Badanie procesu tylko w wybranych odcinkach czasu może nie być wystarczające dla jego pełnego opisu [Żółtowski, Niziński 2002]. Pełniejszych informacji jest w stanie do-starczyć analiza procesu na podstawie parametru czasowego ciągłego, a nie dyskret-nego. Dlatego kolejnym etapem była estymacja modelu Markowa w czasie fizycznym ciągłym. Wówczas przejścia obiektów między stanami opisane są funkcją (7) zwaną in-tensywnością przejść procesu λij(t):
(7)
którą charakteryzuje szybkość zmian prawdopodobieństw przejść pij(t) [Filipowicz 1996]. Wartości intensywności przejść obliczono empirycznie, korzystając z częstości przejść ze stanu i do stanu j (8), według zgromadzonych danych:
(8) gdzie:
N – liczba stanów,
λij(t) – intensywność przejść ze stanu i do j, fij – empiryczna częstość przejść ze stanu i do j.
Obliczone według powyższego wzoru elementy λij macierzy Λ intensywności przejść, przedstawiono w tabeli 7.
Tabela 7. Macierz intensywności przejść badanego procesu
λij S1 S2 S3 S4 S5 S1 –0,5506 0,1706 0,1866 0,1934 0 S2 2,1370 –9,0340 2,3374 2,4226 2,1370 S3 2,7193 2,7193 –11,2408 3,0828 2,7193 S4 0 0,4711 0,5153 –1,4575 0,4711 S5 0 0 0,0538 0 –0,0538
Dla modelu Markowa w czasie ciągłym również wyznaczono prawdopodobieństwa ergodyczne pj, korzystając z następującej zależności:
∏T * Λ = 0 (9)
gdzie:
∏T = [pj]T = [ p1 ;; pns ] – transponowany wektor prawdopodobieństw granicznych pj, Λ – macierz intensywności przejść:
oraz warunku normalizacji: ∑jpj = 1.
W ten sposób dla badanego procesu otrzymujemy następujące równanie macierzowe: (10)
a wyznaczenie prawdopodobieństw granicznych pj w czasie fizycznym ciągłym wy-maga rozwiązania następującego układu równań:
(11)
przy uwzględnieniu warunku normalizacji: .
Obliczone prawdopodobieństwa graniczne pj przebywania systemu w stanach S1–S5 zaprezentowano w tabeli 8.
Tabela 8. Prawdopodobieństwa graniczne pj w czasie fizycznym ciągłym
S1 S2 S3 S4 S5
pj 0,0591 0,0052 0,0079 0,0331 0,8947
pj% 5,90715 0,52111 0,786549 3,31371 89,4715
Otrzymane wyniki ukazują – co wzbudza niepokój – dążenie badanego systemu do przebywania w przeważającej części całkowitego czasu eksploatacji (ponad 89%) w sta-nie postoju pod ochroną (S5). Drugi w kolejności wynik, jest satysfakcjonujący i dotyczy realizacji zadania (S1), jednak jego wartość jest bardzo mała w porównaniu z pierwszym i wynosi zaledwie 6%. Wynika z tego, że badany system dąży do przebywania w stanie postoju, co wskazuje na granicznie zanikającą eksploatację. Badane obiekty techniczne, pomimo – jak się wydawało – dużej dynamiki i intensywności realizowanych zadań, przez większość czasu przebywają w hangarze. Jest to bardzo istotna informacja dla dowódców, wskazująca na konieczność lepszego wykorzystania posiadanej bazy. Wyniki otrzymane dla łańcucha Markowa również prowadzą do podobnych wniosków, ukazując zmniej-szenie intensywności realizowanych zadań, jednak głównie na rzecz wykonywanych ob-sług, napraw i remontów. Dwa badania zgodnie definiują niesatysfakcjonującą prognozę długoterminową, wskazującą na wygaszanie lotów na rzecz odpowiednio: odtwarzania gotowości obiektów oraz postoju w hangarze. Jednak prognoza dla łańcucha Markowa (dla abstrakcyjnego czasu dyskretnego kolejnych zmian stanów) różni się od prognozy dla procesu Markowa dla fizycznego czasu ciągłego. Obliczone prognozy porównano także z częstościami empirycznymi obliczonymi dla czasu fizycznego ciągłego (zob. tabela 9).
