Propozycje modyfikacji modelu wyceny

Wskazanie słabości stosowanego modelu wyceny bez zaproponowania no-wych rozwiązań prowadziłoby de facto do pozbawienia inwestora możliwości wyceny obligacji o kuponie płatnym częściej niż raz w roku. Dlatego też w ni-niejszym punkcie zostaną przedstawione propozycje dokonania pewnych mody-fikacji w stosowanym modelu wyceny, tak by uzyskiwane wyniki były bliższe rzeczywistości.

W pierwszej kolejności należy zbadać, dlaczego wykorzystywane w prakty-ce wzory prowadzą do błędów. Odpowiedź na to pytanie można znaleźć analizu-jąc poniższy przykład.

Przykład 3

Dana jest obligacja 3-letnia o wartości nominalnej 100, oprocentowana 10%

w stosunku rocznym, przy odsetkach płaconych na koniec każdego półrocza oraz rynkowej stopie procentowej równej 8%. Wartość obligacji będzie równa:

=

W związku z tym, że przyjęto, iż obligacje są pozbawione ryzyka i nie istnieje możliwość arbitrażu, to kwota 105,24 zainwestowana w obligację i złożona na lokacie powinna po 3 latach przynieść inwestorom ten sam dochód. Majątek posiadacza obligacji wyniesie (jest wykorzystywany wzór na sumę płatności annuitetowych):

zaś majątek posiadacza lokaty:

132,57

DEPOSIT

105,24 1,08 132,57 133,16 105,24 1,04 W

W = ⋅ = < = ⋅ =

.

Widać zatem, że po zakończeniu inwestycji majątki obydwu inwestorów nie są równe, mimo że w świetle poczynionych założeń powinni oni w badanym okre-sie osiągnąć tę samą stopę zwrotu. Przyczyną tego stanu rzeczy (uzyskiwania wyższej stopy zwrotu przez posiadacza obligacji) jest nierównoważność zasto-sowanych stóp procentowych. Stopy i_k oraz i są bowiem stopami o kapitalizacji rocznej, zaś we wzorach potraktowano je jakby były stopami o kapitalizacji m razy w ciągu roku. Zwrócił na to uwagę E. Brigham pisząc, że stosowanie tej samej stopy w przypadku kapitalizacji rocznej, a potem półrocznej jest de facto równoznaczne z przyjęciem założenia o zmianie poziomu stóp procentowych¹¹. W celu uniknięcia tego, należałoby przed przystąpieniem do obliczania P_m przeli-czyć stopy o kapitalizacji rocznej na stopy o kapitalizacji dokonywanej m-krotnie w ciągu roku i je zastosować we właściwych wzorach. Oznaczając:

i

^(m)_k – stopa kuponu wypłacanego m razy w ciągu roku,

i

^(m) rynkowa stopa procentowa

o m-krotnej kapitalizacji w ciągu roku, mamy

(1 i ) m

Podstawiając te wielkości do wzorów 3 i 4 (zamiast ik oraz i) można uzyskać:

11 E. Brigham, M. Ehrhardt: Financial Management: Theory and Practice. South-Western Cengage Learning, Mason 2011, s. 188.

(m) nm wzory 7 i 8 zapisać w następującej postaci:

( ) ( )

ⁿ

Stosowanie wzorów 9 i 10 prowadzi do uzyskania poprawnych wyników (w świetle uprzednio przeprowadzonych rozważań) – dowód został zawarty w załącznikach.

Przykład 4

Dana jest obligacja 3-letnia o wartości nominalnej 100, oprocentowana 10%

w stosunku rocznym, przy odsetkach płaconych na koniec każdego roku oraz rynkowej stopie procentowej równej 8%. Wartość obligacji będzie równa:

P1 = 105,15.

Wartość podobnej obligacji o kuponie płatnym na koniec każdego półrocza wyniesie:

P2 = 105,03, zaś w przypadku kwartalnego wypłacania odsetek:

P4 = 104,97.

