pracy doktorskiej badań własnych nad określeniem wpływu wybra-nych czynników ryzyka na wielkość kosztów przedsięwzięcia, wykorzystując w tym zakresie estymację przedziałową.

Kontyngencja kosztu (Cost Conitngency) – jest to kwota awaryjna, wyrażona poprzez różnicę pomiędzy granicznym, dopuszczalnym kosztem realizacji przedsięwzięcia, a rzeczywistym kosztem realizacji ustalonym przez wykonawcę (limit kosztu).

Kontyngencja czasu (Time Contingency) – jest to różnica pomiędzy granicznym, dopusz-czalnym czasem realizacji przedsięwzięcia a rzeczywistym czasem realizacji ustalonym przez wykonawcę (limit czasu).

Analiza krzywych kontyngencji – jest to badanie możliwych zmian całkowitego kosztu lub czasu przedsięwzięcia na skutek niekorzystnego oddziaływania czynników ryzyka.