Tabela 9. Prawdopodobieństwa graniczne obserwacji systemu dla łańcucha i czasu ciągłego
Stan S1 S2 S3 S4 S5
pj % łańcucha 13,45 33,85 17,6 16,11 18,98
pj % w czasie 5,91 0,52 0,79 3,31 89,47
wj % w czasie 37,6777 4,0837 3,0002 12,5428 42,6956
Źródło: opracowanie własne.
Powodem rozbieżności między prognozą dla łańcucha i czasu fizycznego ciągłego jest odmienna interpretacja prawdopodobieństw granicznych. Dla łańcucha Markowa wyniki odnoszone są do zbioru stanów systemu, lub ich kolejnych zmian, natomiast dla procesu odniesieniem jest czas fizyczny. Krótsze i intensywniejsze stany, jak np. pełna gotowość do realizacji zadania (S3) czy gotowość obiektu technicznego bez pilota (S4) generują wyższe wartości prawdopodobieństw dla łańcucha, natomiast zdecydowa-nie dłuższy stan postoju (S5) osiąga wyższe wskazania dla procesu. Jednak badając od-chylenia prawdopodobieństw granicznych dla łańcucha i procesu Markowa względem częstości stanów w dziedzinie czasu, można zauważyć, że system był daleki od stanu równowagi granicznej w czasie ciągłym, co podważa wiarygodność modelu łańcucha Markowa w odniesieniu do prognozowania logistycznych wskaźników eksploatacyjnych
systemu w czasie fizycznym. Wyniki przeprowadzonej analizy nie są zgodne dla modelu Markowa w czasie fizycznym i częstości stanów w dziedzinie czasu. Tak duże różnice dla stanów S1–S4 wynikają z oszacowanej prognozy modelu Markowa, która przewidu-je zanik obserwacji większości stanów w czasie, ponieważ system dąży granicznie do przebywania głównie w stanie S5 (postój pod ochroną). Model łańcucha Markowa jest znacznie bliżej od stanu równowagi granicznej zarówno dla obliczeń według częstości empirycznych w zbiorze stanów, jak i względem czasu fizycznego ciągłego.
Ostatnim etapem badania było wyznaczenie dynamiki systemu na podstawie układu równań Chapmana – Kołmogorowa – Smoluchowskiego. Równania te pozwalają na wy-znaczenie charakterystycznych czasów dążenia obiektu do stanu granicznego. Równanie Smoluchowskiego – Chapmana – Kołmogorowa ma następującą postać [Filipowicz 1996]:
(12).
Dla badanego procesu Markowa równanie ma postać:
(13)
a równoważny układ równań różniczkowych przedstawia się następująco:
(14)
Rozwiązanie układu równań uzyskano, wykorzystując moduł Markov continous w programie Mathematica zakładając, że w chwili początkowej t = 0 proces X (t) znaj-duje się w stanie S1. Obliczone prawdopodobieństwa to skomplikowane funkcje czasu. Wybrane wykresy dla stanów o największych wartościach prawdopodobieństw granicz-nych, tj. dla stanów: S1, S4 i S5 przedstawiono poniżej (zob. rysunek 3, rysunek 4 oraz rysunek 5).
Rysunek 3. Ewolucja prawdopodobieństwa przebywania SP w stanie S1
Źródło: opracowanie własne.
Rysunek 4. Ewolucja prawdopodobieństwa przebywania SP w stanie S4
Rysunek 5. Ewolucja prawdopodobieństwa przebywania SP w stanie S5
Źródło: opracowanie własne.