Przykład 5

Dana jest obligacja 3-letnia o wartości nominalnej 100, oprocentowana 10%

w stosunku rocznym, przy odsetkach płaconych na koniec każdego roku oraz rynkowej stopie procentowej równej 12%. Wartość obligacji będzie równa:

P₁ = 95,20.

Wartość podobnej obligacji o kuponie płatnym na koniec każdego półrocza wy-niesie:

P₂ = 95,31, zaś w przypadku kwartalnego wypłacania odsetek:

P₄ = 95,36.

Przykłady 4 i 5 wskazują, że stosowanie zmodyfikowanych wzorów prowa-dzi do wyników spójnych z wnioskami przedstawionymi w poprzednim punkcie.

Mimo iż wykorzystanie wzorów 9 i 10 skutkuje uzyskiwaniem popraw-nych wyników, to jednak nie zawsze mogą być one stosowane. Wynika to z fak-tu, że emitenci obligacji podają stopę oprocentowania o kapitalizacji zgodnej z częstością wypłaty odsetek, a nie rocznej jak przyjęto powyżej (podczas gdy rynkowa stopa procentowa, tj. rentowność jest na ogół stopą o kapitalizacji rocznej). W celu uwzględnienia także tej sytuacji, we wzorach 3 i 4 należy wziąć pod uwagę tylko relacje

(1 i)

m

ceny obligacji będą wyrażone wzorami:

(m) nm

Przykład 6

Dana jest obligacja 3-letnia o wartości nominalnej 100, oprocentowana 10%

w stosunku rocznym (kapitalizacja roczna), przy odsetkach płaconych na koniec każdego roku oraz rynkowej stopie procentowej równej 8% (kapitalizacja rocz-na). Wartość obligacji będzie równa:

P₁ = 105,15.

Wartość podobnej obligacji o kuponie płatnym na koniec każdego półrocza, przy założeniu, że jest ona oprocentowana 10% (kapitalizacja półroczna) i rynkowej stopie procentowej 8% (kapitalizacja roczna) wyniesie:

P₂ = 105,66,

zaś w przypadku kwartalnego wypłacania odsetek, przy założeniu, że obligacja jest oprocentowana 10% (kapitalizacja kwartalna) i rynkowej stopie procentowej 8% (kapitalizacja roczna) wyniesie:

P₄ = 105,91.

Przyspieszenie wypłaty odsetek powoduje paradoksalnie wzrost ceny obli-gacji, gdy tymczasem w świetle poprzednich rozważań powinna ona spadać (i_k > i).

Uprzednio analizowano jednak obligacje o równym rocznym efektywnym opro-centowaniu, podczas gdy roczne efektywne oprocentowanie walorów z przykła-du 6 jest różne: w przypadku pierwszym wynosi 10%, drugim 1,05² – 1 = 10,25%, zaś trzecim 1,025⁴ – 1 = 10,38%. Dla obligacji o równej rocznej efektywnej stopie procentowej wykorzystanie wzorów 13 i 14 prowadzi do prawidłowych wyników, o czym świadczy następujący przykład.

Przykład 7

Dana jest obligacja 3-letnia o wartości nominalnej 100, oprocentowana 10%

w stosunku rocznym (kapitalizacja roczna), przy odsetkach płaconych na koniec każdego roku oraz rynkowej stopie procentowej równej 8% (kapitalizacja rocz-na). Wartość obligacji będzie równa:

P₁ = 105,15.

Wartość podobnej obligacji o kuponie płatnym na koniec każdego półrocza, przy założeniu, że jest ona oprocentowana 9,76% (kapitalizacja półroczna, roczna efektywna stopa procentowa wynosi

1 10 %

2 0976 , 1 0

2

=

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

) i rynkowej

stopie procentowej 8% (kapitalizacja roczna) wyniesie:

P2 = 105,03,

zaś w przypadku kwartalnego wypłacania odsetek, przy założeniu, że obligacja jest oprocentowana 9,65% (kapitalizacja kwartalna, roczna efektywna stopa

procentowa wynosi

1 10 %

8% (kapitalizacja roczna) wyniesie:

P4 = 104,97.

