Prosty model wyceny opcji na VIX

Modele zmienności stochastycznej zaproponowane przez S.L. Hestona [1993]

i J. Hulla [Hull i White 1987]5 stanowią zgrabne teoretyczne wyjaśnienie

wspo-mnianej wcześniej empirycznej zależności implikowanej zmienności od ceny wykonania i czasu do wygaśnięcia opcji. Ich dużą popularność tłumaczy zapewne możliwość odzwierciedlenia typowych własności stóp zwrotu, jak ich powrót do średniej (mean reversion) czy tendencja koncentracji dużych i małych stóp zwrotu (volatility clustering). Jabłecki i in. [2014] pokazują, że w modelach zmienności stochastycznej uśmiech zmienności instrumentu bazowego jest proporcjonalny do parametru określanego mianem „zmienności zmienności”.

Dla naszego badania oznacza to, że możemy oczekiwać, iż uśmiech zmien-ności w opcjach na SPX będzie skorelowany ze zmienzmien-nością zmienzmien-ności SPX. Dodatkowo, sama zmienność zmienności powinna być skorelowana ze zmienno-ścią implikowaną VIX. Pozwala to ostatecznie – na podstawie ogólnego modelu

teoretycznego – na formułowanie testowalnej hipotezy, że zmienność implikowana VIX jest skorelowana z uśmiechem zmienności SPX.

W pierwszym kroku weryfikacji tej hipotezy oszacowaliśmy prostą regresję liniową zmienności implikowanej z opcji na VIX względem uśmiechu zmienności implikowanej w opcjach na SPX. Zmienność implikowaną VIX sparametryzo-waliśmy jako interpolowaną jednomiesięczną zmienność implikowaną ATM. Uśmiech zmienności SPX (SPX skew) zdefiniowaliśmy zaś jako różnicę jedno-miesięcznych zmienności implikowanych z opcji o cenach wykonania odpowia-dających 90% i 120% ATMF, które wydają się dość płynne. Estymacja regresji została dokonana przy użyciu danych dziennych z serwisu Bloomberg za okres od stycznia 2010 r. do końca grudnia 2013 r. Wyniki przedstawia rys. 3. Jako referen-cyjny przyjęliśmy termin 1M, co wymagało interpolacji obserwowanych na rynku zmienności implikowanych o różnych terminach do wygaśnięcia. SPX skew jest zdefiniowany jako różnica jednomiesięcznych zmienności implikowanych dla poziomów strike 120% i 90% względem ATMF. Oszacowana metodą najmniej-szych kwadratów zależność ma postać VIX 1M IV = 4,1434 × SPX skew + 36,039

przy R2 = 0,6649. Dopasowanie modelu wydaje się dość dobre (R2 = 0,66),

w szczególności w relacji do obserwowanego na rynku spreadu bid-ask. Przy-kładowo, 30 grudnia 2013 r. przewidywana przez model wartość VIX ATM IV wyniosła 0,59 wobec 0,54 na rynku, przy spreadzie ask-bid ok. 6 pkt proc.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0 5 10 15 20 25 30 Zm ie nn ość imp lik owa na VI X 1M SPX 90–120 skew (pkt proc.)

Rys. 3. Zależność zmienności implikowanej VIX od uśmiechu zmienności SPX (styczeń 2010–grudzień 2013)

Źródło: opracowanie własne na podstawie danych Bloomberg.

Tak oszacowany model pozwala na przybliżoną wycenę opcji na VIX, ale jesteśmy ograniczeni do przypadku opcji o terminie 1M i o cenie wykonania równej kursowi terminowemu. Jeśli chcemy dokonać wyceny dowolnej zwykłej

80 J. Jabłecki, R. Kokoszczyński, P. Sakowski, R. Ślepaczuk, P. Wójcik opcji na VIX, to konieczne jest sparametryzowanie całej powierzchni zmienności, co oznacza powiązanie uśmiechu zmienności SPX ze zmiennościami implikowa-nymi o innych terminach i dla innych poziomów ceny wykonania.

Wychodząc od ogólnego modelu teoretycznego zmienności stochastycznej, autorzy pracy [Jabłecki i in. 2014] pokazują, że zmienność implikowana ATM w dowolnym terminie wyraża się następującym równaniem:

σ (t) = Σ + [σ_1M(t) – Σ] × e (1M – t) λ, (1)

gdzie Σ jest długookresową wartością średnią, a λ szybkością, z jaką σ(t) zbiega do Σ. Oszacowania Σ i λ zostały wyznaczone na podstawie minimalizacji błędu średniokwadratowego z dopasowania równania (1) do szeregów czasowych zmien-ności implikowanej VIX ATM 1M, 2M i 3M od stycznia 2010 r. do końca grudnia 2013 r. (dane dzienne). Oszacowane wartości wyniosły Σ = 0,45 i λ = 3,8. Średni błąd oszacowania (w wartości bezwzględnej) wyniósł 2,3 pkt proc. dla zmienności 2M i 2,7 pkt proc. dla zmienności 3M, czyli mniej niż średni spread ask-bid. Rys. 4 przedstawia wartości empiryczne trzymiesięcznej zmienności impliko-wanej na tle wartości wyliczonych z modelu.