Oszacowanie czasu ustalania równowagi systemu możliwe jest również z wyko-rzystaniem wartości własnych macierzy intensywności, pozwalających na obliczenie stałych czasu. Ujemne stałe czasu reprezentują zanikające, a dodatnie – narastają-ce, składniki kombinacji liniowej badanego systemu. Wyznaczone wektory własne macierzy intensywności przejść i obliczone na ich podstawie czasy ustalania (zob. tabela 10) pokazują, że system jest bliski równowagi po 14 h od wymuszenia stanu początkowego S1 (wykonywanie zadania) populacji generalnej statków powietrz-nych. Z wartości czasów ustalania wynika, że prawdopodobieństwa obserwacji sta-nów badanego systemu będą szybko zmieniały się w czasach od ok. 21 min do ok. 14 h od wartości początkowych. Jednak składnik narastający rozwiązań może kom-plikować przebieg ich dążenia do wartości granicznych – będzie on reprezentował szczątkowy liniowy trend jednego składnika rozwiązań w czasie życia (kilkadziesiąt lat) badanego systemu eksploatacji.
Tabela 10. Wartości własne macierzy intensywności Λ i stałe czasu
Stan Wartość własna,1/h Stała czasu, h Czas ustalania 99%, h
S1 –12,91907918 –0,077404898 0,355676
S2 –7,88301747 –0,126854977 0,582899
Stan Wartość własna,1/h Stała czasu, h Czas ustalania 99%, h
S4 –0,328209115 –3,046837993 14,00022
S5 3,73167E-16 2,67977E+15 n/d
Źródło: opracowanie własne.
Zakończenie
Podsumowując przeprowadzone badanie, należy stwierdzić, że prognozy długotermi-nowe wskazują na stopniowe wygaszanie eksploatacji statków powietrznych i dążenie systemu do przebywania w stanie obsługiwania i napraw (S2), jak przewiduje model łań-cucha Markowa, lub w stanie postoju w garażu (S5) – według prognozy dla czasu fizycz-nego ciągłego.
Przedstawione modele Markowa mogą być pomocne tylko w analizach jakościowych i poznawczych, nie jest wskazane podejmowanie na ich podstawie odpowiedzialnych decyzji i wydawanie rozkazów. Badanie przeprowadzono jedynie na danych rocznych, na podstawie papierowej ewidencji dotyczącej badanego procesu eksploatacji. Wyko-rzystanie do estymacji danych z dłuższego okresu, uzyskanych z zapisów rejestratorów zamieszczonych na obiektach technicznych oraz systemów zbierających, przetwarza-jących i agreguprzetwarza-jących dane, pozwoliłoby na wiarygodne prognozowanie na podstawie modeli procesu Markowa, a dzięki temu na podejmowanie odpowiedzialnych decyzji w zakresie optymalizacji systemu eksploatacji.
Bibliografia
Decewicz A. (2010), Probabilistyczne modele badań operacyjnych, Oficyna Wydawnicza Szkoły
Głównej Handlowej, Warszawa.
Filipowicz B. (1996), Modele stochastyczne w badaniach operacyjnych, analiza i synteza systemów
obsługi i sieci kolejkowych, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa.
Iwanik A., Misiewicz J.K. (2015), Wykłady z procesów stochastycznych z zadaniami, cz. 1, Procesy
Markowa, SCRIPT, Warszawa.
Jaźwiński J., Grabski F. (2003), Niektóre problemy modelowania systemów transportowych,
Kałuski J. (2007), Wykłady z procesów Markowa, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice. Żółtowski B., Niziński S. (2012), Modelowanie procesów eksploatacji maszyn, Wydawnictwo
Alicja Gębczyńska |
alicja.gebczynska@wsb.wroclaw.plWrocław School of Banking, Institute of Logistics ORCID ID: 0000-0002-1309-8778
Radosław Wolniak |
rwolniak@polsl.plSilesian University of Technology, Faculty of Organisation and Management ORCID ID: 0000-0003-0317-9811