Podsumowanie

Wykorzystywany dotychczas model wyceny obligacji cechuje się pewnymi słabościami, prowadzącymi do uzyskiwania wyników wątpliwych z metodycz-nego punktu widzenia. Przyczyną tego stanu rzeczy jest niestosowanie równo-ważnych stóp procentowych, co powoduje że niespełnione są podstawowe zało-żenia modelu. W celu zapewnienia poprawności procesu wyceny zaproponowano wprowadzenie pewnych modyfikacji. W sytuacji gdy dla danej obligacji jest podana wyłącznie roczna efektywna stopa procentowa, należy posługiwać się wzorem:

zaś w przypadku, gdy znane są stopy oprocentowania o kapitalizacji częstszej niż roczna, można stosować wzór:

( )

Korzystanie z nich zapewnia uzyskanie wyników prawidłowych z metodyczne-go punktu widzenia.

Załącznik A

W celu uzasadnienia poprawności wzorów 9 i 10 należy oznaczyć

1

W związku z tym, że wygodniej jest rozważać funkcje wykładnicze o podstawie równej e można zapisać, że: ln

(

1+ik

)

=δk, δ_k >0; ^ln

( )

^{1+i =δ, δ>0.}

=

. Rozwijając funkcję eksponencjalną w szereg Maclaurina otrzymuje się, że

∑

^∞

i

∑

^∞

niż 1 na wartość funkcji f(m) i g(m) mierzą wyrażenia: f(m) m

wpływ wyrazów rzędu 2 i wyższych jest silniejszy (w odniesieniu do funkcji g(m) rzecz ma się podobnie). Jeżeli teraz m wzrasta, tak że

⎟⎠

spadek ten jest większy niż o p%, wyrazy rzędu 2 i wyższych zmniejszają się bowiem gwałtowniej niż o p% (kolejno o

2

Zatem im większy jest wpływ tych wyrazów na wartość funkcji f(m) i g(m), tym silniej (procentowo) będą one malały wskutek wzrostu m. Dlatego też, jeżeli

δ

δ_k = to funkcje f(m) i g(m) będą malały w tym samym tempie, gdy δ_k >δ, wówczas szybciej będzie spadać wartość funkcji f(m), zaś w przypadku, gdy

δ

δ_k < , gwałtowniej maleć będzie funkcja g(m). Rozważając iloraz

g(m)

+ nie zmienia swej wartości wraz ze wzrostem m.

2. i_k > i – iloraz

Należy rozpatrzyć następujące przypadki:

1.

i_k = i – w tej sytuacji przyspieszenie płatności kuponu nie wpływa na cenę

i ostatecznie P_m < P_1. Zatem przyspieszenie płatności kuponu, w sytuacji gdy rynkowa stopa procentowa jest niższa niż oprocentowanie obligacji, według wzoru prowadzi do spadku ceny obligacji.

3.

ik < i – tutaj występuje sytuacja odwrotna, iloraz

i ostatecznie P_m > P₁.Przyspieszenie płatności kuponu, w sytuacji gdy stopa rynkowa jest wyższa niż oprocentowanie obligacji, według wzoru prowadzi do wzrostu jej ceny.

PRICING BONDS

OF DIFFERENT FREQUENCY COUPON PAYMENTS Summary

This paper deals with pricing bonds of different frequency coupon payments problem. Analysis of commonly used valuation model proved that its application in cases when coupon is paid more frequently than once a year results in incor-rect prices. Exploiting of improper capitalization rates was identified as a main reason of this situation. In the present paper also modifications of pricing model were included in order to eliminate weaknesses described.

W dokumencie Inwestycje i nieruchomości. Wybrane zagadnienia (Stron 64-75)