Przedstawione powyżej wyniki pozwalają powiązać obserwowany na rynku uśmiech zmienności SPX ze zmiennością implikowaną VIX ATM o dowolnym terminie. Dla pełnego sparametryzowania powierzchni zmienności VIX potrzebny jest więc jeszcze opis zależności zmienności implikowanej VIX od ceny wyko-nania. Zależność taka może być wyrażona za pomocą modelu uśmiechu zmien-ności SABR [Hagan i in. 2002], który przedstawia dynamikę kontraktu

termino-wego fT (t) następującymi równaniami:

d fT(t) = [fT(t)]βσ(t)TdZT(t) (2) σ(t)T = ηTσ(t)TdWT(t) (3)

dZT(t) dWT(t) = rdt, (4)

gdzie η oznacza zmienność zmienności, a r jest stałym współczynnikiem kore-lacji procesów dZ i dW. Nachylenie krzywej zmienności jest w modelu opisane parametrami β i r. W szczególnym przypadku, gdy β = 0, SABR redukuje się do modelu Bacheliera dla instrumentu bazowego (ze zmiennością stochastyczną), a dla β = 1 otrzymujemy lognormalną dynamikę instrumentu bazowego znaną z modelu Blacka-Scholesa.

Jedną z ważniejszych zalet modelu SABR jest możliwość analitycznego wyprowadzenia wzoru na uśmiech zmienności jako funkcji ceny wykonania. Kalibracja modelu SABR to znalezienie takiego zestawu parametrów σ, β, r oraz η, aby dla danych T oraz f(t) wartości zmienności implikowanych wyliczo-nych z modelu SABR różniły się możliwie najmniej od wartości obserwowa-nych na rynku. Autorzy pracy [Hagan i in. 2002] pokazują jednak, że dla tych

samych danych można skalibrować uśmiechy z różnymi wartościami β. Oznacza to, że oszacowanie tego ostatniego parametru powinno być niezależne od samej kalibracji. Istnieją argumenty teoretyczne sugerujące, że zmienność powinna mieć rozkład zbliżony do lognormalnego. Uwzględniając dodatkowo stabilność rozwiązań numerycznych, jesteśmy skłonni przyjąć, że β = 0,999. Inne analizy numeryczne wskazują, że r nie zmienia się istotnie w zależności od terminu opcji

i wynosi ok. 0,7; wartość η wydaje się zaś zmniejszać potęgowo z T jak ~0,5T –0,75.

Te ostatnie wyniki są zbliżone do uzyskanych przez J. Gatherala [2008].

0 0,2 0,4 0,6 Zm ien no ść i m pl ik ow an a 0,8 1 1,2 1,4

23-lut-10 23-lut-11 23-lut-12 23-lut-13 VIX ATM IV 3M VIX ATM IV 3M model

Rys. 4. Wartości empiryczne VIX ATM 3M IV i dopasowane na podstawie modelu Źródło: opracowanie własne na podstawie danych Bloomberg.

Łącząc wszystkie otrzymane dotychczas wyniki, możemy oszacować wartości zmienności implikowanych dla dowolnego terminu i poziomu strike. Inaczej mówiąc, otrzymane wyniki pozwalają wycenić dowolną opcję na VIX. Rys. 5 przedstawia obliczone w ten sposób teoretyczne wartości zmienności implikowa-nych opcji na VIX dla dwóch różimplikowa-nych dat (6.06.2013 r. i 31.12.2013 r.) i dwóch terminów (odpowiednio 104 dni i 50 dni). Jak widać, ceny teoretyczne są w obu wypadkach zbliżone do kwotowań rynkowych.

4. Podsumowanie

Celem niniejszego opracowania było znalezienie kilku łatwych do zastoso-wania w praktyce i jednocześnie ugruntowanych w teorii heurystycznych reguł, które umożliwiłyby parametryzację powierzchni zmienności VIX. Reguły takie, przedstawione tu przez nas, opierają się na związku uśmiechu zmienności

82 J. Jabłecki, R. Kokoszczyński, P. Sakowski, R. Ślepaczuk, P. Wójcik

S&P 500 ze zmiennością VIX. Mimo swej prostoty reguły te pozwalają na otrzy-manie cen zbliżonych – z dość dobrą dokładnością – do kwotowań rynkowych. Zdajemy sobie oczywiście sprawę, że proponowane przez nas rozwiązanie nie może zastąpić pełnego formalnego modelu wyceny opcji na VIX. Jest ono raczej rodzajem praktycznego i prostego narzędzia obliczeniowego, które na podstawie cen bardziej płynnych instrumentów (opcje na SPX) przybliża ceny instrumentów

0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 - 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Cena wykonania

IV bid IV ask IV model 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 - 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Cena wykonania Zm ien no ść i m pl ik ow an a Zm ien no ść i m pl ik ow an a

Cena wykonania podana w jednostkach k/100. Uwaga: IV bid, IV ask i IV model oznaczają odpowiednio: zmienność implikowaną bid, ask i teoretyczną, obliczoną na podstawie modelu. Rys. 5. Zmienności implikowane teoretyczne na tle rynkowych dla opcji na VIX 31.12.2013 r. z terminem 19.02.2014 r. (górny panel) oraz dla opcji na VIX 6.06.2013 r.

z terminem 18.09.2013 r. (dolny panel)

Źródło: opracowanie własne na podstawie danych dotyczących cen rynkowych zaczerpniętych z systemu Bloomberg.

mniej płynnych. Z tej perspektywy naturalnym zastosowaniem zaproponowanej powyżej metody byłaby parametryzacja powierzchni zmienności i wycena opcji mniej płynnych, np. uruchomionych 4 lata temu opcji na europejski indeks zmien-ności VSTOXX.

Literatura

Alexander C. [2008], Market Risk Analysis, t. 3, Wiley & Sons, London.

Black F. [1976], The Pricing of Commodity Contracts, „Journal of Financial Economics”, nr 3(1).

Black F., Scholes M. [1973], The Pricing of Options and Corporate Liabilities, „The Jour-nal of Political Economy”, vol. 81, nr 3.

Carr P., Madan D. [2001], Towards a Theory of Volatility Trading [w:] Option Pricing,

Interest Rates and Risk Management, Handbook in Mathematical Finance,

Cam-bridge University Press, CamCam-bridge.

CBOE [2003], The CBOE Volatility Index, VIX, Chicago Board Options Exchange. Cont R., Kokholm T. [2013], A Consistent Pricing Model for Index Options and Volatility

Derivatives, „Mathematical Finance”, nr 23(2).

Demeterfi K., Derman E., Kamal M., Zou J. [1999], A Guide to Volatility and Variance

Swaps, „The Journal of Derivatives, Institutional Investor Journals”, nr 6.

Dupire B. [2004], A Unified Theory of Volatility [w:] Derivatives Pricing: The Classic

Collection, red. P. Carr, Risk Books.

Gatheral J. [2008], Consistent Modeling of SPX and VIX Options, Bachelier Congress. Grünbichler A., Longstaff F.A. [1996], Valuing Futures and Options on Volatility,

„Jour-nal of Banking and Finance”, nr 20(6).

Hagan P.S., Kumar D., Lesniewski A.S., Woodward D.E. [2002], Managing Smile Risk, „Wilmott Magazine”, September.

Heston S.L. [1993], A Closed-form Solution for Options with Stochastic Volatility with

Applications to Bond and Currency Options, „Review of Financial Studies”, nr 6(2).

Hull J., White A. [1987], The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities, „The Journal of Finance”, nr 42(2).

Jabłecki J., Kokoszczyński R., Sakowski P., Ślepaczuk R., Wójcik P. [2014], Volatility as

an Asset Class. Obvious Benefits and Hidden Risks, Peter Lang, Frankfurt am Main.

Lin Y.N., Chang C.H. [2010], Consistent Modeling of S&P 500 and VIX Derivatives, „Journal of Economic Dynamics and Control”, nr 34(11).

Merton R.C. [1973], Theory of Rational Option Pricing, „The Bell Journal of Economics and Management Science”, vol. 4, nr 1.

Moran M.T., Dash S. [2007], VIX Futures and Options: Pricing and Using Volatility

Products to Manage Downside Risk an Improve Efficiency in Equity Portfolios, „The

Journal of Trading”, Institutional Investor Journals, vol. 2, nr 3.

Sepp A. [2008], VIX Option Pricing in a Jump-diffusion Model, „Risk Magazine”, April. Whaley R.E. [1993], Derivatives on Market Volatility: Hedging Tools Long Overdue,